2011年高考数学前三大题突破训练(1-10)

2011年高考数学前三大题突破训练（1-10）

（一）

17．已知0??????1????，?为f(x)?cos?2x??的最小正周期，a??tan?????，???4?????? 1?，?2cos2??sin2(???)的值 b?(cos?，2)，且a?b?m．求

cos??sin?

18．在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0．4，乙胜丙的概率为0．5，丙胜甲的概率为0．6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： （1）乙连胜四局的概率； （2）丙连胜三局的概率．

19．四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3。

(Ⅰ)证明：SA⊥BC；

(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；

（二）

17．在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

18．每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；

（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。

13，tanB?． 45

19．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。

(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小

S F D A E

B C

（三）

????????????????17．已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB?AC≤6，设AB和AC的夹角为?．

（I）求?的取值范围；（II）求函数f(?)?2sin2?

18．某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率．

?π?????3cos2?的最大值与最小值． ?4?

19．在Rt△AOB中，?OAB?π，斜边AB?4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为6轴旋转得到，且二面角B?AO?C是直二面角．动点D的斜边ABADO上．CEB

（I）求证：平面COD?平面AOB；

（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小； （III）求CD与平面AOB所成角的最大值

（四）

17．已知函数f(x)?2sin2??π??ππ??x??3cos2x，x??，?． ?4??42?（I）求f(x)的最大值和最小值；

（II）若不等式f(x)?m?2在x??，?上恒成立，求实数m的取值范围．

42

18．甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0．6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：

（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．

?ππ???

19．如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，?ABC??4,

OA?底面ABCD, OA?2,M为OA的中点，N为BC的中点。

OMABNC

；

D（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

（五）

17．已知函数f(x)?1?2sin2?x?（I）函数f(x)的最小正周期； （II）函数f(x)的单调增区间．

18．某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。 （I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。

（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。

??π?π?π????2sinx?cosx??????．求： 8?8?8???

19．如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。

（1）求证：PO⊥平面ABCD;

（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值； （3）求点A到平面PCD的距离

（六）

17．设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， （Ⅰ）若f(x)=1－3且x∈[－

3sin2x)，x∈R．

??，]，求x； 33（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|

?)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、218．盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； (Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念； (Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．

19．如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。

D1A1PC1B1DCAB（1）求DP与CC1所成角的大小；

（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

（七）

17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围．

18．甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是25, (Ⅰ)3人都投进的概率;

(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率．

12, 1

3．现3人各投篮1次,求:

H A? P

D?

G B?

C?

Q D C

E A F B 19．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A?B?C?D?中，AP=BQ=

截面PQEF∥A?D，截面PQGH∥AD?．

b（0

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值， 并求出这个值； （Ⅲ）若b?

1，求D?E与平面PQEF所成角的正弦值． 2

（八）

17．在△ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y． ?（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．

18．甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0．9，乙机床产品的正品率是0．95．

（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）； （Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率．

参考答案

（一）

17．解：因为?为f(x)?cos?2x???π??的最小正周期，故??π． 8?1????2． 4?·b?m，又a因a·b?cos?·tan?????故cos?·tan???由于0?????1????m?2． 4?π，所以 42cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)?

cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)??

cos??sin?cos??sin??2cos?1?tan?π???2cos?·tan?????2(2?m)

1?tan?4??18．解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：

第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜； 第四局：乙对丙，乙胜．

所求概率为P1＝(1?0.4)×0.5＝0.3＝0．09 ∴ 乙连胜四局的概率为0．09． （2）丙连胜三局的对阵情况如下： 第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．

当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜． 当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜． 故丙三连胜的概率P2＝0．4×0.6×0．5＋（1-0．4）×0.5×0．6＝0．162． 19．解法一：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面

22222ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO，

S C D A

OB

又∠ABC?45，故△AOB为等腰直角三角形，

?AO⊥BO，

由三垂线定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，

故SA⊥AD，由AD?BC?22，SA?3，AO?2， 得SO?1，SD?11．

1?1?△SAB的面积S1?AB?SA2??AB??2．

2?2?连结DB，得△DAB的面积S2?21AB?ADsin135??2 2设D到平面SAB的距离为h，由于VD?SAB?VS?ABD，得

11h?S1?SO?S2， 33解得h?2．

设SD与平面SAB所成角为?，则sin??h222． ??SD111122． 11所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin解法二：

z S G C D A （Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，

O E B y

x 由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO．

又∠ABC?45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向， 建立直角坐标系O?xyz，

????0，1)，SA?(2，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，?2，0)，S(0，0，?1)， ???????????CB?0，所以SA⊥BC． CB?(0，22，0)，SA??22?0?（Ⅱ）取AB中点E，E??2，2，?，

??连结SE，取SE中点G，连结OG，G??221?． ??4，4，?2???221??22?OG??1?0)． ??4，4，?，SE???2，2，?，AB?(?2，2，2????SE?OG?0，AB?OG?0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

所以OG?平面SAB，OG与DS的夹角记为?，SD与平面SAB所成的角记为?，则?与

?互余．

D(2，22，0)，DS?(?2，221)，．

cos??OG?DSOG?DS?2222，sin??， 1111所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin22． 11（二）

17．解：（Ⅰ）?C?π?(A?B)，

13?45??1． ?tanC??tan(A?B)??131??453又?0?C?π，?C?π．

43（Ⅱ）?C??，?AB边最大，即AB?17．

4又?tanA?tanB，A，B??0，?，

???????角A最小，BC边为最小边． sinA1??，?tanA??π?由?cosA4且A??0，?，

?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2． ．由得：BC?AB?sinCsinAsinC17所以，最小边BC?2．

18．解：（I）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P(A)?答：抛掷2次，向上的数不同的概率为.

（II）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。

6?55?. 6?6656?向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1) 5种， ?P(B)?55?. 6?636

S

F

D A

E

B

C

A

答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为

19．(1）如图，建立空间直角坐标系D?xyz．

5. 360，，0)S(0，0，b)，则B(a，a，，0)C(0，a，，0) 设A(a，??b??a??ab????E?a，，0?，F?0，，?，EF???a，0，?．

2??2??22???????b?b??取SD的中点G?0，0，?，则AG???a，0，?．

2?2???????????EF?AG，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，

所以EF∥平面SAD．

，0，0)， （2）不妨设A(1则B(11，，，0)C(0，1，，0)S(0，0，，2)E?1，，0?，F?0，，1?．

?1?2????1?2?EF中点M

??111???????????????111?????M?，，?，MD???，?，??，EF?(?101)，，，MD?EF?0，MD⊥EF

222222??????????????1????又EA??0，?，0?，EA?EF?0，EA⊥EF，

2??

?????????所以向量MD和EA的夹角等于二面角A?EF?D的平面角．

??????????????????MD?EA3 ． cos?MD，EA????????????3MD?EA（III）由（I）知，CO?平面AOB，

??CDO是CD与平面AOB所成的角，且tanCDO?当OD最小时，?CDO最大， 这时，OD?AB，垂足为D，OD?OC2?． ODODOA?OB23?3，tan?CDO?， AB3?CD与平面AOB所成角的最大值为arctan

23． 3（三）

，B，C的对边分别为a，b，c， 17．解：（Ⅰ）设△ABC中角A则由

1?ππ?bcsin??3，0≤bccos?≤6，可得0≤cot?≤1，∴???，?． 2?42?2（Ⅱ）f(?)?2sin???π??π??????3cos2???1?cos??2????3cos2? ?4??2???π???(1?sin2?)?3cos2??sin2??3cos2??1?2sin?2????1．

3??π?π2π?π??ππ??∵???，?，2????，?，∴2≤2sin?2????1≤3．

3?63?3??42??即当??5ππ时，f(?)max?3；当??时，f(?)min?2． 124239?9??9?18．解:（1）P???????; 110?10??10?1?9?1?1?918118262（2）方法一：P ?????????2????2210?10?10?10?10101010100022

方法二：P2?119119262?2????2??? 1010101010101000方法三：P2?1?9?1199?262 ???????10?10101010?100019．（I）由题意，CO?AO，BO?AO，

??BOC是二面角B?AO?C是直二面角，

zADOxBy又?二面角B?AO?C是直二面角，

C?CO?BO，又?AO?BO?O， ?CO?平面AOB，

又CO?平面COD．

?平面COD?平面AOB．

0，0)，A(0，C(2，0，0)，（II）建立空间直角坐标系O?xyz，如图，则O(0， 0，23)，D(01，，3)，

?????????OA?(0，0，23)，CD?(?21，，3)，

????????????????OA?CD?cos?OACD，??????????OA?CD66． ??423?22?异面直线AO与CD所成角的大小为arccos6． 4（四）

17．解：（Ⅰ）∵f(x)??1?cos????π???2x???3cos2x?1?sin2x?3cos2x ?2??

π???1?2sin?2x??．

3??又∵x??，?，∴≤2x?≤，即2≤1?2sin?2x??≤3，

633423?????ππ?ππ2π?π?∴f(x)max?3，f(x)min?2．

（Ⅱ）∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2，x??，?，

42?ππ???∴m?f(x)max?2且m?f(x)min?2，

∴1?m?4，即m的取值范围是(1，4)．

118．解：（Ⅰ）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为C2?0.6?0.4?0.48 1乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C2?0.6?0.4?0.48

故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为

P?0.48?0.48?0.2304

（Ⅱ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.44?0.0256, 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为

P?1?0.0256?0.9744

1解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为C4?0.6?0.4?0.1536

2甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C4?0.62?0.42?0.3456 2甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为C4?0.62?0.42?0.3456 4甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为0.6?0.1296

故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为

P?0.1536?0.3456?0.3456?0.1296?0.9744

19．作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系

A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,22222,0),D(?,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1?,,0), 22244

?????????????22222(1)MN?(1?,,?1),OP?(0,,?2),OD?(?,,?2)

44222zOMAxBNCPDy设平面OCD的法向量为n?(x,y,z),则

????????n?OP?0,n?OD?0

?2y?2z?0??2即 ?

??2x?2y?2z?0??22取z?2,解得n?(0,4,2)

?????22∵MN?n?(1?,,?1)?(0,4,2)?0

44?MN‖平面OCD

?????????22(2)设AB与MD所成的角为?,∵AB?(1,0,0),MD?(?,,?1)

22?????????AB?MD1?? ∴co?s????,?? , AB与MD所成角的大小为 ???????∴33AB?MD2????(3)设点B到平面OCD的交流为d,则d为OB在向量n?(0,4,2)上的投影的绝对值,

????OB?n2????2?．所以点B到平面OCD的距离为。 由 OB?(1,0,?2), 得d?3n3（五）

17．解：f(x)?cos(2x?)?sin(2x?)

π4π4πππ?)?2sin(2x?)?2cos2x． 4422π?π； （I）函数f(x)的最小正周期是T?2π（II）当2kπ?π≤2x≤2kπ，即kπ?≤x≤kπ（k?Z）时，函数f(x)?2cos2x是增

2π函数，故函数f(x)的单调递增区间是[kπ?，kπ]（k?Z）．

2?2sin(2x?18．解：设Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；

Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；

（1）依题意所求的概率为

1112C32C4C3?C2C412?2?2?2?P? i?P(A1?B0)?P(A0?B1)?P(A1)P(B0)?P(A0)P(B1)2C5C5C5C5252C32127C4?1?2?2??(2)解法一：所求的概率为P2?1?P(A0?B0)?P 1C5C52550解法二：所求的概率为

P2?P(A1?B1)?P(A0?B2)?P(A1?B2)?P(A1)P(B1)?P(A0)P(B2)?P(A1)P(B2)

1112212C3?C2C4C4C2C4C217?2??????C5C52C52C52C52C5250

19．解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)

????????所以CD?(?1,1,0),PB?(1,?1,?1)

????????????????PB?CD6 COS?PB,CD????????????3PB?CD

所以异面直线所成的角的余弦值为：6 3?????????(2)设平面PCD的法向量为n?(x,y,z)，CP?(?1,0,1),CD?(?1,1,0)

?????n?CP?0??x?z?0，所以 ?； ??????x?y?0n?CD?0??????令x=1,则y=z=1,所以n?(1,1,1) 又AC?(1,1,0)

则，点A到平面PCD的距离为：

?????n?AC23d???3n（六）

17．解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+

w

?)． 6由1+2sin(2x+

??3)=1－3，得sin(2 x +)=－． 662????5???≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-， 3326663?即x=-．

4∵-（Ⅱ）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象． 由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+∵|m|<

?)+1． 12??，∴m=-，n=1．

212

18．解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意

1221C2C6?C2C69P(A)?? 3C814（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则

21C2C3P(B)?36?

C828（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为

121C4C3C63P(D)?? 3C87所以

P(C)?1?P(D)?1?34?． 7719．解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D?xyz．

?????????则DA?(1，0，0)，CC??(0，01，)．

z D? A? H P C? B? D A x B C y 连结BD，B?D?．

在平面BB?D?D中，延长DP交B?D?于H．

?????设DH?(m，m，1)(m?0)，

?????????DA??60?， 由已知?DH，???????????????????????????，DH? 由DA?DH?DADHcos?DA

可得2m?2m2?1．

??????22?2，，1?解得m?，所以DH??． ??2?22?22?0??0?1?1??????????22CC???2?（Ⅰ）因为cos?DH，，

21?2??????????所以?DH，CC???45?．

即DP与CC?所成的角为45．

?????（Ⅱ）平面AA?D?D的一个法向量是DC?(01，，0)．

22?0??1?1?0?????????122DC???， 因为cos?DH，21?2?????????所以?DH，DC??60?．

可得DP与平面AA?D?D所成的角为30．

?（七）

17．解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． 6（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin????????A? ??????cosA?sin??A?

?6?13?cosA?cosA?sinA

22????3sin?A??．

3??由△ABC为锐角三角形知，

???????A??B，?B???． 2222632????A??， 336所以

1???3． sin?A???2?3?23??3??3sin?A????3， 232??由此有?33?所以，cosA?sinC的取值范围为???2，?． 2??18．解: (Ⅰ)记\甲投进\为事件A1 ， \乙投进\为事件A2 ， \丙投进\为事件A3， 211则 P(A1)= ， P(A2)= ， P(A3)= ，

5232111

∴ P(A1A2A3)=P(A1) ·P(A2) ·P(A3) = × ×=

523151

∴3人都投进的概率为 15

(Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进\为事件B P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2)

=P()·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P()·P(A3)+P(A1)·P(A2)·P() 21321321319 =(1－)× × + ×(1－)× + × ×(1－) =

5255255255019

∴3人中恰有2人投进的概率为 50

19．以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得DF?1?b，故

z D? H A? P D A F C? G B? Q C B E y x A(1，0，0)，A?(1，0，1)，D(0，0，0)，D?(0，0，1)，

P(1，0，b)，Q(11，，b)，E(1?b，1，0)，

F(1?b，0，0)，G(b，11)，，H(b，0，1)．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

????????PQ?(010)，，，PF?(?b，0，?b)， ????PH?(b?101，，?b)，

??????????AD??(?101)，，，A?D?(?10，，?1)．

?????????????????????????因为AD?PQ?0，AD?PF?0，所以AD?是平面PQEF的法向量． ???????????????????????因为A?D?PQ?0，A?D?PH?0，所以A?D是平面PQGH的法向量．

????????????????????因为AD??A?D?0，所以A?D?AD?，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．

4分

??????????????????????????????EF=PQ，又PF?PQ，所以PQEF为（Ⅱ）证明：因为EF?(0，?10)，，所以EF∥PQ，矩形，同理PQGH为矩形．

??????????在所建立的坐标系中可求得PH?2(1?b)，PF?2b， ???????????????所以PH?PF?2，又PQ?1，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为2，是定值． 8分

?????（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AD??(?101)，，是平面PQEF的法向量．

由P为AA?中点可知，Q，E，F分别为BB?，BC，AD的中点．

??1?1??????所以E?，1，0?，D?E??，1，?1?，因此D?E与平面PQEF所成角的正弦值等于

?2??2???????????2． |cos?AD?，D?E?|?2（八）

17．解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A?

应用正弦定理，知

?2?，B?0，C?0得0?B?． ??

AC?BC23sinB?sinx?4sinx，

?sinAsin?

AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???

因为y?AB?BC?AC， 所以y?4sinx?4sin?

2???2????x??23?0?x??，

3?????

???1cosx?sinx?（2）因为y?4?sinx????23 ?2??

?43si?nx?

?????????5????2?3?x???，

?????

所以，当x?????，即x?时，y取得最大值63． ???18．解：（I）任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为

22P(2)?C?0.9?0.1?0.243. 33（II）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”

为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为

z D1 A1 C1 B1 P(A.B)?P(A.B)?P(A.B)?0.9?0.95?0.9?0.05?0.1?0.95?0.995.

E D x A B C y 解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为

1?P(A.B)?1?0.1?0.05?0.995.

19．以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D?xyz．

依题设，B(2，2，，0)C(0，2，，0)E(0，21)，，A1(2，0，4)．

?????????????????DE?(0，21)，，DB?(2，2，0)，AC?(?2，2，?4)，DA1?(2，0，4)．----3分 1????????????????（Ⅰ）因为AC1?DB?0，AC1?DE?0，

故AC?BD，AC?DE． 11又DB?DE?D，

所以AC?平面DBE． 6分 1（Ⅱ）设向量n?(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则

?????????n?DE，n?DA1．

故2y?z?0，2x?4z?0．

1，?2)． 令y?1，则z??2，x?4，n?(4，9分

?????n，AC?等于二面角A1?DE?B的平面角， 1????????n?AC141． cos?n，AC???????142nAC1所以二面角A1?DE?B的大小为arccos14． 42（九）

?17解：（1）?tanC?37，

又?sinC?cosC?1 解得cosC??22sinC?37 cosC1． 8?tanC?0，?C是锐角．

1?cosC?．

8????????5（2）?CB?CA?，

2

?abcosC??ab?20．

5， 2又?a?b?9

?a2?2ab?b2?81． ?a2?b2?41．

?c2?a2?b2?2abcosC?36． ?c?6．

22C2C211118．解：（I）记“取到的4个球全是红球”为事件A．P(A)?2?2???.

C4C561060（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2．由题意，得

2112CnC21?Cn12n231C2?C2C2P(B)?1??. P(B1)???2?2?244n(?C4Cn?2C4Cn?223(n?2)22Cnn(n?1)C2; P(B2)?2?2?C4Cn?26(n?2)(n?1); 1)2n2n(n?1)1?， 所以P(B)?P(B1)?P(B2)??3(n?2)(n?1)6(n?2)(n?1)4化简，得7n?11n?6?0, 解得n?2，或n??23（舍去）， 719．由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（3，-1，0），C（C，1，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），E（3，0，0），F（31,,1）， 22

????????31所以 AE?(3,0,0),AF?(,,1).

22设平面AEF的一法向量为m?(x1,y1,z1),

??????m?AE?0,则???? ???m?AF?0,?3x1?0,?因此?3 1x1?y1?z1?0.??22取

z1??1,则m?(0,2,?1),

因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， 所以 BD⊥平面AFC，

????故 BD为平面AFC的一法向量．

????又 BD=（-3,3,0），

????????m?BD2?315?????所以 cos＜m, BD＞=?.

5|m|?|BD|5?12因为 二面角E-AF-C为锐角， 所以所求二面角的余弦值为

15. 5（十）

b?m(1?sin2x)?cos2x， 17．解：（Ⅰ）f(x)?a?由已知f?π?π?π???m1?sin?cos?2，得m?1． ???422??????π??， 4?（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?1?sin2x?cos2x?1?2sin?2x?

π???当sin?2x????1时，f(x)的最小值为1?2，

4??由sin?2x????3π?π?，得值的集合为??1xx?kπ?，k?Zx??． ?4?8??22C2C211118．解：（I）记“取到的4个球全是红球”为事件A．P(A)?2?2???.

C4C561060（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2．由题意，得

2112CnC21?Cn12n231C2?C2C2P(B)?1??. P(B1)???2?2?244n(?C4Cn?2C4Cn?223(n?2)22Cnn(n?1)C2; P(B2)?2?2?C4Cn?26(n?2)(n?1); 1)2n2n(n?1)1?， 所以P(B)?P(B1)?P(B2)??3(n?2)(n?1)6(n?2)(n?1)4z B1 A1 C1 A B x

化简，得7n?11n?6?0,

解得n?2，或n??2D C y 3（舍去）， 719．（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则A(0，0，，0)B(2，0，，0)C(0，2，，0)A1(0，0，3)，C1(01，，3)，

????1?????BD:DC?1:2，?BD?BC．

3?222??D点坐标为?，0?．

?3，?3??

?????222?????????0?，BC?(?2，?AD??2，，0)AA1?(0，0，3)．

?3，，?3???????????????????BC?AA1?0，BC?AD?0，?BC?AA1，BC?AD，又A1A?AD?A， ?BC?平面A1AD，又BC?平面BCC1B1，?平面A1AD?平面BCC1B1．

????（Ⅱ）?BA?平面ACC1A，0，0)为平面ACC1A1的法向量， 1，取m?AB?(2?????????设平面BCC1B1的法向量为n?(l，m，n)，则BC?n?0，CC1?n?0．

?3??2l?2m?0，???l?2m，n?m，

3???m?3n?0，1，如图，可取m?1，则n??2，???3?， ??3?2?2?0?1?0?cos?m，n??(2)2?02?02332??3?22(2)?1???3??15， 5即二面角A?CC1?B为arccos

15． 5

ww.zxsx.com

?????222?????????0?，BC?(?2，?AD??2，，0)AA1?(0，0，3)．

?3，，?3???????????????????BC?AA1?0，BC?AD?0，?BC?AA1，BC?AD，又A1A?AD?A， ?BC?平面A1AD，又BC?平面BCC1B1，?平面A1AD?平面BCC1B1．

????（Ⅱ）?BA?平面ACC1A，0，0)为平面ACC1A1的法向量， 1，取m?AB?(2?????????设平面BCC1B1的法向量为n?(l，m，n)，则BC?n?0，CC1?n?0．

?3??2l?2m?0，???l?2m，n?m，

3???m?3n?0，1，如图，可取m?1，则n??2，???3?， ??3?2?2?0?1?0?cos?m，n??(2)2?02?02332??3?22(2)?1???3??15， 5即二面角A?CC1?B为arccos

15． 5

ww.zxsx.com

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vk0o.html