概率宝典之(3)

《概率宝典（多维随机变量）》

1． 设某人从1，2，3，4四个数字中依次取出两个数，记X为第一次取出的数，Y为第二

次取出的数，分别就放回抽样和不放回抽样两种情况，求X和Y的联合分布律。 2． 设某图书馆的读者人数服从参数为?的泊松分布，每个读者借阅图书的概率为p，且每

个读者借阅图书与否相互独立，记X=读者人数，Y=借阅图书的人数。求X和Y的联合分布律。

3． 从一副扑克牌（52张）中任取13张牌，暗合X为红桃张数，Y为方块张数，求X和Y的联合分布律。 4． 将10个随机地放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，设X为落入1号盒子的球的

个数，Y为落入2号或3号盒子的球的个数，求X和Y的联合分布律。 5． 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为：

Y 3 6 9 12 15 18

X 1 0.01 0.03 0.02 0.01 0.05 0.06

2 0.02 0.02 0.01 0.05 0.03 0.07 3 0.05 0.04 0.03 0.01 0.02 0.03 4 0.03 0.09 0.06 0.15 0.09 0.02 （1） 求X，Y的边缘分布律；

（2） 求在Y?9时随机变量X的条件分布律。 6． 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=???8xy,0?x?y?10,其它13，

（1） 求边缘概率密度；（2）求P(X?Y?1)；（3）求X?答案：（1）fX(x)? fY(y)?（2）

16时Y的条件概率密度。

?y01x28xydy?4x(1?x)，0?x?1

?8xydx?4y,0?y?1

f(x,y)fX(x)x?133；（3）fYX(yX?1)?3?9y4

??e??x,x?07． 设二维随机变量(X,Y)，已知X的边缘概率密度为fX(x)=?，且已知对

0,其它?任意的x?(0,??)，在X?x条件下，

?xe?xy,y?0 (yx)=??0,其它随机变量Y的条件概率密度为fYX（1） 求(X,Y)的联合概率密度；（2）求Y的边缘概率密度；（3）求在Y?2时随机变量

X的条件密度。

1

8． 一教室内有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，为使从该教室内随机地选取一名学生时其性别与年级相互独立，那么该教室内应该有多少二年级女生？ 答案：至少要有9个二年级女生。 9． 设X和Y的联合密度为

?Ax2e?y,?1?x?1,y?0，求（1）常数A；（2）边缘概率密度fX(x),fY(y); f(x,y)???0,其它(3) X和Y是否相互独立？

3?32答案：（1）2；（2）f?x,?1?x?1?e?y,y?0X(x)??2，fY(y)??；（3）独立

??0?010． 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)???A(x2?y),x2?y?1,

?0,其它求（1）常数A；（2）边缘概率密度fX(x),fY(y); (3) X和Y是否相互独立？（4）概率P(Y?X) 解：（1）1???Ax2D(?y)dxdy=A?1dx?122(x?y)dy=A16?1x15，得A?1516

115?154 （2）f2?(?3x?2x2?1),?1?x?1X(x)=?x216(x?y)dy=??32

?0?fy)??53?2y2,0?y?1Y(

??0（3）不独立；（4）

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11．设X和Y是相互独立的随机变量，

X 1 2 3 4 Y 1 2 3

P 0.2 0.3 0.4 0.1 P 0.5 0.3 0.2

求（1）X和Y的联合分布律；（2）P(X?Y?4)；（3）Z?X?Y的概率分布律。 解：（1）X 1 2 3 4 Y 1 0.1 0.15 0.2 0.05 2 0.06 0.09 0.12 0.03 3 0.04 0.06 0.08 0.02

（2）P(X?Y?4)=0.1?0.06?0.04?0.15?0.09?0.2=0.64

2

（3）Z 2 3 4 5 6 7

P 0.1 0.21 0.33 0.23 0.11 0.02

12．设到火车站购票所需时间（以小时为单位）X是随机变量，具有概率密度

?xe?x,x?0，某人将去购票5次，设每次所需时间相互独立，记Xi为第i次购票f(x)???0,x?0所需时间（i?1,2,3,4,5），设Y?max{Xi,i?1,2,3,4,5}，Z?min{Xi,i?1,2,3,4,5}，求Y,Z的概率密度。

13．设某副食商店出售的色拉油、食盐、酱油均由某厂生产，其包装后的净重均是随机变量（重量以克计），依次服从N(1000,100)，N(500,25)，N(500,25)。若某人买了一瓶色拉油、两包食盐、三瓶酱油，问总的净重服从什么分布？

解：设X1~N(1000,100)，X2~N(500,25)，X3~N(500,25)

则Z?X1?2X2?3X3~N(1000?2?500?3?500,100?4?25?9?25) =N(3500,425)

14．设某种产品的甲种指标X~N(60,16)，乙种指标Y~U[10,40]，且两指标相互独立，求两指标之和Z?X?Y的概率密度。 解：f(x,y)=fX(x)fY(y)=

11201D2?e?e?(x?60)322，x?R，10?y?40

(x?60)?z?y??132?edx?dy ????1202????22(x?60)322FZ(z)?P{Z?z}???12022?dxdy=?4010=?4010(t?y?60)(t?y?60)?z???z401132?32edt?dy=[?edy]dt，因此 ????????101202?1202???fZ(z)?FZ?(z)=?130130z?104011202102?du=

e?(z?y?60)322，得} dy {令z?y?u（z为常数）

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