微分几何教案 第三讲

§ 10 Weingarten 变换 W

W:Tp?Tp,

W(ri)??ijrjWeingarten 变换，

由

dn?nidui???ikrkdui??W(ri)dui??W(ridui)??W(dr).而

II??dn?dr?W(dr)?dr?(W(dr),dr).

可证明：对于任意a,b?Tp, 则有

?W(a),b???a,W(b)?.

我们称W为自共轭。对于复线性空间V，任

意?,??V，有

(k?,?)?k(?,?),(?,l?)?l(?,?). 故

设?是W的特征值，即 W????. 由

(W?,?)?(?,W?)?(??,?)?(?,??).

即

?(?,?)??(?,?),

1

因

??0????.

故 ?为实数。（即W称为自共轭时，?为实数。）

故W有两个实的特征值，设e?e，单位的，是W的两个特征值?,?对应的特征向量，即

We1??1e1,

We2??2e2.1212§ 11

设 p?S,a,b?Tp. a 与b称为互相共轭的，如果(Wa,b)?0。 设a?ar,b?br, 此时

ijij(Wa,b)?(W(airi),bjrj)?aibj(Wikrk,rj)?abWigkj??ijab?0.ijkij

即

La1b1?M(a1b2?a2b1)?N(a2b2)?0.

若a与其自身互共轭时，称a为渐进方向。

?aa?L(a)?2Maa?N(a)?0.

ij121222ij若曲线上一条曲线：u?u(t),v?v(t)上每点切向量都是渐进方向，则称此条曲线为渐进曲

2

线。

dudv此时，切向量为(,)?a,

dtdt

于是有

du2dudvdv2L()?2M?N()?0. dtdtdtdt当 r与r互共轭时，有(W(r),r)?0, 即??0.即 M?0.

121212定理 曲面S的参数曲线网是共轭曲线网充要条件是M?0.

当S的参数曲线网是渐进曲线网，即r,r都是渐进方向时，

0?(Wr,r)???L,0?(Wr,r)???N.

1211112222于是有

定理 曲面S的参数曲线是渐进曲线网充要条件是L=N=0。 § 12 曲面上的曲率

曲面S：r?r(u,u)，

p处一曲线c：r(s)?r?u(s),u(s)?,s为弧长参数。 则 曲线

1212 3

drduiT??ri,dsds iiidTddudriduddu?kN??(ri)??ri()dsdsdsdsdsdsds

?ijkdujrk??ijdujnduid2ui??2ridsdsds2iijijdududukdudu?2ri??ijrk??ijndsdsdsdsds ij2kij?ijdududukdudu?rk??ijrk?n22dsdsds(ds)ijd2ukduduIIk?(2??ij)rk?n.dsdsdsI这里

ijd2ukdudu(2??ijk)rk??为测地曲率向量kNdsdsds在T上的投影。

pIIn?knn为法曲率向量kN在n方向上I的投影。 法曲率

II(W(dr),dr)kn??,kn只与dr的方向有关

I(dr,dr)与大小无关！

定理 若曲面上的两条曲线在某点相切（即

4

在某点有相同的切向量，大小可以不同），则它们在这点的法曲率相同。 证明：

由 k的公式立即可得。

设p?S,e?e.

n12?We1?k1e1??We2?k2e2,ki为

W的特征值。

(We1,e1)k1(e1,e1)??k1,(e1,e1)(e1,e1)(We2,e2)?k2.(e2,e2)12

即 法曲率k,k为W一变换的特征值。 设 T为p?T处任一单位切向量，则 T?cos?e?sin?e.

p12事实上，设

T?ae1?be2?a?T?e1?|T||e1|cos??cos?.b?T?e2?sin?.

(W(T),T)kn(?)??(W(T),T)(T,T)?(cos?k1e1?sin?k2e2,cos?e1?sin?e2)

?cos2?k1?sin2?k2.

5

此为Euler公式。

§ 13主方向、主曲率

dkn?2k1cos?(?sin?)?2k2sin?cos? d??2(k2?k1)sin?cos??0,时，k(?)达到极值点。

n当 k?k?0时，sin?cos??0, 则??0或??.

21?2e为k的方故 T//e,或 T//e, e为k的方向，

向。

称主曲率达到最大、最小两个方向：e，e为主方向 ，k，k为主曲率。 若在p?S,k?k, 则

由 k(?)?kcos??ksin??k?k, 知

点p的任何方向的法曲率都相等，此时称p为S的脐点。 此时有

???g.

12112212121222n1212ijij 6

当??0时，p称为平点；当??0时，p称为圆点。

§14 曲率线

c：S上曲线，若在点p?c,c的切线为曲面的主方向，则称c为S的曲率线。

定理 曲线c:r?r(s)为曲面S的曲率线充要条件是存在函数?(s),使得：

dndr???(s). dsds证：c为曲率线，则

drdr W()??(s),?为主曲率。

dsds§15 主曲率及曲率线的计算、 总曲率、平均曲率 设 ?为S的主曲率 W(e)??e,e?ar为特征向量：

ii?W(airi)?ai?ijrj??airi?ai?ijrj??ajrj?(ai?ij??aj)rj?0.ijjr,r?a???a?0. 因12线性无关 i

即

ai?ij??ai?ij?0jji?(?i???i)a?0.7

因e?0(e为特征向量），故a,a不全为零。

12故 |???I|?0, 即 |?I??|?0,??(?ij). 将上式展开得：

?2?tr(?)??det??0.

定义：

K?det?,Gauss曲率（总曲率），

1H?tr(?), 平均曲率。

2则上方程变为

?2?2H??K?0.

设 k,k为两个主曲率，则

12k1?k2?2Hk1?k2?K.?1?(k?k)?H??,12?2?

以下计算K和H的公式：

det(?kj)K?det(?)?det(?i)?det(g?kj)?det(gij)jik?11?12?21?22?g11g12g21g22LMMNLN?M2??.2EFEG?FFG

（因

8

?ij??kjgki??ijgil??kjgkigil??kj?kl??lj??j?g?ij?g?ij)lilli

111ij H?tr(?)?tr[(g)(?ij)]?tr(g?1?).

222?Lg?(gij),??(?ij)???M1?Gg??|g|??F?1M??， N??F??. E??F??G1???2E?EG?F??F故

?G1?1H?tr??22?EG?F??F1GL?2FM?EN?.22EG?F?F??L??E??MM????N??

例 1、环面

r(u,v)??(a?rcosu)cosv,(a?rcosu)sinv,rsinu?,0?u?2?,0?v?2?.

解：

r??(?rsinu)cosv,(?rsinu)sinv,rcosu?,r???(a?rcosu)sinv,(a?rcosu)cosv,0?,r??(?rcosu)cosv,(?rcosu)sinv,?rsinu?, r???(?rsinu)sinv,(?rsinu)cosv,0?,r???(a?rcosu)cosv,?(a?rcosu)sinv,0?.uvuuuvvv从而

9

E?r2,F?0,G?(a?rcosu)2,L?r,M?0,N?(a?rcosu)cosu.

故

LN?M2cosuK??,a?r,a?rcosu?0. 2EG?Fr(a?rcosu)3?当 0?u?,or?u?2?时，cosu?0,即在环

22?的外侧时，K?0.

3?当 u?,or时，cosu?0,?K?0.

22?3?cosu?0,即环面的内侧时，当 ?u? 时，

22?K?0。

例 求曲面 r(x,y)?(x,y,f(x,y))的Gauss曲率K及平均曲率H。 解：

10

rx?(1,0,fx),ry?(0,1,fy)rxx?(0,0,fxx),rxy?ryx?(0,0,fxy),ryy?(0,0,fyy),n?L?(?fx,?fy,1)1?fx?fy11?fx?fy2222(rx,ry,rxx)?fxy1?fx?fy22fxx1?fx?fy,22,M?(rx,ry,n)?N?fyy1?fx?fy22,22

?fxxfyy?fxy22

K?LN?MEG?F2(1?fx?fy)222

.

H?(1?fx)fyy?2fxfyfxy?(1?fy)fxx(1?fx?fy)2232曲率线的计算：

设c为曲率线，?为它的主曲率，c的切向量dr?dur为主方向，则有(???g)du?0（由

ijiijij(?ij??ij?)dui?0?(?ij??ij?)duigjk?0?(?ik??gik)du?0)i

将上式展开整理得：

11

1212(Ldu?Mdu)??(Edu?Fdu)?0? ?1212?(Mdu?Ndu)??(Fdu?Gdu)?0.因 1,??不全为零，则

Ldu1?Mdu2Mdu?Ndu12Edu1?Fdu2Fdu?Gdu12?0.

即

(LF?ME)(du1)2?(LG?NE)du1du2?(MG?NF)(du2)2?0,此为曲率线方程。

§16 曲率线网

设S上无脐点，则任意p?S有两个独立的主方向，则可以选到参数(u,v),使得两坐标曲线都是曲率线网，即r,r均是主方向。此时，r?r,即F?0. 故

I?E(du)?G(du).

uvuv1222W(ri)?kiri,i?1,2,?,ki为主曲率。

II?(W(dr),dr)?(W(ridui),rjduj)?duiduj(W(ri),rj)?duiduj(kiri,rj)?kigijduiduj?k1E(du1)2?k2G(du2)2?L(du1)2?2Mdu1du2?N(du2)2.?L?k1E,M?0,N?k2G.

所以，我们得到：

12

定理 在不含有脐点的曲面上，参数曲线网为曲率线网（即r,r为主方向，W(r)?kr,r?r)?F?M?0.

uviii12此时

1222?I?E(du)?G(du) ?1222?II?k1E(du)?k2G(du).§17曲面在一点邻近处的形状

p,p'?S,p?p'.pp'?r(u1??u1,u2??u2)?r(u1,u2)

1i?ri?u?rij?ui?uj??21ki?ri?u?(?ijrk??ijn)?ui?uj??2 13

11ij12ij2?(?u??ij?u?u)r1?(?u??ij?u?u)r2221??ij?ui?ujn??211ijr112ijr212?(?u??ij?u?u)E?(?u??ij?u?u)G2|r1|2|r2|11??ij?ui?ujn??211ij12ij12?(?u??ij?u?u)Ee1?(?u??ij?u?u)Ge2221??ij?ui?ujn??.2

去掉?u?u高阶无穷小，

ijpp'?Xe1?Ye2?Zn.

这里

11ijX?(?u??ij?u?u)E，

212ij2Y?(?u??ij?u?u)G，

21Z??ij?ui?uj21??L(?u1)2?2M?u1?u2?N(?u2)2?,?ru?rv,M?0,ru,rv2为曲率线。 11222?(k1E(?u)?k2G(?u))21112?k1E(?u)?k2G(?u2)2. 221 14

去掉X,Y中?u,?u高阶无穷小得

X??uE,Y??uG.

1212则

k12k22Z?X?Y. 22在p点用平行于Z轴的平面Z?c?const.来截

曲面S，则有

kX?kY?2c.

2212当K?kk当K?kk当K?kk1112?0的点称为椭圆点。

2?0的点称为双曲点。 ?0的点称为抛物点。

2§18 高斯映射

?p?S,Tp为切空间，n,|n|?1,为单位法向量。

映射G(p)?p'?S2（单位球面） 是点对应。 G(r(u,v))?n(u,v),|n|?1, 向量的对应。

§19 Gauss曲率的另一表示

由前面我们得到

ni???ijrj, 展开即为

15

i12n1???1ri???1r1??1r2,n2?i??2ri?1??2r12??2r2.

1221n1?n2?(?1?2??1?2)r1?r2j?det(?i)r1?r2?Kr1?r2.

另一方面

G把S中区域D映射到球面中区域D'，D上的面积元素为|r?r|,D'上面积元素为|n?n|.则

1212A??D|r1?r2|du1du2,A'??D|n1?n2|du1du2??D|K||r1?r2|du1du2A'??DK|r1?r2|du1du2?K(p')?D|r1?r2|du1du2,

p'?D.故

12|K||r?r|duduA'?12Dlim?lim?|K(p)|. 12D?pD?0A?D|r1?r2|dudu因此，|K(p)|表示在Gauss映射下包含p点的区

域D的象D'的面积A'与D的面积A的比，当D收缩到p的极限值。

§20

Gauss曲率、平均曲率满足

某些性质的曲面

1． 全脐点曲面 曲面S

16

如果 ???g,?p?S. 则S称为全脐点曲面。

此时，k?k?const.

此时，kn?k1?k2，曲面上任何方向都为主方向。

??2H??K?0,k,k为两主曲率，

ijij122121则 k1?k2?K,(k1?k2)?H?K?H2.

2以下给出了所有的全脐点曲面。

定理 全脐点曲面必是平面或者球面的一部分。 证明：

S全脐点曲面????g. 而

ijijni?j??irj??(g?li)rj??(g?gli)rj???irj???rilkjlk??igilgjk??i?jk??i,ki.e.?ijljljj(?igli??li??lig? 由

17

?nj?ni?2n?ij?i?j?u?u?u?u?(??ri)?(??rj)?(?ri)?(?rj)???jij?u?u?u?ui?????j?ri?i?rj ?u?u?????1?r2?2?r1?u?u?????1?r2?2?r1?0.?u?u因 r?r??r??n 关于i,j对称。

r 不平行于r

ijjikijkij12??????1??2?1?2?0?d??1du?2du?0 ?u?u?u?u???const.若 ??0, 由n???r?niii?0?dn?nidui?0?n为常向量。

12?d(r?n)?dr?n?r?dn?dr?n?(r1du?r2du)?n?0

?r?n?const,为一平面方程。 若 ??0

18

ni???ri.?ni??ri?0?d(n??r)?nidu??ridu?(ni??ri)du?0?n??r?const.?n?a??r.vector?a.iii

?|a??r|?1,i.e.|r?a?|?1|?| ，

表示球心为.

?2．Gauss曲率为0的曲面

K?k?k?0.不仿设k?0.取曲率线网(u,v)为参数曲线网。（即r,r均为主方向，此时，r?r.F?M?0,L?kE,N?kG)

121121212a若 取u为弧长参数为参数，即r?rk?0 导致L?kE?0. 于是由

u11u?E?1,

rij??ijkrk??ijn?r11??r??11n??r??r?Ln??r??r.k11k1111211211112112

而 取正交曲线网时，F?0.

19

?E?E1212?u?u?11??0,?11??0. 2E2E故 r11?0.

于是 r?l(v),r?ul(v)?a(v)是直纹面，u为该直纹面的母线。 因 n??kr?0.

故沿该直纹面的母线，切平面都相同。（沿u，即 v?const.?0?du?n?0?0.

故 dn?ndn?ndn?ndu?ndv?n?const.从而切平面相同。）

因此，它是可展曲面。

可展的直纹面只能是柱面、锥面和切线面，而柱面、锥面及切线面的K?0.从而得： 定理 曲面S的K?0?曲面为可展曲面，即锥面、柱面或者切线面（平面当然有K?0）。

111112121212Remark：

'r(u,v)?a(u)?va(u)是直纹面，此切线面：

时

'l(u)?a(u).

直纹面：r(u,v)?a(u)?vl(u)，

可展曲面：如果沿着一个直纹面的母线，切平面都相同，就把此种直纹面称为可展曲

20

面。

直纹面r?a(u)?vl(u)为可展曲面?(a',l,l')?0. 2． 平均曲率H?0的曲面（极小曲面）。

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