3-1-2 - 相遇与追及问题 题库教师版 doc

3-1-2相遇与追及问题

教学目标

1、 根据学习的“路程和＝速度和× 时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题 2、 研究行程中复杂的相遇与追及问题

3、 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 4、 培养学生的解决问题的能力

知识精讲

一、相遇

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么

相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间

＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间.

一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即S和=V和t

二、追及

有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 1 of 33 追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间

＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间.

一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即S差=V差t

例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为v甲和v乙，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米

三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：

(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。 ?总路程=速度和?相遇时间?相遇问题?速度和=总路程?相遇时间?相遇时间=总路程?速度和? ?追及时间=追及路程?速度差?追及问题?追及路程=速度差?追及时间?速度差=追及路程?追及时间?模块一、直线上的相遇与追及问题

【例 1】 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行

48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？ 【解析】 本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）

×3.5=94×3.5=329（千米）．

【巩固】 两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时

行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？ 【解析】 根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135

（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）.

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【例 2】 大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，

他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？ 【解析】 大头儿子和小头爸爸的速度和：3000?50?60(米/分钟)，小头爸爸的速度：（60?24）?2?42(米

/分钟)，大头儿子的速度：60?42?18(米/分钟)．

【巩固】 聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42

米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？ 【解析】 方法一：由题意知聪聪的速度是：20?42?62(米/分)，两家的距离?明明走过的路程?聪聪走

过的路程?20?20?62?20?400?1240?1640(米)，请教师画图帮助学生理解分析．

？聪聪20分钟后相遇明明

注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：S和?v和t．对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解及应用公式．

方法二：直接利用公式：S和?v和t?（20?62）?20?1640(米)．

【例 3】 A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包

子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米？ 【解析】 包子的速度：90?30?3(米／秒)，菠萝的速度：90?15?6(米／秒)，相遇的时间：

90?(3?6)?10(秒)，包子距B地的距离：90?3?10?60(米)．

【巩固】 甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，

乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？ 【解析】 要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是360?4?90（千米／时），乙

车的速度是360?12?30（千米／时），则相遇时间是360?(90?30)?3（小时）．

【例 4】 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙

车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离． 【解析】 这题不同的是两车不“同时”．

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 3 of 33 （法1）求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．48?(1?5)?288（千米），50?5?250（千米），． 288?250?538（千米）

（法2）还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程． ，490?48???． (48?50)?5?490（千米）538（千米）

【巩固】 甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，

乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？ 【解析】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时

所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：41?2?82(千米)，甲、乙两车同时相对而行路程：770?82?688(千米)，甲、乙两车速度和：45?41?86(千米／时)， 甲车行的时间：688?86?8(小时)．

【巩固】 甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每小时行22千米，

乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？ 【解析】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时

所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：22?2?44(千米)，甲、乙两车同时相对而行路：144?44?100(千米)，甲、乙两车速度和：28?22?50(千米)，与乙车相遇时甲车行的时间为：100?50?2(小时)．

【巩固】 妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米．妈妈走了3分钟后，小红从学校出发，小

红每分钟走60米．再经过20分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？ 【解析】 妈妈先走了3分钟，就是先走了75?3?225（米）．20分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和

小红共同走了20分钟，这一段的路程为：(75?60)??20，这样妈妈先走的那一段路????2700（米）

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 4 of 33 程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离．即． (75?3)?(75?60)?20?2925（米）

【巩固】 甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行50千米，

客车每小时行70千米．客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？ 【解析】 因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时．如

果从总路程中把货车单独行驶1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间：（小(530?50)?(50?70)?480?120?4时）相遇时客车行驶的路程:70?4?280(千米)相遇时货车行驶的路程：50?(4?1)?250（千米）．

【巩固】 甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每

小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？ 【解析】 366?37?2）（?（37?36）?4(小时)．

【例 5】 甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B地出发，乙车出

发5小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．求A、B两地间相距多少千米？ 【解析】 题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况。画线段图如下：

由图中可以看出，甲行驶了3?5?8(小时)，行驶距离为：48?8?384(千米)；乙行驶了5小时，行驶距离为：50?5?250(千米)，此时两车还相距15千米，所以A、B两地间相距：384?250?15 ?649(千米)

也可以这样做：两车5小时一共行驶：（48?50）?5?490(千米)，A、B两地间相距：490?48?3 ?15?649(千米)，所以，A、B两地间相距649千米．

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【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距

141千米；出发后5小时，两车相遇．A、B两地相距多少千米？ 【解析】 公式“相遇时间?路程和?速度和”中，对于速度不变的两车，“相遇时间”与“路程和”是一一对应

的．如图所示

A5小时相遇5小时2小时B2小时141千米

5小时的相遇时间与A、B两地的距离相对应，(5?2)小时的相遇时间与141千米相对应.两车的

速度之和是：141?（5?2）?47(千米/时).A、B两地相距：47?5?235(千米)

【例 6】 两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在

途中每列车先后各停车4次，每次停车15分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？ 【解析】 每列车停车时间：15?4?60（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：7?1?6小

时，速度和：40?45?85（千米），两城距离：85?6?510（千米）．

【巩固】 两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途

中每列车先后各停车5次，每次停车12分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？ 【解析】 每列车停车时间：=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：7?1?612?5?60（分）

小时，速度和：40?45?85（千米），两城距离：85?6?510（千米）．

【例 7】 甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时

行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？ 【解析】 ①4小时后相差多少千米：(340?300)??4．②甲机提高速度后每小时飞行多少千米：??160（千米）

． 160?2?340?420（千米）

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 6 of 33 【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同

时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?． 【解析】 两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．

【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车

同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发3小时他们相距多少千米？ 【解析】 两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，(50?60)?3?330（千米）．

【巩固】 两列火车从相距80千米的两城背向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，

5小时后，甲、乙两车相距多少千米？ 【解析】 因为是背向而行，所以每过1小时,两车就多相距40?42?82(千米),则5小时后两车相距是：

． (40?42)?5?80?490（千米）

【巩固】 两列火车从相距40千米的两城背向而行，甲列车每小时行35千米，乙列车每小时行40千米，

5小时后，甲、乙两车相距多少千米？ 【解析】 因为是背向而行，所以两车5小时后的距离是：(35?40)?5?40?415（千米）。

【例 8】 两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，

当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？ 【解析】 甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而

行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时 乙到达目标时所用时间：900?100?9(分钟)，甲9分钟走的路程：80?9?720(米)，甲距目标还有：900?720?180(米)，相遇时间：180?(100?80)?1(分钟)，共用时间：9?1?10(分钟)．

【巩固】 八戒和悟空两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行45千米，八

戒每小时行40千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？ 【解析】 要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间：255?(45?40)??．悟空：?3（小时）

，八戒：40?3?120（千米）． 45?3?135（千米）

【例 9】 两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已

经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 7 of 33 【解析】 根据题意列综合算式得到：3300??82?83??15?5（分钟），所以两个人还需要5分钟相遇。

【巩固】 两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车

多行5千米，4小时后两车相遇了吗？为什么？ 【解析】 （40?45）?4?340(千米)，340千米<400千米，因为两车4小时共行340千米，40?5?45(千米)，

所以4小时后两车没有相遇．

【例 10】 孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙

河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？ 【解析】 注意：“还相距”与“相距”的区别．建议教师画线段图．可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路

程：（ (千米)，又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：200?150）?2?700(千米)． 700?500?1200

【巩固】 两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40

千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？ 【解析】 所求问题＝全程－4小时行驶的路程和．路程和：38?4?40?4?312（千米），

． 450?312?138（千米）

【例 11】 (2008年第六届希望杯一试)甲乙两人分别以每小时6千米，每小时4千米的速度从相距30千米

的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是l 0千米时，他们走了___________小时． 【解析】 有两种情况，一种是甲乙两人一共走了30?10(千米)，一种是甲乙两人一共走了?20(千米)，所以有两种答案：（30?10）（?6?4）?2(小时)或（30?10）（?6?4）?4(小时) 30?10?40

【巩固】 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，

小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？ 【解析】 两车在相距450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米，这时

两车共行的路程应为（450?90）千米．即 (450?90)?(40?50)?4(小时)．需要注意的是当两车

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 8 of 33 相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90千米．这时两车共行的路程为450?90千米，即 (450?90)?(40?50)?6（小时)．

【巩固】 两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千

米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？ 【解析】 两车的相距路程减去5小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：

． 480?(40?42)??5??480?410?70（千米）

【例 12】 甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发2小时后，两人相距54千米；出发5小

时后，两人还相距27千米．问出发多少小时后两人相遇？ 【解析】 根据2小时后相距54千米，5小时后相距27千米，可以求出甲、乙二人3小时行的路程和为

千米，即可求出两人的速度和：(54?27)?(5?2)?9（千米），根据相遇问题的解题规(54?27)??律；相隔距离÷速度和=相遇时间，可以求出行27千米需要：5?27?9?5?3?8（小时）．

【例 13】 甲、乙两地相距 240 千米，一列慢车从甲地出发，每小时行 60千米．同时一列快车从乙地出

发，每小时行 90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计） 【解析】 追及路程即为两地距离240千米，速度差90?60?30（千米），所以追及时间240?30?8（小

时）

【巩固】 下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学

校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）. 【解析】 若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20

米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟.

【巩固】 甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每

小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 9 of 33 【解析】 出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度

的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时），还需要2个小时。

【巩固】 解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，

派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？ 【解析】 ?6?12???78?6??1(小时)．

【巩固】 甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行

17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？ 【解析】 平平走了6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平

多走17?14?3(千米)，要求兵兵几小时可以追上6千米，也就是求6千米里包含着几个3千米，用6?3?2(小时)．因为甲地和乙地相距40千米，兵兵每小时行17千米，2小时走了17?2?34(千米)，所以兵兵追上平平时，距乙地还有40?34?6(千米)

【例 14】 小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着

明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？ 【解析】

当爸爸开始追小明时，小明已经离家：70?12?840(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短280?70?210(米)，也就是爸爸与小明的速度差为280?70?210 (米/分),爸爸追及的时间：840?210?4(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发12?4?16(分钟)，此时离家的距离是：70?16?1120(米)

【巩固】 哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5

分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 10 of 33

有多远?

【解析】 哥哥出发的时候弟弟走了：40?5?200（米），哥哥追弟弟的追及时间为：200?(65?40)?8（分

钟），所以家离学校的距离为：8?65?520（米）.

【巩固】 小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果

在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度. 【解析】 小强出发的时候小明走了50?12?600（米），被小强追上时小明又走了：(1000?600)?50?8（分

钟），说明小强8分钟走了1000米，所以小强的速度为：1000?8?125（米/分钟）.

【巩固】 小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影．小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小明

才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？ 【解析】 要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的

时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：2400?60?40(分钟)，小明所用的时间是：40?10?30(分钟)，小明每分钟走的米数是：2400?30?80(米)．

【巩固】 一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度

也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？ 【解析】 慢车先行的路程是：40?5?200(千米)，快车每小时追上慢车的千米数是：90?40?50(千米)，

追及的时间是：200?50?4(小时)，快车行至中点所行的路程是：90?4?360(千米)，甲乙两地间的路程是：360?2?720(千米)．

【巩固】 六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派

李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？ 【解析】 同学们15分钟走72?15?1，即路程差．然后根据速度差＝路程差÷追及时间，可以求出??080（米）

李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度．即． 1080?9?72?192（米）

【例 15】 小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追

小季，追上小季时小强共走了多少米？

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 11 of 33 【解析】 小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及

时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：(60?70)?3?390(米)追及时间为：390?（70?60）?39(分钟)小强走的总路程为：70?（39?3）?2940(米)

【例 16】 王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，

出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？ 【解析】 已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，

王芳一共耽误了5?2?2?12(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：70?12?840(米)，速度差为：110?70?40(米/秒)，王芳追上李华的时间是：840?40?21(分钟)

【巩固】 小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，

当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？ 【解析】 本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份

数（60份），速度差：72?60?12（份/分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是60?12?5（分钟）．共整理报纸：5?72?2?720（份）

【巩固】 甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，

甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地，求A、B两地的路程． 【解析】 根据题意画出线段图：

从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程,追及路程为：34?2?68(千米),追及时间为：68?（38?34）?17(小

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 12 of 33 时),A、B两地的路程为：38?17?646(千米).

【巩固】 小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米．小李出发后2小时，小王在小

李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王？ 【解析】 小李2小时走：13?2?26（千米），又知小王在小李的出发地点前面6千米处出发，则知道两人

的路程差是26?6?20（千米）．每小时小王追上小李15?13?2（千米），则20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即：20?2?10（小时）．

【例 17】 甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米．途中

甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B地．A、B两地间的路程是多少？ 【解析】 由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解

成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：3?1?2(小时)，乙车2小时行的路程是：40?2?80(千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：50?40?10(千米)，甲车所需的时间是：80?10?8(小时)，A、B两地间的路程是：50?8?400(千米)．

【例 18】 甲、乙两车分别从A、B两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出

发1小时，甲车的速度是96千米/小时，乙车每小时行80千米．甲车出发5小时后追上乙车，求A、B两地间的距离． 【解析】 由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：5?1?4(小时),

追及路程为：（96?80）?4?64(千米),A、B两地间的距离为：96?1?64?160(千米)

【巩固】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千

米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？ 【解析】 方法一：根据题意，画出线段示意图：

汽车（65千米/小时）摩托车（28千米/小时）甲地乙地追及地点

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 13 of 33 从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差．先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程，即65?4?28?4?260?112?148(千米)方法二：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路程，即：（65?28）?4?37?4?148(千米)

【例 19】 小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如

果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校．已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？ 【解析】 小明比小芳提前3分钟出发，则多走70?3?210（米）．两家之间的所剩路程是1410?210?1200（米），

两人的速度和是70?80?150（米），所剩路程需：1200?(70?80)?8（分钟）走完．小明家距离学校70?(8?3)?770（米）．

【巩固】 学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙

每小时行15千米．当小宇走了3千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？ 【解析】 追及时间为：3?（15?12）?1(小时)，此时距部队驻地还有：16?15?1?1(千米)．

【例 20】 甲、乙两列火车同时从A地开往B地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，

比甲车提前2小时到达．求A、B两地间的距离． 【解析】 这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此

路程差是甲车两小时的路程． 方法一：如图：

甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用了：8?2?6(小时)，此时路程差为：20?6?120(千米)，此时路程差就是甲车2小时的路程，所以甲车速度为：120?2?60(千米/小时)，A、B两地间的距离：60?8?480(千米)

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 14 of 33 方法二：如图：

假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：20?8?160(千米)，这段路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：160?2?80(千米/小时)，乙车到达时用了：8?2?6(小时)，A、

B两地间的距离：80?6?480(千米)

【例 21】 龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟

每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题： 它们谁胜利了？为什么？

【解析】 ⑴ 乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40?10?4(分钟)就能到达终

点，而兔子离终点还有500米，需要500?100?5(分钟)才能到达，所以乌龟胜利了．

⑵ 乌龟跑到终点还要40?10?4(分钟)，而小兔跑到终点还要1000?2?100?5(分钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：100?1?100(米)．

【巩固】 上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，

它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？ 【解析】 由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为10?5?50(米/分)，乌龟先跑10分钟，即兔子开

始跑时，乌龟已经跑了50?10?500(米)，还剩1000?500?500(米)，需要500?50?10(分钟)就可以到达终点，而兔子到达终点需要的时间是：1000?100?10(分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点．

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 15 of 33

【例 22】 军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”

舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？ 【解析】 “我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000

米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰.

【巩固】 (第二届“走进美妙数学花园”)在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行

驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？ 【解析】 这是一道“追及问题”．根据追及问题的公式，追及时间?路程差?时间差．由题意知，追及时间

为5秒钟，也就是5?小时，两车相距距离为路程差，速度差为108?90?18(千米/时)，（60?60）也就是18?1000米/时，所以路程差为：18?1000?5?（60?60）?90000?3600?25(米)，所以，在这辆车鸣笛时两车相距25米．

【例 23】 甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，

相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。 【解析】 相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是

120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米．

【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，

乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，A、B两地相距多少米？ 【解析】 相遇时甲走了AB距离减去60?3?180(米)，乙走了AB距离加上180米，乙比甲多走了360米，

这个路程差需要360? （90?60）?12(分钟)才能达到，这12分钟两人一共行走了12?（90?60）?1800米．所以AB距离为1800?2?900米．

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 16 of 33

【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，

乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，A、B两地相距多少米？ 【解析】 相遇时甲走了AB距离减去60?3?180(米)，乙走了AB距离加上180米，乙比甲多走了360米，

这个路程差需要360? （90?60）?12(分钟)才能达到，这12分钟两人一共行走了12?（90?60）?1800米．所以AB距离为1800?2?900(米)．

【例 24】 甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时

甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地? 【解析】 由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程．相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋

80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A，B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行 70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米．行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．

【例 25】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中

的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远? 【解析】 因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少

走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．

【巩固】 小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分

钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇．有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？ 【解析】 因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 17 of 33 了(60?40)?9?900（米），所以小明比平时早出门900?60?15（分）．

【例 26】 小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？ 【解析】 小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就

是追及时间，据此可求出他们的速度差为20?5?4(米/秒)；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4?6?24(米)，也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．综合列式计算如下：小蓝的速度为：20?5?6?4?6(米/秒)，小红的速度为：6?4?10(米/秒)

【巩固】 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则

甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【解析】 若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的

速度差为10?5?2(米/秒)；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2?4?8(米)，也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．综合列式计算如下：乙的速度为：10?5?4?2?4(米/秒)，甲的速度为：10?5?4?6(米/秒)

【巩固】 甲、乙二人沿着同一条100米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后8米处起跑，当甲离终

点还有12米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？ 【解析】 甲、乙两人的运动时间相同，所以，甲的路程?甲的速度?乙的路程?乙的速度，而甲、乙的速

度都不变，所以，乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍

乙 8起点100米甲12终点

由图可知，甲跑100?12?88(米)，乙跑88?8?96(米)，所以当乙跑8?100?108(米)时，甲跑：

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 18 of 33 108?96?88?99(米)，即当乙跑到终点时，甲离终点还有100?99?1(米)

【例 27】 刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的

速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？ 【解析】 这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求

速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．

【巩固】 王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走

50米，就要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？ 【解析】 设从教室去图书馆闭馆时所用时间是x分钟

70（x?2）?50（x?2）70x?140?50x?100

70x?50x?100?140x?1270?（12?2）?700（米）

答：教室到图书馆的路程有700米．

【例 28】 （2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛）甲、

乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分，下山的速度都是30米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇。山道长 米。 【解析】 甲、乙两人相遇后如果甲继续行走480?20?24（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么

这个时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚，也就是距离山脚还有

3-1-2.相遇与追及问题.题库 教师版 page 19 of 33 ，所以山顶到山脚的距离为900?24?。 30?30?900（米）（20?30）?900?1200?2100（米）

【巩固】 (北京市2006年迎春杯试题)小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每

小时60千米．小王步行，速度为每小时4千米．如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10点整遇到正在前往乙地的小王．那么甲、乙两地之间的距离是 千米． 【解析】 因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离，而这个过程中小张开车1个小时，小

王步行2个小时，他们一共所走的路程是：60?1?4?2?68(千米)，所以甲、乙两地之间的距离是：68?2?34(千米)．

【例 29】 (2003年明心奥数挑战赛)如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A．甲在路口A南边560

米的B点，乙在路口A．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距A的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？

1.

【解析】 本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程．那么甲、乙

两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：560?4?140 (米/分)。第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了A点，且在A点以北走的路程?乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了4?24?28(分钟)，两人的速度差：560?28?20(米/分)，甲速

?乙速?140，显然甲速要比乙速要快；甲速?乙速?20，解这个和差问题，甲速

(米?（140?2）0?2?80/分)，乙速?140?80?60(米/分)．

【例 30】 (第六届“走进美妙的数学花园\中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)早晨，小

张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨_________出发． 【解析】 由“下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”可知：两

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