抽象函数经典习题

经典习题1

3?1. 若函数f(2x?1)的定义域为??1,??,则函数f(log2x)的定义域为( )

?2?1?A. ??,2? B. 2???1??14 C. ,2?,???2??2??12? D.?,4??2?2? ?2. 若f(n?1)?f(n)?1(n?N*),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A．102 B．99 C．101 D．100

3. 定义R上的函数f(x)满足：f(xy)?f(x)?f(y),且f(9)?8,则f(3)?（ ） A．2 B．2 C．4 D．6

2(?a)?1f(?a)0?4. 定义在区间（-1，1）上的减函数f(x)满足：f(?x)??f(x)。若f1恒成立，则实数a的取值范围是___________________.

5. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数x,y,都有:f(xy)?f(x)?f(y)成立.则不等式f(log2x)?0的解集是__

6. 已知函数f(x)是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f(a2?sinx)?f(a?1?cos2x)对x?R恒成立，求实数a的取值范围。

7. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b?R,都满足:

f(a?b)?af(b)?bf(a).

(1)求f(0),f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

f(2?n)(n?N*),求数列{un}的前n项和sn. (3)若f(2)?2,un?n8. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1；

（2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

9. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n)?,且

11f()?0,当x?时, f(x)>0. 2212 (1)求f(1);

(2)求和f(1)?f(2)?f(3)?...?f(n)(n?N*); (3)判断函数f(x)的单调性,并证明.

10.函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x?R,有f(x)>0;②对任意

1x,y?R,有f(xy)?[f(x)]y;③f()?1.

3 (1)求f(0)的值;

(2)求证: f(x)在R上是单调减函数;

(3)若a?b?c?0且b2?ac,求证:f(a)?f(c)?2f(b).

11. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n),且当

x?0时,0?f(x)?1.

(1)证明:f(0)?1,且x?0时,f(x)>1; (2)证明: f(x)在R上单调递减;

(3)设A={(x,y)f(x2)?f(y2)?f(1)},B={(x,y)f(ax?y?2)?1,a?R},若 A?B=?,试确定a的取值范围.

12. 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x?1对称. (1)求f(0)的值;(2)证明: 函数f(x)是周期函数;

(3)若f(x)?x(0?x?1),求当x?R时,函数f(x)的解析式,并画出满足 条件的函数f(x)至少一个周期的图象.

13. 函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)?1,f(xy)?f(x)?f(y),f(x)是减函数。 （1）证明：f(1)?0；（2）若f(x)?f(x?3)?2成立，求x的取值范围。 14. 设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)?f(3)?0． （1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数并证明你的结论

1. B 2. A 3. A

4. 0?a?2,解:由f(1?a)?f(1?a2)?0得,

?0?a?2??1?1?a?1??2 f(1?a)?f(得a?,1)??1?a2?1?1???2?a?2且a?0?0?a?2 ??2?a?1?1?a?a2?1??5. ?x1?x?2?；解：令x?y?1，则

f(l2ox?gf)lo(?g1)?1?2x2f(1?)f2?f(1?)，则

2xl?og2?xlo?g..①2………

∵函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数

∴log2x?0?x?1,……………………………………………………② 由①②得，不等式的解集为?x1?x?2?。 6. ?2?a?21?10；解：f(a2?sinx)?f(a?1?cos2x)等价于 22??a?sinx?3?a?3?sinx?a2?3??1??? ?a?1?cos2x?3??a?2??cos2x??a?2?0? ?a2?sinx?a?1?cos2x?a2?a?1?cos2x?sinx?5???a2?a?1??4???2?a?2?1?10???2?a? ?a?2

2??a?1?10或a?1?10??227. （1）解：令a?b?0，则f(0)?0 令a?b?1，则f(1)?2f(1)?f(1)?0

（2）证明：令a?b??1，则f(1)?2f(?1)，∵f(1)?0，∴f(?1)?0 令a?x,b??1，则f(?x)?xf(?1)?f(x)??f(x) ∴f(x)是奇函数。 （3）当ab?0时，

f(a?b)f(b)f(a)f(x)，令g(x)?，则g(a?b)?g(a)?g(b) ??abbax 故g(an)?ng(a)，所以f(an)?an?g(an)?nang(a)?nan?1f(a)

f(2?n)?1????∴un?n?2?n?11?f() 211?1∵f(2)?2,f(1)?f(2?)?2f????f?2??0

2?2?21?11?1??1?u?∴f?，故??f(2)??n????????42?2??2??2?1??1???1???2??2??∴sn?11?2nn?1?n?N??

??n????1??1n?N? ?????2?8. （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴f(?x)?1f(x)

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴f(x)?1?0又f(?x)x=0时，f(0)=1>0

∴对任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴

f(x2)?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x1)?1 f(x1) ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数

（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)， f(x)在R上递增

∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0

9. 8.（1）解：令m?n?，则f(?)?2f()??f(1)? （2）∵f(1)?,f(n?1)?f(1)?f(n)???f(n)??f(n)?1

∴f(n?1)?f(n)?1

∴数列?f(n)?是以为首项,1为公差的等差数列,故

1212121212121212121212n2nn(n?1)=? f(1)?f(2)?f(3)?...?f(n)=?222 (3)任取x1,x2?R,且x1?x2,则

11f(x2)?f(x1)?f[(x2?x1)?x1]?f(x1)?f(x2?x1)?f(x1)??f(x1)?f(x2?x1)?

221=f(x2?x1?)?0

2∴f(x1)?f(x2)

∴函数f(x)是R上的单调增函数.

10.9.(1)解: ∵对任意x?R,有f(x)>0, ∴令x?0,y?2得,f(0)?[f(0)]2?f(0)?1 (2)任取任取x1,x2?R,且x1?x2,则令x1?p1,x2?p2,故p1?p2

∵函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x?R,有f(x)>0;②对任意x,y?R,有f(xy)?[f(x)]y;③f()?1

∴f(x1)?f(x2)?f(p1)?f(p2)?[f()]p?[f()]p?0

1213131313131313∴f(x1)?f(x2)

∴函数f(x)是R上的单调减函数.

(3) 由（1）（2）知，f(b)?f(0)?1，∴f(b)?1

acac??∵f(a)?f(b?)??f(b)?b,f(c)??b????f(b)?b

b?b?∴f(a)?f(c)??f(b)???f(b)??2[f(b)]∴2?f(b)?a?cbabcba?cb，而a?c?2ac?2b2?2b

?2?f(b)?2bb?2f(b)

∴f(a)?f(c)?2f(b)

11. (1)证明:令m?0,n?1,则f(0?1)?f(0)?f(1)

∵当x?0时,0?f(x)?1,故f(1)?0,∴f(0)?1,∵当x?0 时,0?f(x)?1 ∴当x?0时,?x?0,则f(?x?x)?f(?x)?f(x)?f(x)? (2)证明: 任取x1,x2?R,且x1?x2,则

f(x2)?f(x1)?f[(x2?x1)?x1]?f(x1)?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1)?[f(x2?x1)?1]f(x1)

f(0)1??1 f(?x)f(?x)

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