浅谈《平面解析几何》高考试题与解题策略

浅谈《平面解析几何》高考试题与解题策略

平面解析几何是高中数学的重要内容，其核心内容是直线、圆和圆锥曲线，其本质是用代数的方法研究图形的几何性质。在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例。下面就2009年至2014年高考理科数学宁夏(贵州)卷的平面解析几何试题进行分析。

一、考点、分值和题型分析 年份 题号 载体 设问 考查知识 分值 总分 焦点到渐近线的距双曲线的渐近线、焦点，点到直线的4 双曲线 5 离。 距离。 抛物线的标准方程，根与系数的关13 抛物线 求直线方程。 系，斜率公式，中点公式，直线方程5 22 的点斜式。 （1）求椭圆方程；椭圆的标准方程、长半轴、半焦距，20 椭圆 （2）求轨迹方程并求曲线的轨迹方程，两平行线、双曲12 说明是什么曲线。 线、椭圆（部分）。 双曲线的标准方程，中点公式，，根12 双曲线 求双曲线方程 与系数的关系，斜率公式，直线方程5 的点斜式。 圆与直圆的标准方程，直线与圆相切，点到15 5 22 求圆的方程 线 直线的距离。 （1）求椭圆的离心椭圆的定义、离心率，直线方程的点20 椭圆 率；（2）求椭圆的方斜式，直线与椭圆相交弦长，等差中12 程。 项、线段的直平分线 双曲线的对称性、离心率，弦长（通7 双曲线 求双曲线的离心率 5 径）. 14 椭圆 求椭圆的标准方程 椭圆的定义、标准方程、离心率 5 22 （1）求M点的轨迹求曲线的方程，向量的坐标运算；导M点满方程；（2）求O点到数的几何意义，直线方程的点斜式，20 足向量12 直线l距离的最小点到直线的距离，基本不等式或导数等式 值. 求最值。 4 椭圆 求椭圆的离心率 5 椭圆的定义、离心率. 抛物等轴双曲线的标准方程、实轴长，抛线、等8 求C的实轴长 物线的准线、对称性，直线与抛物线5 轴双曲相交弦长。 22 线、 圆的标准方程，抛物线的定义、标准抛物（1）求p的值和圆方程、对称性，三角形面积，导数的20 线、 F的方程；12 （2）求原几何意义，直线方程的点斜式，两平圆 点到m,n距离的比 行直线间的距离。 1

2009 2010 2011 2012 2013 抛物线求C的方程 C、圆 直线、12 求b的取值范围 三角形11 2014 抛物线的定义、标准方程、准线，圆的标准方程。 直线方程的应用，三角形的面积求参。 椭圆的标准方程，线段的中点，直线椭圆（1）求M的方程；的斜率，直线方程的点斜式，根与系20 M、直（2）四边形ACBD面数的关系，两直线垂直，直线与椭圆线 积的最大值 相交的弦长，四边形面积的最值。 抛物抛物线的标准方程及几何意义，直线10 线、直求?OAB面积 方程，直线与抛物线的位置关系 线 圆、圆的切线方程，三角不等式，两16 圆 求xo的取值范围 点间的距离公式 椭圆C、（1）求离心率；（2）椭圆的概念、标准方程和几何意义20 直线 椭圆C中的a、b 及直线与椭圆的位置关系 5 5 22 12 5 5 12 22 二、高考命题的特征：

我们可以通过以上表格来分析解析几何高考的命题特征：

1、题量稳定：七年来高考解析几何试题一般稳定在2个选择题或填空题，1个解答题，分值为22分，占总分值的约14.67%，解析几何课时为34，占总课时的11.81%，分值百分比超课时百分比近3个百分点，足见其不可动摇的重要地位。

2、重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考。以2013年为例，一般考查了60％左右的知识点，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。

直线方程的点斜式，圆的标准方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素。高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等。

3、题型稳定：作为基础题，两个小题（选择题或填空题）出现在部分位置时属于容易题或中等题，多以考查对直线、圆、圆锥曲线的基础知识为主。圆锥曲线解答题以区分度好、选拔性强、对能力和思维品质考查全面而倍受命题人青睐，该试题常与向量、函数与导数、方程、不等式、圆、三角形、四边形等知识交汇，因此试题对思维的灵活性、思维能力、运算能力都有较高的要求，具体表现为入手容易解答繁。由于《考试大纲》降低了对双曲线的要求，所以解答题常以椭圆或抛物线为载体进行命题。椭圆、双

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曲线、抛物线至少考两大曲线，直线、圆一般不单独考查，一般都是直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线或圆与椭圆、双曲线、抛物线综合考查。高考题一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法。解答题一般都放在第20题。

三、解题策略 1、直线与圆的方程

要理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是求直线方程的点斜式．要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法．如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等．这些方法是解决与圆有关问题的常用方法，必须认真领会，熟练运用。直线、圆一般不单独考查，一般都是直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线或圆与椭圆、双曲线、抛物线综合考查，只有2013年的第12题单独考查了直线方程的应用。

例1（2010年第15题）.过点A(4,1)的圆C与直线x?y?1?0相切于点 B(2,1)．则圆C的方程为 .

例2（2013年第12题）．已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y?ax?b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是

??21?21??11?1?,1?,A （0，1） B ? C D ,? ???????23?22??32???2、圆锥曲线的定义、标准方程

圆锥曲线的定义是推导圆锥曲线方程及性质的基础，同时是解题的重要工具。圆锥曲线标准方程是圆锥曲线讨论性质的基础，是圆锥曲线题目的根本，它们都是高考考查的重点之一。主要是求圆锥曲线的标准方程，应用圆锥曲线的定义和标准方程解题。

例3（2011年第14题）．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在 x轴上，离心率为的方程为 。

3、圆锥曲线的离心率

离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点，离心率问题是高考中久考不衰的热

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2。过l的直线 交于A,B两点，且ABF2的周长为16，那么C2点，其归根结底是寻求关于a、b、c的相应关系，并转化为只含有a、c的关系，再转化为含e的关系，最后求出e。

例4（2011年第7题）.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，

l与C交于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

A 2 B 3 C 2 D 3 x2y2例5（2012年第4题）．设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为

ab直线x?3a上一点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ） 212??A B C D 23??4、圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的几何性质,深刻直观地揭示出圆锥曲线的本质属性,是解析几何中的“灵魂”。圆锥曲线的几何性质一般包括范围、对称性、顶点、离心率、渐近线、长轴长、短轴长、实轴长、虚轴长、准线等，它们是解题的基础，在高考中经常考，因此必须理解、掌握圆锥曲线的几何性质。

例6（2012年第8题）．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线

y2?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）

(A)2 (B) 22 (C)? (D)?

5、直线与圆锥曲线的位置关系及圆锥曲线的综合性问题

直线与圆锥曲线的位置关系及圆锥曲线的综合性问题，由于汇集了高中解析几何中直线、圆锥曲线的知识内容，还涉及了函数、导数、方程、不等式、数列、平面向量、圆、三角形、四边形等知识，从而成为解析几何综合性最高的内容，也成为每年必考的内容，因此在学习中要予以足够的重视。

例7（2012年第20题）．设抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，A?C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点；

（1）若?BFD?900，?ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；

（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点， 求坐标原点到m,n距离的比值。

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x2y2例8（2010年第20题）.设F1,F2分别是椭圆E:2?2?1（a>b>0）的左、右焦点，

ab过F1斜率为1的直线 l与E 相较于A,B两点，且AF2,AB,BF2成等差数列.

（Ⅰ)求E的离心率；

（Ⅱ）设点P（0,-1）满足PA?PB,求E的方程.

例9（2011年第20题）.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y

uuuruuruuuruuuruuuruurM= -3上，点满足MB//OA，MA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 在今后的学习中，首要的任务便是准确理解概念，牢记重要公式，熟练掌握基本方法，洞晓考试内容所涉及的各个知识点。高考试题年年变，但命题的依据不变，要以此为根本，弄清高考的知识点及对基础知识、基本能力的要求 ，这中间实质性的工作就是精通课本。很多的客观题直接源于课本，往往是课本的原题或变式题，主观题也多是根植于课本。如果连最基本的都做不到，备战高考无从谈起。

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