圆锥曲线解题方法技巧总结（附答案）

姓名 学科 数学 学生姓名 年级 高二 填写时间 教材版本 第（ ）课时 共（ ）课时 2013-12-29 人教版 阶段 第（ 1 ）周 观察期：□ 维护期：□ 课题圆锥曲线解题方法技巧总结 名称 教学大纲教学目标 目标 个性化教学目标 课时计划 上课时间 2014-1-3 圆锥曲线知识点及题型回顾整理 培养学生分析能力和逻辑思维能力． 教学圆锥曲线知识点的综合应用 重点 教学 掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法 难点 第一部分：知识梳理 名 称 椭圆 图 象 双曲线 定 义 教学过程 平面内到两定点常数（大于圆即的距离的和为平面内到两定点对值为常数（小于迹叫双曲线即的距离的差的绝）的动点的轨 ）的动点的轨迹叫椭 当2﹥2时，轨迹是 当2﹤2时，轨迹是 当2＝2，轨迹是 当2﹤2时，轨迹 当2＝2时，轨迹是 当2﹥2时，轨迹 焦点在轴上时： 标准方 程 注：根据 判断焦点在哪一坐标轴上 常数 ，的关 系 最大， ， 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：根据 来判断焦点在哪一坐标轴上 ，最大，可以 第1页/共27页

焦点在轴上时： 渐近线 焦点在轴上时： 共焦点方程 抛物线 图形 方程 焦点 准线 第二部分：题型方法技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： 定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是___ __（答：双曲线的左支） 第2页/共27页

x2 如已知点Q(22,0)及抛物线y?上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 42.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： x2y2y2x2（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0），焦点在y轴上时2?2＝1abab（a?b?0）。方程Ax?By?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。 22x2y2如（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：3?k2?k11； (?3,?)?(?,2)）22（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x?y的最小值是___（答：5,2） 22x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）。abab方程Ax?By?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。 如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?222的双曲线C过点P(4,?10)，则C的方程为_______（答：x2?y2?6） （3）抛物线：开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y??2px(p?0)，开口向上时x?2py(p?0)，开口向下时x??2py(p?0)。 如定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。22225 43.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x,y22分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 x2y2??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 如已知方程m?12?m第3页/共27页

（答：(??,?1)?(1,)） （2）双曲线：由x2,y232项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，222c2?a2?b2。 4.圆锥曲线的几何性质： x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：ab两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点a2(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤离心c率：e?c，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 a25x2y210如（1）若椭圆，则m的值是 （答：3或）； ??1的离心率e?35m5（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 （答：22） x2y2（2）双曲线（以：①范围：x??a或x?a,y?R；②?2?1（a?0,b?0）为例）2ab焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为a2等轴双曲线，其方程可设为x?y?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：c22e?c，双曲线?e?1，等轴双曲线?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；a第4页/共27页

⑥两条渐近线：y??bx。 a132如 （1）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心率等于______（答：或13）； 3（2）双曲线ax?by?1的离心率为5，则a:b= 22 （答：4或1）； 4x2y2 （3）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角（锐ab角或直角）θ的取值范围是________（答：[??； ,]）32x2y2（4） 已知F1、F2为双曲线??1的左焦点,顶点为A1、A2, P是双曲线上 20102009任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况均有可能 （3）抛物线（以y?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(2p,0)，2其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x??2pc； ⑤离心率：e?，抛物线?e?1。 2a1； )）16a如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax的焦点坐标为________（答：(0,x2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系： ab22x0y0（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1； ab22x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1； ab22x0y0（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1 ab6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故第5页/共27页

??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 如（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_ _ （答：(-2215,-1)）； 3x2y2（2）直线y―kx―1=0与椭圆??1恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：5m[1，5）∪（5，+∞））； x2y2（3）过双曲线??1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这12样的直线有_____条（答：3）； （2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切； （3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与x2y2抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2＝1外一点abP(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如（1）过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有_____（答：2）； 2x2y2（2）过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ ___ 916第6页/共27页

??445??（答：??,?； ?）33????y2（3）过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，则满足22条件的直线l有____条（答：3）； （4）对于抛物线C：y?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）； （5）过抛物线y?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则22211； ??_______（答：1）pqx2y2（6）设双曲线??1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和169右准线分别于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）； （7）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离（答：22813）； 13（8）直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①?3,3；②a??1）； 7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r?ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。 ??x2y2如（1）已知椭圆??1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离2516为____（答：35）； 32（2）已知抛物线方程为y?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____； （3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：7,(2,?4)）； 第7页/共27页

x2y2（4）点P在椭圆??1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P259的横坐标为_______（答：225）； 12（5）抛物线y?2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）； x2y2（6）椭圆??1内有一点P(1,?1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使43MP?2MF 之值最小，则点M的坐标为_______（答：(26； ,?1)）38、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： S?b2tanS?b2tan?2?c|y0|，当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线?2。 如 （1）短轴长为5，离心率e?2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、3B两点，则?ABF2的周长为________（答：6）； （2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：x2?y2?4）； x2y2→→（3）椭圆??1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF2 ·PF1 <0时，点P94的横坐标的取值范围是 （答：(?3535,)）； 55（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝6，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与2双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________ （答：82）； （5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且?F1PF2?60，第8页/共27页

?

S?PF1F2 x2y2?123．求该双曲线的标准方程（答：??1）； 4129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 10、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝1?121?ky1?y2。特ABy?y，若弦AB所在直线方程设为，则＝x?ky?b122k别地，焦点弦（过焦点的弦）：抛物线焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用定义求解。 如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； （2）过抛物线y?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）； （3）已知抛物线y?2px(p?0)的焦点恰为双曲线12x?4y?3的右焦点，且倾斜角为?的直线交抛物线于P，Q两点，则|y1?y2|的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 42 D. 8 22223411、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 第9页/共27页

b2x0x2y2在椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；在双曲ay0abb2x0x2y2线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线abay0y2?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=p。 y0x2y2如（1）如果椭圆??1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是

369（答：x?2y?8?0）； x2y2（2）已知直线y=－x+1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段ABab的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：2）； 2x2y2（3）试确定m的取值范围，使得椭圆??1上有不同的两点关于直线y?4x?m43对称（答：???213213?； ?13,13??）??（4）抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 （答：x?11(y?)） 22特别提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！ 12．你了解下列结论吗？ 2222yyxx（1）双曲线?2?1的渐近线方程为2?2?0； 2abab2222byyxx（2）以y??x为渐近线（即与双曲线的双曲线方程为?2?1共渐近线）?2??(?22aabab为参数，?≠0）。 x2y2如与双曲线??1有共同的渐近线，且过点(?3,23)的双曲线方程为_______（答：916第10页/共27页

4x2y2??1） 94（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx?ny?1； 222b2（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准ab2线的距离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p； c（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线y?2px(p?0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则2p2①|AB|?x1?x2?p；②x1x2?,y1y2??p2 4（7）若OA、OB是过抛物线y?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0) 13．动点轨迹方程： （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)?0； 如已知动点P到定点F(1,0)和直线x?3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：2y2??12(x?4)(3?x?4)或y2?4x(0?x?3)）； ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m?0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：y?2x）； ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点2 第11页/共27页

的轨迹方程； 如(1)由动点P向圆x?y?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答：x?y?4）； 2222（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：y?16x）； (3) 一动圆与两圆⊙M：x?y?1和⊙N：x?y?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）； 22222④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； 如动点P是抛物线y?2x2?1上任一点，定点为A(0,?1),点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：y?6x2????1）； 3⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP|?|MN|，求点P的轨迹。（答：x?y?a|y|）； （2）若点P(x1,y1)在圆x?y?1上运动，则点Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是____（答：22221y2?2x?1(|x|?)）； 2（3）过抛物线x?4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：x?2y?2）； 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 22第12页/共27页

x2y2如已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是ab椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0.（1）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a?c（2）求点x；aT的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）x?y?a；222b2b2（3）当?a时不存在；当?a时存在，此时∠F1MF2＝2） cc②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量u??1,k?或u??m,n?； （2）给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的中点; ???（3）给出PM?PN?0,等于已知P是MN的中点; （4）给出AP?AQ??BP?BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线; ????（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数?,使AB??AC；③若存在实数?????????????,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三点共线. （6） 给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是钝角, 给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是锐角, ???MAMB??（8）给出????MP,等于已知MP是?AMB的平分线/ ?MAMB???第13页/共27页

（9）在平行四边形ABCD中，给出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形; ????????????????（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形; （11）在?ABC中，给出OA?OB?OC，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在?ABC中，给出OA?OB?OC?0，等于已知O是?ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在?ABC中，给出OA?OB?OB?OC?OC?OA，等于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； 222????????ABAC??????)(??R?)等于已知AP通过?ABC的（14）在?ABC中，给出OP?OA??(???|AB||AC|内心； （15）在?ABC中，给出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； ????1????????（16） 在?ABC中，给出AD?AB?AC,等于已知AD是?ABC中BC边的中线; 2??????????y22?1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1?MF2?0,则点如（1）已知双曲线x?2??M到x轴的距离为（C） 2345 （B） （C） （D）3 333?????（2）已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x?3)i?yj, ??????b=(x?3)i?yj,且满足b?i=|a|.求点P(x,y)的轨迹. ???2??解： ?b?i?(x?3)i?yi?j?x?3， （A）∴x?3?(x?3)2?y2，化简得y2?43x， 故点P的轨迹是以(3,0)为焦点以x??3为准线的抛物线 ????????（3）已知A,B为抛物线x=2py(p>0)上异于原点的两点，OA?OB?0，点C坐标为（0，22p） （1）求证：A,B,C三点共线； ?????????（2）若AM＝?BM（??R）且OM?AB?0试求点M的轨迹方程。 第14页/共27页

????????x12x22（1）证明：设A(x1,),B(x2,)，由OA?OB?0得 2p2p?????x12???x22?x12x12x222) x1x2??0,?x1x2??4p，又?AC?(?x1,2p?),AB?(x2?x1,2p2p2p2p????????x22?x12x12??x1??(2p?)?(x2?x1)?0，?AC//AB，即A,B,C三点共线。 2p2p?????????（2）由（1）知直线AB过定点C，又由OM?AB?0及AM＝?BM（??R）知OM?AB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x?0，y?0)。 15.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 AQHPFB（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，2）（2）（1,1） 4点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 x2y2??1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一例2、F是椭圆43定点，P为椭圆上一动点。 （1）PA?PF的最小值为 （2）PA?2PF的最小值为 yAF0′FPHx分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF?或准线作出来考虑问题。 解：（1）4-5 设另一焦点为F?，则F?(-1,0)连AF?,PF? 第15页/共27页

PA?PF?PA?2a?PF??2a?(PF??PA)?2a?AF??4?5 当P是F?A的延长线与椭圆的交点时, PA?PF取得最小值为4-5。 （2）3 作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=∴PF?1， 21PH,即2PF?PH 2∴PA?2PF?PA?PH a2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为?xA?4?1?3 c作业 见附页测试卷一份！ 本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ 学生的接受程度：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ 课 后 记 学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ 学生上次的作业完成情况：数量 % 完成质量 分 存在问题 备注 家长或学生签字 教研主任审批 班主任签字

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PA?PF?PA?2a?PF??2a?(PF??PA)?2a?AF??4?5 当P是F?A的延长线与椭圆的交点时, PA?PF取得最小值为4-5。 （2）3 作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=∴PF?1， 21PH,即2PF?PH 2∴PA?2PF?PA?PH a2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为?xA?4?1?3 c作业 见附页测试卷一份！ 本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ 学生的接受程度：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ 课 后 记 学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ 学生上次的作业完成情况：数量 % 完成质量 分 存在问题 备注 家长或学生签字 教研主任审批 班主任签字

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