中考数学培优专题复习锐角三角函数练习题及详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．

（1）求证：KE=GE；

（2）若KG2=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．

【解析】

试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出

∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；

（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD?GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；

（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．

试题解析：（1）如图1，连接OG．

∵EG为切线，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．

∵KG2=KD?GE，即，

∴，

又∵∠KGE=∠GKE，

∴△GKD∽△EGK，

∴∠E=∠AGD，

又∵∠C=∠AGD，

∴∠E=∠C，

∴AC∥EF；

（3）连接OG，OC，如图3所示，

∵EG为切线，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

∵sinE=sin∠ACH=

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5t，

∴HK=CK-CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．

∵EF为切线，

∴△OGF为直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，

∴FG=

【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

2．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60o．

(1)点B的坐标是，∠CAO＝ o，当点Q与点A重合时，点P的坐标

为；

(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】（1）（6，3）． 30．（3，3）（2）

()

()()()243x 430x 33

31333x x 3x 5232S {23x 1235x 93

543x 9x

+≤≤-+-<≤=-+<≤> 【解析】

解：（1）（6，23）． 30．（3，33）． （2）当0≤x≤3时，

如图1，

OI=x ，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ；

由题意可知直线l ∥BC ∥OA ，

可得EF PE DC 31==OQ PO DO 333==，∴EF=13（3+x ）， 此时重叠部分是梯形，其面积为：

EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233

==+?=+=+梯形（）（） 当3＜x≤5时，如图2，

)HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333 3x 3=?=-=-??=+---梯形梯形

当5＜x≤9时，如图3，

12S BE OA

OC 312x 2323 =x 1233=+?=--+（）（）。 当x ＞9时，如图4，

111833S OA AH 6=22x x

=?=??． 综上所述，S 与x 的函数关系式为：

))))243x 430x 33

313333x 5S {23x 1235x 93

543x 9+≤≤+<≤=-+<≤>． （1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标： ∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ， ∵A （6，0）、C （0，3∴点B 的坐标为：（6，3

②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数：

∵OC 233tan CAO OA ∠=∴∠CAO=30°． ③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，

∵∠PQO=60°，D （0，33），∴PE=33．

∴0PE

AE 3tan 60==．

∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，33）．

（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案．

3．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C ，用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E 处（C ，E ，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高

度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）

【答案】22.4m

【解析】

【分析】

首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．

【详解】

解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG 3，

∴FG =tan 3

AG AFG =∠， 在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =

AG CG ， ∴CG =tan AG ACG ∠=3．

又∵CG ﹣FG =24m ， 即3AG ﹣3

AG =24m ， ∴AG =123m ，

∴AB =123+1.6≈22.4m ．

4．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，连接BC 交圆于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于E ．

（1）求证：AE ＝CE

（2）如图，在弧BD 上任取一点F 连接AF ，弦GF 与AB 交于H ，与BC 交于M ，求证：∠FAB +∠FBM ＝∠EDC ．

（3）如图，在（2）的条件下，当GH ＝FH ，HM ＝MF 时，tan ∠ABC ＝

34

，DE ＝394时，N 为圆上一点，连接FN 交AB 于L ，满足∠NFH +∠CAF ＝∠AHG ，求LN 的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4013NL

【解析】

【分析】 （1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC ＝90°，由切线长定理得EA ＝ED ，再由等角的余角相等，得到∠C ＝∠EDC ，进而得证结论.

（2）由同角的余角相等，得到∠BAD ＝∠C ，再通过等量代换，角的加减进而得证结论. （3）先由条件得到AB ＝26，设HM ＝FM ＝a ，GH ＝HF ＝2a ，BH ＝43

a ，再由相交弦定理得到GH ?HF ＝BH ?AH ，从而求出FH ，BH ，AH ，再由角的关系得到△HFL ∽△HAF ，从而求出HL ，AL ，BL ，FL ，再由相交弦定理得到LN ?LF ＝AL ?BL ，进而求出LN 的长.

【详解】

解：

（1）证明：如图1中，连接AD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵EA、ED是⊙O的切线，

∴EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠C＝∠EDC，

∴ED＝EC，

∴AE＝EC．

（2）证明：如图2中，连接AD．

∵AC是切线，AB是直径，

∴∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，

∵∠EDC＝∠C，

∴∠BAD＝∠EDC，

∵∠DBF＝∠DAF，

∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD，∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC．

（3）解：如图3中，

由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝39

4

，

∴AC＝39

2

，

∵tan∠ABC＝3

4

＝

AC

AB

，

∴

39 32 4AB =,

∴AB＝26，

∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝4

3

a，∵GH?HF＝BH?AH，

∴4a2＝4

3a（26﹣

4

3

a），

∴a＝6，

∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，

∵GH＝HF，

∴AB⊥GF，

∴∠AHG＝90°，

∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG，

∴∠NFH+∠CAF＝90°，

∵∠NFH+∠HLF＝90°，

∴∠HLF＝∠CAF，

∵AC∥FG，

∴∠CAF＝∠AFH，

∴∠HLF＝∠AFH，

∵∠FHL＝∠AHF，

∴△HFL∽△HAF，

∴FH2＝HL?HA，

∴122＝HL?18，

∴HL＝8，

∴AL＝10，BL＝16，FL22

FH HL

+＝13

∵LN ?LF ＝AL ?BL ，

∴413?LN ＝10?16，

∴LN ＝4013 . 【点睛】

本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.

5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，连接BD ，将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′（B ′与B 重合），且点D ′刚好落在BC 的延长上，A ′D ′与CD 相交于点E ． （1）求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分（如图1中阴影部分A ′B ′CE ）的面积；

（2）将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得△AA ′B ′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）

452；（2）详见解析；（3）使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32 秒、695

- ． 【解析】

【分析】

（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝

'''''

=A B CE A D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤115时和当115

＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可．

【详解】

解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，

∴BD ＝10cm ，

根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ，

∵tan ∠B ′D ′A ′＝

'''''=A B CE A D CD ∴682

=CE ∴CE ＝32

cm ， ∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝

8634522222?-?÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜

115时，CD ′＝2x +2，CE ＝32（x +1）， ∴S △CD ′E ＝

32x 2+3x +32， ∴y ＝

12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝43

（8﹣2x ） ∴()214y 8223x =

?-＝83x 2﹣643x +1283

． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒； ②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +

185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36，

∴（6﹣245）2+（2x +185

）2＝36，

解得：x x （舍去）； ③如图2，当AB ′＝AA ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +

185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AB 2+BB ′2＝AN 2+A ′N 2

∴36+4x 2＝（6﹣

245）2+（2x +185）2 解得：x ＝32

．

综上所述，使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32

【点睛】

本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．

6．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；

（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式．

【答案】（1）233384y x x =-

++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x =+或334

y x =--. 【解析】

【分析】

（1）设出交点式，代入C 点计算即可 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式

PC PD BC OB =，得到PD=45PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5

（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=185

，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可

【详解】

解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0）

∴y ＝a （x+2）（x ﹣4）

把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3

∴a ＝﹣38

∴抛物线解析式为y ＝﹣

38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D

∴∠CDP ＝∠COB ＝90°

∵∠DCP ＝∠OCB

∴△CDP ∽△COB ∴PC PD BC OB

= ∵B （4，0），C （0，3）

∴OB

＝4，OC ＝3，BC

∴PD ＝45

PC ∴5PA+4PC ＝5（PA+

45PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小

∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC

∴S △ABC ＝

12AB?OC ＝12BC?AE ∴AE ＝631855

AB OC BC ?== ∴5AE ＝18

∴5PA+4PC 的最小值为18．

（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆

当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，

∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q

∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个 此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G

∴∠FQT ＝90°

∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点

∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3

∵T （﹣4，0）

∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝35FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝35FG FQ =

∴FG ＝35FQ ＝95

∴x Q ＝1﹣9455=-，QG ＝2222912FQ 355FG ??-=-= ???

①若点Q 在x 轴上方，则Q （41255

-，）

设直线l 解析式为：y ＝kx+b ∴404125

5k b k b -+=???-+=?? 解得：343k b ?=???=? ∴直线l ：334

y x =+ ②若点Q 在x 轴下方，则Q （41255--，

） ∴直线l ：334

y x =-- 综上所述，直线l 的解析式为334y x =+或334

y x =--

【点睛】

本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q 点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论

7．如图，已知二次函数212

y x bx c =

++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ．

（1）求这个二次函数解析式；

（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标； （3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点C 坐标为（3，0），点P （1，-2）；（2）点P （7，0）；（3）点N （-75，145）． 【解析】

【分析】

（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）利用S △ABC =

12×AC×BH= 12×BC×y A ，求出sinα= 222105BH AB ==，则tanα= 12，在△PMD 中，tanα= MD PM 12

22x =+，即可求解； （3）作点A 关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N ⊥AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N ，此时AM+MN 最小，即可求解．

【详解】

（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：

9

633

2

1

2

b

b c

?

=-+

??

?

?=--+

??

，解得：

1

3

2

b

c

=-

?

?

?

=-

??

，故：抛物线的表达式为：y=

1

2

x2-x-

3

2

，

令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-

3

2

，

故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；

（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，

设：∠DPC=∠BAC=α，

由题意得：AB10，AC2BC=4，PC2，

S△ABC=

1

2

×AC×BH=

1

2

×BC×y A，

解得：BH2

sinα=

BH

AB

22

210

=

5

，则tanα=

1

2

，

由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，

延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，

则MD=MC=x，

在△PMD中，tanα=

MD

PM22

x+

1

2

，

解得：x2CD2x=4，

故点P（7，0）；

（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），

过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，

直线AP表达式中的k值为：8

4

=-2，则直线A′N表达式中的k值为

1

2

，

设直线A′N的表达式为：y=1

2

x+b，

将点A′坐标代入上式并求解得：b=7

2

，

故直线A′N的表达式为：y=1

2

x+

7

2

…①，

当x=1时，y=4，

故点M（1，4），

同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，

联立①②两个方程并求解得：x=-7

5

，

故点N（-7

5

，

14

5

）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．

8．如图，正方形ABCD的边长为2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，

（1）求证：△ABF∽△ACE；

（2）求tan∠BAE的值；

（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB2﹣1；（3）PE+PF的最小值为

22+．

【解析】

【分析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；

（2）如图1中，作EH ⊥AC 于H ．首先证明BE=EH=HC ，设BE=EH=HC=x ，构建方程求出x 即可解决问题；

（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小，最小值为线段EH 的长；

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠ACE ＝∠ABF ＝∠CAB ＝45°，

∵AE 平分∠CAB ， ∴∠EAC ＝∠BAF ＝22.5°，

∴△ABF ∽△ACE ．

（2）解：如图1中，作EH ⊥AC 于H ．

∵EA 平分∠CAB ，EH ⊥AC ，EB ⊥AB ，

∴BE ＝EB ，

∵∠HCE ＝45°，∠CHE ＝90°，

∴∠HCE ＝∠HEC ＝45°，

∴HC ＝EH ，

∴BE ＝EH ＝HC ，设BE ＝HE ＝HC ＝x ，则EC 2，

∵BC 2+1，

∴x+x 2+1，

∴x ＝1，

在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，

∴tan ∠EAB ＝221

BE AB ＝＝+1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．

作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，

∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝222

+ ， ∴OH ＝OF ＝OA?tan ∠OAF ＝OA?tan ∠EAB ＝

222+ ?（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222

+， 在Rt △EHM 中，EH ＝22

22222EM HM 22????+++ ? ?

? ?????＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．

【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

9．在等腰△ABC 中，∠B=90°，AM 是△ABC 的角平分线，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，∠EMF=135°．将∠EMF 绕点M 旋转，使∠EMF 的两边交直线AB 于点E ，交直线AC 于点F ，请解答下列问题：

（1）当∠EMF 绕点M 旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM ；

（2）当∠EMF 绕点M 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE ，CF ，BM 之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，tan ∠BEM=，AN=+1，则BM= ，CF= ．

【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣

【解析】

【分析】

(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，

NC=NM=BM进而得出结论；

（2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，

②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；

(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，，

可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.

【详解】

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠C=45°，

∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，

∴BM=MN，

在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，

∵∠ENF=135°，，

∴∠BME=∠NMF，

∴△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵CN=CF+NF，

∴BE+CF=BM；

（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵NC=NF﹣CF，

∴BE﹣CF=BM；

针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，

∴BE=NF，

∵MN⊥AC，∠C=45°，

∴∠CMN=∠C=45°，

∴NC=NM=BM，

∵NC=CF﹣NF，

∴CF﹣BE=BM；

（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，

∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），

∴AB=AN=+1，

在Rt△ABC中，AC=AB=+1，

∴AC=AB=2+，

∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，

在Rt△CMN中，CM=CN=，

∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，

在Rt△BME中，tan∠BEM===，

∴BE=，

∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，

∴CF=BM﹣BE=1﹣

②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，

∴此种情况不成立；

③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，

∴CF=BM+BE=1+，

故答案为1，1+或1﹣．

【点睛】

本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解. 10．已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.

(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=3

5

时，求

BF

CF

的值；

(2)如图2,当tan∠ABC=1

2

时,过D作DH⊥AE于H,求EH EA

?的值；

(3)如图3,连AD交BC于G,当2

FG BF CG

=?时,求矩形BCDE的面积

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