2019届广东省六校高三第三次联考理科数学（解析版）

A. 3

B. 2 C. D.

广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）（2月份）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合A={x|y=lg（1-x）}，B={y|y=2x

}，则A∩B=（ ）

A.

B. C. D.

2. 若复数z=2i+

，其中i是虚数单位，则复数z的模为（ ）

A.

B. C.

D. 2

3. 等差数列{aa

n}中，若a4+6+a8+a10+a12=120，则a9- 的值是（ ）

A. 14

B. 15

C. 16 D. 17

4. 已知函数y=sin（ωx+

）向右平移 个单位后，所得的图象与原函数图象关于x轴对称，则ω的最小正值为（A. 1

B. 2

C.

D. 3

5. 在

2

的展开式中，x的系数是224，则 的系数是（ ）

A. 14

B. 28 C. 56 D. 112

6. 函数f（x）=ex

?ln|x|的大致图象为（ ）

A.

B.

C.

D.

7. 已知x，y满足约束条件 ，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）

1

8. 如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几

何体的外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

9. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x

的不足近似值和过剩近似值分别为

*

和 （a，b，c，d∈N），则 是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我

们知道π=3.14159…，若令

＜π＜ ，则第一次用“调日法”后得 是π的更为精确的过剩近似值，即 ＜π＜ ，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）

A.

B.

C. D.

10. 设F为抛物线y2

=2px的焦点，斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A、B两点，若|FA|=3|FB|，则直线AB的

斜率为（ ）

A.

B. 1 C. D.

11. 已知f（x）=loga（a-x

+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，则（ ）

A.

且 B. 且 C.

且

D.

且

12. 已知函数f（x）=|xex+1|，关于x的方程f2

（x）+2sinα?f（x）+cosα=0有四个不等实根，sinα-cosα≥λ恒成立，则实

数λ的最大值为（ ）

A.

B.

C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知sinθ+cosθ= ，则tan

=______．

）14. 已知向量 =（1， ）， =（3，m），且 在 上的投影为3，则向量 与 夹角为______． 15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，

构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是______．

16. 数列b

n=ancos 的前n项和为Sn，已知S2017=5710，S2018=4030，若数列{an}为等差数列，则S2019=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2

A=

a．

（I）求

；

（Ⅱ）若c2=a2

+

，求角C．

18. 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是

PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l． （Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；

（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若

2

不存在，请说明理由．

19. 某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过

抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回答以下问题． （1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率； （2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下： 套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M） A 20 300 B 30 500 C 38 700 这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．

学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．

20. 如图，设点A，B的坐标分别为（- ，0），（ ，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-

．

（1）求P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON

的面积为定值．

21. 已知函数f（x）=（1+x）e-2x

，g（x）=ax+

+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，

（Ⅰ）若函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值； （Ⅱ）求证：1-x≤f（x）≤

；

（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C

1的参数方程为 （

φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ （Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4 ，求实数α的值．

3

23. 已知函数f（x）=2|x+a|+|x-

|（a≠0）．

（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4； （2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：∵1-x＞0，∴x＜1，∴A=（-∞，1）， ∵2x

＞0，∴B=（0，+∞）， ∴A∩B=（0，1）． 故选：C．

求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果． 本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题． 2.【答案】B

【解析】

解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1-i=1+i，

∴|z|==

，

故选：B．

利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z，再根据复数的模的定义求得复数z的模．

本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．

3.【答案】C

【解析】

解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24， 所以a9-=（3a9-a11）=（a9+a7+a11-a11）=（a9+a7）=

=16

故选：C．

先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解． 本题主要考查等差数列的性质． 4.【答案】D

【解析】

4

解：函数y=sin（ωx+）向右平移

个单位后得到 y=sin[ω（x-）+

]=sin（ωx-

ω+

）的图象，

∵所得的图象与原函数图象关于x轴对称， ∴sin（ωx-ω+）=-sin（ωx+

）=sin（ωx++π），

∴-ω+

=

+π+2kπ，k∈Z，解得ω=-6k-3，

∴当k=-1时，ω取最小正数3， 故选：D．

由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得ω的方程，解方程给k取值可得． 本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题． 5.【答案】A

【解析】

解：因为在的展开式中，，

令2n-2r=2，r=n-1，

则22C2nn-1=224，∴C2nn-1=56．∴n=4． 再令8-2r=-2，∴r=5．，则为第6项．

∴

．

则

的系数是14．

故选：A．

首先分析题目已知在

的展开式中，x2

的系数是224，求

的系数，首先求出在的展

开式中的通项，然后根据x2

的系数是224，求出次数n的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出

系数即可得到答案．

此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．同学们需要很好的掌握． 6.【答案】A

【解析】

解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D， 当x→+∞，f（x）→+∞，排除B， 故选：A．

判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键． 7.【答案】B

【解析】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A（2，0），B（1，1），

若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2， 此时，目标函数为z=2x+y， 即y=-2x+z，

平移直线y=-2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，

若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x+y， 即y=-3x+z，

平移直线y=-3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件， 故a=2， 故选：B．

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的

基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．

8.【答案】C

【解析】

5

解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外接球半径为

．所以表面积为8π．

故选：C．

由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为．

本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题． 9.【答案】A

【解析】

解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜

，

第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜； 第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜， 第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即

＜π＜

，

故选：A．

利用“调日法”进行计算，即可得出结论．

本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础． 10.【答案】D

【解析】

解：假设A在第一象限，

过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，

过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形． 由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，

又∵|AF|=3|BF|，

∴|AD|=|CE|=3|BE|，即B为CE的三等分点， 设|BF|=m，则|BC|=2m，|AF|=3m，|AB|=4m， 即|AC|==

=

m=2

m，

则tan∠ABC=

=

=

，

即直线AB的斜率k=

故选：D．

根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定

义进行求解即可．

本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键． 11.【答案】C

【解析】

解：∵f（x）=loga（a-x

+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数， ∴f（-x）=f（x），即loga（ax+1）-bx=loga（a-x

+1）+bx， ∴loga（ax+1）-bx=loga（ax

+1）+（b-1）x，

∴-b=b-1，∴b=，

∴f（x）=loga（a-x

+1）+x，函数为增函数，

∵a+＞2=，∴f（a+）＞f（）． 故选：C．

利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论．

本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 12.【答案】A

【解析】

6

解：f（x）=|xe

x+1

|=

，

当x≥0时，f′（x）=e

x+1

+xex+1≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；

当x＜0时，f′（x）=-ex+1-xex+1=-ex+1

（x+1），

由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-ex+1

（x+1）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（-1，0）时，f′（x）=-ex+1

（x+1）＜0，f（x）为减函数，

所以函数f（x）=|xe

x+1

|的极大值为f（-1）=|（-1）e0|=1，

极小值为：f（0）=0，

令f（x）=m，由韦达定理得：m1+m2=-2sinα，m1?m2=cosα，

此时若sinα＞0，则当m1＜0，且m2＜0，

此时方程f2

（x）+2sinα?f（x）+cosα=0至多有两个实根， 若sinα＜0，则当m1＞0，且m2＞0，

要使方程f2

（x）+2sinα?f（x）+cosα=0有四个实数根， 则方程m2+2sinαm+cosα=0应有两个不等根， 且一个根在（0，1）内，一个根在（1，+∞）内，

再令g（m）=m2

+2sinαm+cosα，

因为g（0）=cosα＞0，①

△=4sin2α-4cosα＞0，则1-cos2

α-cosα＞0，②

则只需g（1）＜0，即1+2sinα+cosα＜0， 所以0＜cosα＜-1-2sinα，③ 由①②解得：0＜cosα＜，④ 由③④得到：sinα＜，＜cosα＜

，

所以sinα-cosα＜-=-，

∴λ≤-． 故选：A． 函数f（x）=|xe

x+1

|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，

在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值，所以，要使方程f2

（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解α的取值范围．

本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2

（x）+2sinα?f（x）+cosα=0有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题． 13.【答案】-4

【解析】

解：∵sinθ+cosθ=，

∴（sinθ+cosθ）2

=1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=-．

则tan=．

故答案为：-4．

把已知等式两边平方可得sinθcosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果． 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 14.【答案】

【解析】

解：∵在

方向上的投影为3，

且||=

=2，?=3+

m； ∴|

|×cosθ=|

|×

==3；

解得m=， ∴||=2； ∴cosθ=

=

，

由θ∈[0，π]， ∴

、

的夹角θ为

．

7

故答案为：．

根据

在

方向上的投影是|

|×cosθ，列出方程求出m的值，再计算

、

的夹角θ的值．

本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．

15.【答案】2- 【解析】

解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为

S=12×（×πR2阴影-×R2×sin60°）=（2π-3）R2，

又圆的面积为S圆=πR2，

利用几何概型的概率公式计算所求的概率为

P=

=

=2-．

故答案为：．

由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，

由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值． 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 16.【答案】666

【解析】

解：设数列{an}为公差d的等差数列，

a1cos

+a2cos

+a3cosπ+a4cos

+a5cos

+a6cos2π

=（a1-a2）+（a5-a4）-a3+a6=-a3+a6．…． 由S2017=5710，S2018=4030，

可得5710=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017， 4030=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017-a2018， 两式相减可得a2018=3360，

由5710=1008d+（3360-d），解得d=4， 则an=a2018+（n-2018）×4=4n-4712，

可得S2019=4030-a2019=4030-（4×2019-4712）=666． 故答案为：666．

求得数列{bn}的前6项之和，再由S2017=5710，S2018=4030，表示数列{an}的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和．

本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 17.【答案】（本题满分为12分）

解：（I）由正弦定理得，

，…（3分） 即

， 故

，所以 ． …（6分）

（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是

． 即c=7t．…（9分） 由余弦定理得

．

所以

．…（12分） 【解析】

（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．

（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

8

18.【答案】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC

的中点，∴BC∥EF，

又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA， ∴BC∥面EFA，

又BC?面ABC，面EFA∩面ABC=l， ∴BC∥l，

又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC， 面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC， ∴l⊥面PAC．

（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，

过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0， ）， E（ ， ，

），F（

， ，

），

， ， ，

， ， ， 设Q（2，y，0），面AEF的法向量为 ， ， ，

则 ，

取z= ，得 ， ， ， ， ， ， |cos＜ ， ＞|= = ， |cos＜ ， ＞|= = ，

依题意，得|cos＜ ， ＞|=|cos＜ ， ＞|， ∴y=±

1． ∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1． 【解析】

（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC．

（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1． 本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

19.【答案】解：（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，

依题意，P（D）=（0.0008+0.0022）×

100=0.3， 从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3）， ∴从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率为：

P（X=0）+P（X=1）= =0.784．

（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，

该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为：（0.0025+0.0035）×100=0.6， L∈（500，700]的概率为：（0.0008+0.0002）×100=0.1， 当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，

则X的所有可能取值为20，35，50，且P（X=20）=0.3，P（X=35）=0.6，P（X=50）=0.1， ∴X的分布列为： X 20 35 50 P 0.3 0.6 0.1 ∴E（X）=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32（元）． 当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y元，

则Y的可能取值为30，45，且P（Y=30）=0.3+0.6=0.9，P（Y=45）=0.1， ∴Y的分布列为： Y 30 45 P 0.9 0.1 E（Y）=30×0.9+45×0.1=31.5，

当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元， 则Z的所有可能取值为38，且P（Z=38）=1，E（Z）=38×1=38， ∵E（Y）＜E（X）＜E（Z）， ∴学校订购B套餐最经济． 【解析】

（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），由此能求出从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率．

（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为0.6，L∈（500，700]的概率为0.1，分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B套餐最经济．

9

本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题． 20.【答案】（1）解：由已知设点P的坐标为（x，y），由题意知

（x ），

化简得P的轨迹方程为

（x ）…（5分）

（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，且AP∥OM，BP∥ON， 则直线AP，BP斜率必存在且不为0，又由已知k

APkBP=- ． 因为AP∥OM，BP∥ON，所以k

OMkON=- …（6分） 设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程

，得（3+2m2）y2+4mty+2t2

-6=0…①，…（7分）

设M，N的坐标分别为M（x 1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=- ，y1y2=

…（8分）

所以k

OMkON=

=- ，得2t2=2m2+3…（10分） 又S

t||y △MON= |1-y2|=

=

， 即△MON的面积为定值

…（12分）

【解析】

（1）由题意知（x），可求P的轨迹方程；

（2）设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，利用kOMkON=

=-，得2t2=2m2+3，

即可证明结论．

本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题．

21.【答案】解：（I）g′（x）=a+

x2+2（cosx-xsinx），

函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行，则g′（0）=a+2=0， 得a=-2．

（II）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x≥1-x?（1+x）e-x

≥（1-x）ex， 令h（x）=（1+x）e-x

-（1-x）ex，则h′（x）=x（ex-e-x）．

当x∈[0，1）时，h′（x）≥0， ∴h（x）在[0，1）上是增函数， ∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．

②当x∈[0，1）时，f（x）≤

xxx

?e≥1+x，令u（x）=e-1-x，则u′（x）=e-1．

当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，

∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0， ∴f（x）≤

，

综上可知：1-x≤f（x）≤

；

（Ⅲ）解：设G（x）=f（x）-g（x）=（1+x）e-2x-（ax+

3

x+1+2xcosx）

≥1-x-ax-1- x3-2xcosx=-x（a+1+

+2cosx）．

令H（x）=

+2cosx，则H′（x）=x-2sinx，

令K（x）=x-2sinx，则K′（x）=1-2cosx． 当x∈[0，1）时，K′（x）＜0， 可得H′（x）是[0，1）上的减函数，

∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减， ∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3． ∴当a≤-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．

下面证明当a＞-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．

f（x）-g（x）≤

（1+ax+

- x3+2xcosx）=-x（ +a+

+2cosx）．

令v（x）=

+a+

+2cosx= +a+H（x），则v′（x）= +H′（x）．

当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数， ∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]． 当a＞-3时，a+3＞0．

∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）． 即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立． 综上实数a的取值范围是（-∞，-3]． 【解析】

（I）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可； （Ⅱ）①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x

≥1-x?（1+x）e-x≥（1-x）ex，令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）ex，利用导数得到h（x）

的单调性即可证明；

②当x∈[0，1）时，f（x）≤

?ex≥1+x，令u（x）=ex

-1-x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．

（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论得到f（x）≥1-x，于是G（x）=f（x）-g（x）≥-x（a+1++2cosx）．再令H（x）=+2cosx，

通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．

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本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．

22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线C

1的参数方程为 （

φ为参数）， 消去参数得曲线C1的普通方程为（x-2）2+y2

=4．

∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，

∴ρ2

=4ρsinθ，

∴C2的直角坐标方程为x2+y2=4y，整理，得x2+（y-2）2

=4． （Ⅱ）曲线C1：（x-2）2+y2

=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ，

设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），

∵曲线C3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点， 点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4 ， ∴|AB|=|ρ

1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4 |sin（ ）|=4 ， ∴sin（

）=±1， ∵0＜α＜π，∴

＜ ＜

，

∴

，解得

．

【解析】

（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2

=4ρsinθ，

由此能求出C2的直角坐标方程．

（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin（

）|=4

，进而sin（

）=±

1，由此能求出结果． 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）＜4，

即为2|x+1|+|x-1|＜4，

当x≥1时，2（x+1）+x-1＜4，解得x∈?；

当x≤-1时，-2（x+1）+1-x＜4，解得-

＜x≤-1； 当-1＜x＜1时，2x+2+1-x＜4，解得-1＜x＜1； 则原不等式的解集为（-

，1）；

（2）函数g（x）=f（x）+f（-x） =2|x+a|+|x-|+2|x-a|+|x+|

≥2|x+a-x+a|+|x--x-|

=4|a|+| |≥2

=4 ，

当且仅当（x+a）（x-a）≤0，且（x- ）（x+ ）≤0，且4|a|=| |时，取得等号， 则g（x）的最小值为4 ． 【解析】

（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可； （2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可．

本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

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（2）函数g（x）=f（x）+f（-x） =2|x+a|+|x-|+2|x-a|+|x+|

≥2|x+a-x+a|+|x--x-|

=4|a|+| |≥2

=4 ，

当且仅当（x+a）（x-a）≤0，且（x- ）（x+ ）≤0，且4|a|=| |时，取得等号， 则g（x）的最小值为4 ． 【解析】

（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可； （2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可．

本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

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