【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 充分必要条件的判定(真题为例)

充分必要条件的判定

典型例题：

例1. （2012年北京市理5分）设a，b∈R.“a=0”是‘复数a+bi是纯虚数”的【 】

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B。

【考点】复数的概念，纯虚数的定义，充分必要条件的判定。 【解析】复数a+bi是纯虚数必须满足a=0，b≠0同时成立。当a =0 时，如果b =0，此时a+bi 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件：而如果a + bi已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0。因此，.“a=0”是‘复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件。故选B。

例2. （2012年上海市文5分）对于常数m、n，“mn 0”是“方程mx2 ny2 1的曲线是椭圆”的【 】

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

【答案】B。

【考点】充分条件、必要条件和充要条件，椭圆的标准方程的理解。

m 0 m<0 【解析】方程mx2 ny2 1的曲线表示椭圆，常数m,n的取值为 n 0或 n<0，所以，

m n m n

由mn 0得不到方程mx ny 1的曲线表示椭圆，因而不充分。

反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出mn 0，因而必要。

∴“mn 0”是“方程mx ny 1的曲线是椭圆”的必要不充分条件。故选B。 2222

ab例3. （2012年四川省文5分）设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使 成|a||b|

立的充分条件是【 】

A、|a| |b|且a//b B、a b C、a//b D、a 2b

【答案】D。

【考点】充分条件。 ab【解析】若使 成立， 即要a、b共线且方向相同，即要a b >0 。所以使|a||b|

ab 成立的充分条件是a 2b。故选D。 |a||b|

例4. （2012年天津市理5分）设 R，则“ =0”是“f(x)=cos(x+ )(x R)为偶函数”的【 】

（A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件

（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件

【答案】A。

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数奇偶性的判断。

【分析】∵ =0 f(x)=cos(x+ )(x R)为偶函数，成立；

f(x)=cos(x+ )(x R)为偶函数 =k ，k Z，推不出 =0。

∴“ =0”是“f(x)=cos(x+ )(x R)为偶函数”的充分而不必要条件。故选A。

例5. （2012年天津市文5分）设x R，则“x 12”是“2x x 1 0”的【 】 2

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A。

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次不等式的解。

2【分析】∵不等式2x x 1 0的解集为x 11或x 1，∴“x ”是22

2“2x x 1 0”成立的充分不必要条件。故选A。

例6. （2012年安徽省理5分）设平面 与平面 相交于直线m，直线a在平面 内，直线b在平面 内，且b m， 则“ ”是“a b”的【 】

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 即不充分不必要条件

【答案】A。

【考点】充分和必要条件，两直线垂直的判定和性质。

【解析】∵ ,b m b b a，∴“ ”是“a b”的充分条件。 ∵如果a//m，则a b与b m条件相同，∴“ ”是“a b”的不必要条件。

故选A。

例7.（2012年山东省理5分） 设a>0，a 1 ，则“函数f x ax在R上是减函数 ”，是“函数g x 2 a x3在R上是增函数”的【 】

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

【答案】A。

【考点】充分必要条件的判断，指数函数和幂函数的性质。

【解析】∵p：“函数f x ax在R上是减函数 ”等价于0<a<1，

q：“函数g x 2 a x3在R上是增函数”等价于2 a>0且a 1，即

0<a<2且a 1，

∴p是q成立的充分不必要条件.。故选A。

例8.. （2012年浙江省理5分）设a R，则“a 1”是“直线l1：ax 2y 1 0与直线l2：x (a 1)y 4 0平行”的【 】

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A。

【考点】充分必要条件。

【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行，所以“a 1”是“直线l1：ax 2y 1 0与直线l2：x (a 1)y 4 0平行”的充分条件；

a2 若直线l1与直线l2平行， ，解之得：a＝1 或a＝﹣2，所以“a 1”1a 1

是“直线l1：ax 2y 1 0与直线l2：x (a 1)y 4 0平行”的不必要条件。

∴“a 1”是“直线l1：ax 2y 1 0与直线l2：x (a 1)y 4 0平行”的充分不必要条件。

故选A。

例9. （2012年湖北省文5分）设a,b,c∈ R，则 “abc 1”是

a b c”的【 】 A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件

【答案】A。

【考点】充分、必要条件的判定，基本不等式的应用。

【解析】当abc

1 而2 a b c a b b c

c a （当且仅当a b c，且abc 1，即a b c时等号成立），

a b c。 a b c,但abc 1。

当取a b c 2,

a b c不可以推得abc 1。 a b c的充分不必要条件。故选A。 综上，abc

1例10. （2012年重庆市理5分）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的【 】

（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件

（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件

【答案】D。

【考点】充分条件、必要条件、和充要条件的判定，函数的奇偶性、周期性和单调性及其之

间的关系。

【分析】∵f(x)为[0，1]上的增函数，f(x)是偶函数，∴f(x)在[ 1,0]上递减。

任取x1,x2 [ 1,0],x1 x2，则f(x1) f(x2)。

又∵f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x1 4) f(x2 4),且x1 4,x2 4 [3,4]。

∴f(x)为[3，4]上递减。

反之，当f(x)在[3，4]上递减时，根据f(x)是周期为2的周期函数知f(x)在

[ 1,0]上递减；又根据f(x)是定义在R上的偶函数，得到f(x)在[0，1]上递增。

故选D。

例11. （2012年陕西省理5分）设a,b R，i是虚数单位，则“ab 0”是“复数a 为纯虚数”的【 】

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B。

【考点】充分必要条件。

【解析】当ab 0时，a=0或b=0，只有a=0，并且b¹0时，复数a 否则不成立。所以“ab 0”是“复数a

若复数a bib为纯虚数，ib为纯虚数”的不充分条件。 ib为纯虚数，则有：a=0,b罐0iab=0，所以“ab 0”是“复数ba 为纯虚数”的必要条件。 i

∴“ab 0”是“复数a

故选B。

例12. （2012年安徽省理13分） 数列{xn}满足：x1 0,xn 1 xn xn c(n N) （I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c 0

（II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。 2*b为纯虚数”的必要不充分条件。 i

【答案】解：（I）证明：必要条件：

2 当c 0时，xn 1 xn xn c xn，∴数列{xn}是单调递减数列。

充分条件

2 当数列{xn}是单调递减数列时，x1 x2 x1 x1 c，∴c x12 0。 ∴数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c 0。 （II）由（I）得：c 0

①当c 0时，an a1 0，不合题意。 ②当c 0时，x2 c x1, x3 c2 2c x2 c 。 由 c 2c c解得，0 c 1。 22 ∵xn 1 xn c xn 0，∴ xn c 1 。∴

0 x1 xn 2

22 又 xn 2 xn 1 (xn)， 1 xn) (xn 1 xn) (xn 1 xn)(xn 1 xn 1

当c

同号。 11时，xn ，∴xn xn 1 1 0。∴xn 2 xn 1与xn 1 xn42

由x2 x1 c 0得xn 2 xn 0，∴xn 1 xn。

∴limxn 1 lim( xn xn c) limxn n n n 2

当c 11时，存在N，使xN ，即xN xN 1 1xN 2 xN 1 42

即xN 2 xN 1与xN 1 xN异号。与数列{xn}是单调递减数列矛盾。 综上所述，当0 c 1时，数列{xn}是单调递增数列。 4

【考点】充分必要条件，数列的单调性证明。

【解析】（I）要证数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c 0，即要①由c 0得出数列{xn}是单调递减数列：②由数列{xn}是单调递减数列得c 0。 （II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列，即要求出数列{xn}的后项与前项之差大于0时c的取值范围。由（I）和c 0时，an a1 0，不合题意。因此在c 0的条件下推导。

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