高三数学-(内部资料)金山中学2018年数学高考压轴题 精品

金山中学18年数学高考压轴题

（集有关信息编制，内部资料，仅供参考） 2018.5.28

1.设关于x的一元二次方程2x2－ax－2=0的两根的α、β(α<β)，函数f(x)＝⑴求f(α)·f(β)的值；

⑵证明f(x)是[α,β]的增函数；

（3）当a为何值时，f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：⑴ f(α)f(β)＝－4

⑵设α≤x1

4x?a x2?1[4?a(x1?x2)?4x1x2](x1?x2) 2(x12?1)(x2?1)又∵2x12-ax1-2≤0, 2x22-ax2-2≤0,∴a(x1+x2)+4≥2(x12+x22) 得4+a(x1+x2)－4x1x2≥

2(x12+x22) －4x1x 2=2(x1-x2)2>0，得f(x1)0，f(x)min＝f(α)<0

∵|f(α)|·f|(β)|＝4，而f(β)－f(α)＝|f(β)|+|f(α)|≥4 符号在f(B)＝2时成立，即

２

8a?16?a2?2?a?0

2. 设曲线ｃ：ｙ＝ｘ（ｘ＞０)上的点Ｐ０（ｘ０，ｙ０)，过Ｐ０作曲线ｃ的切线与x轴交于Q１，过Q１作平行于y轴的直线与曲线c交于P１（ｘ１，ｙ１），然后再过Ｐ１作曲线c的切线交x轴于Ｑ２，过Ｑ２作平行于y轴的直线与曲线c交于Ｐ２（ｘ２，ｙ２），依次类推，作出以下各点：Ｐ０，Ｑ１，Ｐ１，Ｑ２，Ｐ２，Ｑ３…Ｐｎ，Ｑｎ＋１…，已知ｘ０＝２，设Ｐｎ（ｘｎ，ｙｎ）（ｎ∈N) (Ⅰ)求出过点Ｐ０的切线方程； (Ⅱ)设ｘｎ＝ｆ（ｎ），求ｆ（ｎ）的表达式； (Ⅲ)设Ｓｎ＝ｘ０＋ｘ１＋…＋ｘｎ，求limＳｎ.

n??解：(Ⅰ)∵Ｋ０＝２ｘ０＝４，∴过点P０的切线方程为４ｘ－ｙ－４＝０ 4分 (Ⅱ)∵Ｋｎ＝２ｘｎ，∴过Pｎ的切线方程为 ｙ－ｘｎ２＝２ｘｎ（ｘ－ｘｎ） 6分 将Qｎ＋１（ｘｎ＋１，０）的坐标代入方程得：

２

－ｘｎ＝２ｘｎ（ｘｎ＋１－ｘｎ） ∴ｘｎ＋１＝

xnx1?n?1? 2xn2 8分

1的等比数列 21ｎ1ｎ－１

∴ｘｎ＝f(n)=2·（），即f(n)＝（）

22故｛ｘｎ｝是首项为ｘ０＝２，公比为

10分

2(1?(Ⅲ)Ｓｎ＝

1n?1211?2)?Sn?4(1?112

n?1)

∴limSn=lim4(1-n??n??2n?1)=4 14分

3.如图，A、B为函数△ABC边AC的中点。

图像上两点，且AB∥x，点M（1，m）（m>3）是

（I）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式S=f(t)；

（II）求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的点C的坐标。 解：（I）设B

，A

，

，M是△ABC边AC的中点

∴ （II）∵

4分

，M是△ABC边AC的中点

∴

∴ 当

时，

当且仅当。

此时点C的坐标是 （） 8分

当m>9时，S=f(t)在区间（0，1]上是增函数，证明如下： 设 ∵ 又 ∴

∴S=f(t)在（0，1]上为增函数， 11分 故t=1时，

。 13分

，

22：设x1,x2?(??,0)，且x1?x2，则?x1,?x2?(0,??)，且?x1??x2。 ∵f(x)在[0,??)上是增函数，∴f(?x1)?f(?x2)又f(x)为奇函数，∴（Ⅱ）∵函数f(x)?f(x1)?f(x2)∴f(x1)?f(x2)。∴f(x)在(??,0)上也是增函数。在(??,0)和[0,??)上是增函数，且f(x)在R上是奇函数

∵f(x)在(??,??)上是增函数。∵f(cos2??3)?f(2m?sin?)?0， ∴f(cos2??3)??f(2m?sin?)。 f(cos2??3)?f(sin??2m)，

cos2??3?sin??2m，2m?2sin2??sin??2，

1?15?m??sin????。

4?16?11?15?∵当sin??1时，?sin????的最大值为2，

24?16?22

1时，不等式恒成立。 224.设二次函数f?x??x，对于任意?,?恒有f?sin?bx??c,bc??R???0，

∴当m?2f?2?cos???0．

（1）求证：b?c??1且c?3．

（2）若函数f?sin??的最大值为8，求b,c的值．

解：（1）由题可得：当x???1,1?时，f?x??0恒成立；当x??1,3?时，f?x??0恒成立。

所以，f?1??0，且f?3??0（9?3b?c?0）， 所以，b?c??1，2c??9?3b?c??2c?6，即c?3。 （2）f?x??x2?bx?1?b

函数f?sin??的最大值为8?当x???1,1?时，函数f?x?的最大值为8。

因为f?x?在［－1，1］上单调递减，所以，f??1??8。所以b??4。带入解得：c?3。

5.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假

2定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也

3越多，但总还有农药量残留在蔬菜上．设用x单位的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f?x?．

（1）试规定f?0?的值，并说明其实际意义．

（2）试根据假定写出函数f?x?应满足的条件和具有的性质．

1，现有a?a?0?单位量的水，可以清洗一次，也可以21?2x把水平均分成两份后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．

（3）设f?x??（1）f?0??1，表示没有用水时，蔬菜上的农药量将保持不变。

（2）函数f?x?应该满足的条件和具有的性质是：f?0??1;f?1??1；f?x?在3?0,???上单调递减；且0?f?x??1。

（3）仅清洗一次，残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为f1?1，

1?2a2将水平均分成两次后清洗两次，残留的农药量与清洗前相比为

????14??f2??。 222??a???2?a?1?2?????2???

2

2?a??4?1?2a2??14a4?4a2f1?f2???? 2222222221?2a?2?a??1?2a??2?a??1?2a??2?a?22于是，当a?2时，f1?f2，分两次清洗残留的农药量较少；

a?2时，f1?f2，两种清洗方法效果相同； 0?a?2时，f1?f2，一次清洗残留的农药量较少。

6.（本题满分14分） 已知函数：f(x)?x?1?a(a?R且x?a)．

a?x1,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]； 2 （1）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立； （2）当f(x)的定义域为[a+

（3）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 ．

解（1）证明：f(x)?2?f(2a?x)?x?1?a2a?x?1?a?2?

a?xa?2a?xx?1?aa?x?1x?1?a?2a?2x?a?x?1??2???0．

a?xx?aa?x?(a?x)?11??1?

a?xa?x∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’ （2）证明：f(x)?当a?11?x?a?1时，?a?1??x??a?， 2211 ?2???1，?1?a?x??，

a?x21??2． a?x 即f(x)值域为[?3,?2]．………………………………………………………………8’

∴?3??1?（3）g(x)?x2?|x?1?a|(x?a)

①当x?a?1且x?a时,g(x)?x?x?1?a?(x?如果a?1??2123)??a． 2411 即a?时，则函数在[a?1,a)和(a,??)上单调递增，

22∴g(x)min?g(a?1)?(a?1)2 ．

11113如果a?1??即当a?且a??时,g(x)min?g(?)??a．

222241时，g(x)最小值不存在．……………………………………………………10’ 21252②当x?a?1时g(x)?x?x?1?a?(x?)?a? ，

24当a??

如果a?1?1315即a?时g(x)min?g()?a?． 222432如果a?1?即a?时,g(x)在(??,a?1)上为减函数g(x)min?g(a?1)?(a?1)2． 当a?时,(a?1)2?(a?)?(a?)2?0．

12353242131当a?时,(a?1)2?(?a)?(a?)2?0．……………………………………………12’

24211313且a?时， g（x）最小值是?a；当?a?时， g（x）最小值22422351是(a?1)2 ；当a?时， g（x）最小值为a?；当a??时， g（x）最小值不存在．

242综合得：当a?

7. 一条斜率为1的直线l与离心率线l与y轴交于R点，且

解：∵

的双曲线(a>0, b>0)交于P、Q两点，直

，求直线和双曲线方程。

， ∴ b2=2a2，∴ 双曲线方程可化为2x2-y2=2a2,

设直线方程为 y=x+m,

由得 x2-2mx-m2-2a2=0,

∴ Δ=4m2+4(m2+2a2)>0 ∴ 直线一定与双曲线相交。

设P(x1, y1), Q(x2, y2), 则x1+x2=2m, x1x2=-m2-2a2,

∵ ∴

， , ∴

,

消去x2得，m2=a2,

=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)

=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-4a2=-3 ∴ m=±1, a2=1, b2=2.

直线方程为y=x±1，双曲线方程为。

8. 对于函数f(x)?ax?(b?1)x?b?2(a?0)，若存在实数x0，使f(x0)?x0成立，

则称x0为f(x)的不动点.

2

（1）当a=2，b=－2时，求f(x)的不动点；

（2）若对于任何实数b，函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y?f(x)的图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动

点，且直线y?kx?12a2?1是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围.

（1）f（x）的不动点为－1、2； （2）0

(2)当三棱锥C1－CEF的体积取得最大值时，求二面角C1－EF－C的大小． （3）三棱锥G－CEF的体积的最大值。

解(1)证：以A为原点，分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设BE＝x，则有B1(a，0，a)，D1(0，a，a)，

E(a，x，0)，F(a－x，a，0) 2分 ∴B1F?(?x,a,?a)，D1E?(a,x?a,?a) ∴B1F?D1E??ax?a(x?a)?(?a)(?a)?0

因此，B1F⊥D1E． 4分 (2)解：VC1?CEF 当x?

B x

A1 B1 A G E C F C1 D z D1 y aa2a2?[?(x?)?] 6246分

a时，三棱锥C1－CEF的体积最大，这时E、F分别为BC、CD的中点 8分 2连结AC交EF于G点，连结C1G，则AC⊥EF

由三垂线定理知C1G⊥EF，∴∠C1GC是二面角C1－EF－C的平面角 10分

12CC1a,CC1?a，∴tan?C1GC?∵GC?AC??22

44GC即二面角C1－EF－C的大小为arctan22． 12分

10. 已知函数f(x)?loga1?mx是奇函数(a?0,a?1)。 x?1（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间(1,??)上的单调性并加以证明； （3）当a?1,x?(r,a?2)时，f(x)的值域是(1,??)，求a与r的值. 解：（1）m=－1…………3分 （2）当a?1时,logax1?1x?1?loga2,f(x)在(1,??)上是减函数；……7分 x1?1x2?1

当01时，要使f(x)的值域是(1,??)，则logax?1?1，

x?1x?1(1?a)x?a?1?a,即?0；而a>1，∴上式化为x?1x?1x??a?1a?1?0 ①（10分） x?1x?12?loga(1?),∴当x>1时，f(x)?0. 当x??1时,f(x)?0. x?1x?1因而，欲使f(x)的值域是(1,??)，必须x?1，所以对不等式①，

a?1当且仅当1?x?时成立.12分

a?1?r?1?a?1???a?2?,解之,得r?1,a?2?3.…………………………14分

a?1???a?1又f(x)?loga11．某公司取消福利分房和公费医疗，实行年薪制工资结构改革，该公司从2000年起每人的工资由三个项目并按下表规定实施

项目 基础工资 房屋补贴 医疗费 金额（元/人·年） 一万元 400元 1600元 性质与计算方法 考虑物价因素，从2000年起每年递增10%（与工龄无关） 按照职工到公司的年限计算，每年递增400元 固定不变 如果公司现有5名职工，计划从明年起每年新招5

（Ⅰ）若今年（2000年）算第一年，试把第n年该公司付给职工工资总额y(万元)表示成年限n的函数；

（Ⅱ）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工资总额的20%？

解：（Ⅰ）第n年共有5n个职工，那么基础工资总额为5n(1+

1n

)（万元） 10

2分

医疗费总额为5n×0.16万元，房屋补贴为

5×0.18+5×0.18×2+5×0.18×3+…+5×0.18×n=0.1×n(n+1)（万元）

1n

)+0.1×n(n+1)+0.8n 101n

=n［5(1+)+0.1(n+1)+0.8］（万元）

101n

（Ⅱ）5(1+)×20%-［0.1(n+1)+0.8］

101n1=(1+)-(n+9)

101011n=［10(1+)-(n+9)］ 101011n1∵10(1+)=10(1+Cn1Cn1+Cn2+…)

1001010∴y=5n(1+

6分

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