点集拓扑讲评:半期复习(1-3)
更新时间:2024-03-18 13:47:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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半期复习
主要复习两个内容:拓扑学研究的思路与成果;常见证明方法。
一. 研究的思路与成果 1.预备知识:
(1)集合的三种运算的定义与证明方法: 并、交、差:A∪B、A∩B、A-B
(2)在映射f之下,集合的并、交、差的象有什么特点?
f(A∪B)=f(A)∪f(B) f(A∩B)?f(A)∩f(B) 当f为单射时,取等号
f(A-B)?f(A)-f(B)
当f为单射时,取等号
(3)集合的并、交、差运算关于f的原象有什么特点? 一句话:保持运算。即:
f
?1?1?1(A?B)?f?1?1(A)?f?1?1(B)
f(A?B)?f(A)?f(B)f(A?B)?f(A)?f(B)?1?1
(4)
f(f(A))?A f满时取等号
?1?1 f(f(A))?A f单时取等号 (5)等价关系、等价类的定义,作用
等价类是一种分类方法,将等价类看成一个元素,所有这样元素的集合就是原集合的商集。
(6)有限集与无限集、可数集与不可数集大不相同。
2.拓扑空间
(1)度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义。
(2)拓扑空间的定义(P51 def 2.2.1:满足三条性质)
拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间(是所有数学空间的交集)它只具有开集。
(3)模仿实数空间,在拓扑空间中引进类似实数空间的性质。
定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集 定义了连续映射,并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题。
(4)模仿高等代数,给出了基的概念。
(5)定义了序列及极限点。
思路:模仿实数空间,在拓扑空间中引进实数空间的性质。同时也剖析了实数空间,使我们对实数空间的认识更深刻。
因此,我们在研究各种性质时,应不断探讨:R中是否具有这种性质?与R中的相应性质有何区别?
3.从拓扑空间构造新的拓扑空间
(1)子空间的定义,子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构。
(2)积空间及其基、子基的概念。 (3)商空间、商拓扑、商映射的定义
(4)投射、自然投射的一些性质(Th3.2.6; Th3.2.7; Th3.3.2,Th3.3.3)
二.常见证明方法 1.证明集合包含
?x?A?x?B?A?B??x?B?x?A 相等 A?B?A?B且B?A
2.证明连续映射:反射开集、闭集、邻域 3.证明开集:定理2.3.1。在连续映射下,是
否是开集的原象?开映射下,是否是开集的象?
4.证明基:定义及定理2.6.2 5.证明凝聚点;
x?d(A)??U?U x有U?(A?{x})?? 证明不是凝聚点:
x?d(A)??U?U x有U?(A?{x})??
证明闭包:
x?A??U?U x,U?A??6.证明序列收敛于x,用定义;证明序列收敛,用反证法.
limxi?x??U?U x ,i??def?M?Z?,使得当i?M时,有xi?U.
7.常在一个集合关系式的两边同取f、f包等
8.常用反证法
?1、闭
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