控制系统数字仿真题库

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一、填空题

1. 定义一个系统时，首先要确定系统的 边 界；边界确定了系统的范围，边界以外对系统的作用称为系统的 输 入，系统对边界以为环境的作用称为系统的 输 出。 2．系统的三大要素为：实体、属性 和活 动。

3．人们描述系统的常见术语为：实 体、属性、 事件 和活动。

4．人们经常把系统分成四类，它们分别为：连续系统、离散系统、采样数据系统 和 离

散-连续系统。

5、根据系统的属性可以将系统分成两大类：工程系统和非工程系统。

6．根据描述方法不同，离散系统可以分为：离散时间系统 和 离散事件系统 。 7. 系统是指相互联系又相互作用的 实 体 的有机组合。

8．根据模型的表达形式，模型可以分为 物理模型 和数学模型二大类，其中数学模型根据数学表达形式的不同可分为二种，分别为： 静态模型 和 动态模型 。 9、采用一定比例按照真实系统的样子制作的模型称为物理模型，用数学表达式来描述系统内在规律的模型称为数学模型。

10．静态模型的数学表达形式一般是 代数 方程和逻辑关系表达式等，而动态模型的数学表达形式一般是 微分 方程和 差分 方程。

11．系统模型根据描述变量的函数关系可以分类为 线性 模型和 非线性 模型。 12 仿真模型的校核是指检验 数字仿真 模型和 数学 模型是否一致。 13．仿真模型的验证是指检验 数字仿真 模型和 实际 系统是否一致。 14．计算机仿真的三个要素为：系统、模型与计算机。

15．系统仿真的三个基本活动是 系统建模、仿真建模 和 仿真试验。

16．系统仿真根据模型种类的不同可分为：物理仿真、数学仿真和数学-物理混合仿真。 17．根据仿真应用目的的不同，人们经常把计算机仿真应用分为四类，分别为： 系统分析 、 系统设计 、 理论验证 和 人员训练 。 18．计算机仿真是指将模型在计算机上进行实验的过程。 19. 仿真依据的基本原则是:相似原理。

20. 连续系统仿真中常见的一对矛盾为计算速度和计算精度。 21．保持器是一种将离散时间信号恢复成连续信号的装置。 22．零阶保持器能较好地再现阶跃信号。 23. 一阶保持器能较好地再现斜坡信号。 24. 二阶龙格-库塔法的局部截断误差为O()。 25．三阶隐式阿达姆斯算法的截断误差为:O()。 26．四阶龙格-库塔法的局部截断误差为O()。

27．根据计算稳定性对步长h是否有限制，数值积分算法可以分为二类，分别是： 条

件稳定算法 和 绝对稳定算法 。

28. 根据数值积分算法本次计算只用到前一次的计算结果，还是需要更前面的多次结果，数值积分算法可以分为二类，分别 单步 法和 多步 法 。

29. 根据数值积分算法本次计算是否是需要前面的多次结果，常见的RK法和Adams法分别是： 单步 法和 多步 法。 30．龙格-库塔法的基本思想是用几个点上函数值的 线性组合 来避免计算函数的高阶导数、提高数值计算的精度。 31. 根据本次计算时用到的数据是否全部已知，数值积分算法可以分成二类：显式算法和隐式算法。

32. 数值积分法步长的选择应遵循的原则为计算稳定性及计算精度。

33. 采用数值积分方法时有两种计算误差，分别为截断误差和舍入误差。 34. 离散相似法在采样周期上应该满足 采样（香农）定理。

35. 常用快速数字仿真算法有增广矩阵法、时域矩阵法、替换法和根匹配法。 36. 一般对快速数字仿真算法有二点基本要求，分别为： 每步计算量小 和 良好的计

算稳定性 。

38. 双线性替换法的基本公式为：s?2z?1。

Tz?139. 采样控制系统的数字仿真的一般方法为：差分方程递推求解法和双重循环方法。 40. 采样控制系统是既有连续信号又有离散信号的混合系统。 41. 采样系统按采样周期T重复工作。

42. 已知某采样控制系统的数字校正环节为D?z??Y(z)z?2，采。样周U(z)z?0.3z?0.04期为T=0.02秒，试写出该校正环节的数字仿真模型yn?0.3yn?1?0.04yn?2?un?1。 43.为了确定控制器的结构及其参数，人们往往会提出二类优化问题，分别为：函数优化问题和参数优化问题。

44. 控制系统参数优化设计中目标函数一般可以分为二类：加权性能指标型目标函数和误差积分型目标函数，其中后者常用的目标函数有：误差绝对值的积分（IAE）、误差平方的积分（ISE）、 时间乘以误差绝对值的积分（ITAE）、时间乘以误差平方的积分（ITSE）、时间平方乘以误差绝对值的积分（ISTAE）和时间平方乘以误差平方的积分（ITSE）。 45. 参数优化问题也称为静态优化问题，解决参数优化问题的寻优途径一般有二种：间接寻优法 和直接寻优法。 46. 目标函数Q(?)?(3/2)?1T22?(1/2)?2??1?2??1，在初值点?0?(?2,4)T处的

梯度方向为: ??11 6?。

50. 从计算稳定性角度分析，常见的数值积分法是 条件稳定 的算法，双线性替换法是

绝对稳定 的算法，根匹配法是 绝对稳定 的算法。

52. 控制系统仿真过程中，实现步长自动控制的前提是 误差估计 。

54. 根匹配法依据的映射关系为 z?eTs ，若G(s)的分母阶次n高于其分子阶次m，

则在G(z)的分子上还需要配上 n-m 个附加零点。

55. 将实际系统抽象为数学模型，称之为一次模型化, 将数学模型转化为可在计算机上运行的仿真模型，称之为二次模型化。

二、简答题：

2、（本题5分）试述系统仿真的一般步骤。

问题的描述 、 建立系统的数学模型 、 数学模型转换成仿真模型 、 编程和调试 、仿真模型的校核和验证 、在计算机上进行仿真试验，并对仿真结果进行分析 3、（本题5分）简述计算机仿真的优点。

（1）对尚处于论证或设计阶段的系统进行研究，唯一的方法就是仿真。 （2）经济、安全、效率高。

（3）研究系统非常方便灵活。

6、（本题5分）简述系统、模型及仿真三者之间的关系。

系统是被研究的对象，模型是对系统的描述，仿真是通过模型研究系统的一种工具或手段。

7、一般的快速数字仿真算法有一下两点要求 1）每步计算量要小；

2）算法要有良好稳定性，允许采用较多的计算步长，同时又能保证必要的计算精度。 9、（本题5分）简述多步法数值积分算法的优缺点。

? 多步法的优点：欲达到相同的精度，计算工作量要小得多。 ? 多步法的缺点：不能自启动。 10、（本题5分）简述数值积分算法的选择原则。 选择时应考虑的原则： （1）精度要求；（2）计算速度； （3）计算稳定性；（4）自启动能力； （5）步长变化能力。 11、（本题5分）简述实际应用的哪些场合需要采用快速数字仿真算法? ①利用仿真技术进行控制系统的参数优化设计时；

②在数学-物理混合仿真中，并且系统比较复杂或者方程个数很多；

③在复杂系统的控制中，需要在线用仿真方法对被控系统的状态进行预测，以确定系统的控制策略时。 12、（本题5分）简述离散相似算法的优缺点。

与数值积分算法相比，离散相似算法的每步计算量要小得多，稳定性也要好得多，因而允许采用较大的计算步长。然而，它通常只适合线性定常系统的仿真，具有一定的局限性。

13、（本题5分）简述离散相似算法的原理。

离散相似算法借助于离散系统的理论和方法，将连续系统作虚拟的离散化处理，从而建立与原连续系统模型等价（相似）的离散化模型来进行数字仿真。 14、（本题5分）简述根匹配法的原理。

根匹配法的基本思想是要使离散化模型的瞬态特性和稳态特性与原连续系统保持一致。更明确地说，就是要使离散化后所得脉冲传递函数的零点和极点与原连续系统传递函数的零点和极点相匹配。

15、（本题5分）简述相匹配原理

相匹配的含义是，如果被仿真系统的数学模型是稳定的，则其仿真模型也应该是稳定的，并且二者的瞬态、稳态特性一致。如果对于同一输入信号，二者的输出具有相一致的时域特性，或者二者具有相一致的频率特性，则称仿真模型与原系统模型相匹配。

16、（本题5分）简述采样控制系统数字仿真中连续部分离散化时的步长h如何选取?

①若仿真的任务仅要求计算系统输出y(t)而不要求计算系统内部状态变量，且连续部分的整体脉冲传递函数G(z)=Z[Gh(s)G0(s)]较易求出时，可选h=T ②若连续部分整体脉冲传递函数G(z)=Z[Gh(s)G0(s)]不易求出；或仿真的任务要求计算系统输出y(t)和内部状态变量；或被控对象含有非线性环节时，可选h=T/N（N为正整数）。 17、（本题5分）采样控制系统仿真有何特点？

采样控制系统实际存在的采样开关的采样周期，这有异于连续系统离散化时人为引入虚拟的采样开关和保持器，使得计算步长必须与采样周期相匹配。

18、（本题5分）简述连续时间系统、离散时间系统和采样控制系统的概念。

系统的状态是随时间连续变化的，这类系统称为连续时间系统；可以用差分方程或离散状态方程来描述的系统称为离散时间系统；采样系统是既有连续信号又有离散信号的混合系统。

19、（本题5分）简述采样控制系统数字仿真有哪几种方法?

采样控制系统仿真通常有差分方程递推求解法、双重循环方法、应用MATLAB控制工具箱时域响应分析函数法和Simulink仿真法。

三、计算题

1、用二阶龙格—库塔法求解方程明h对数值稳定性的影响。

y'??1?y,??0，分析对计算步长h有何限制，说

h?y?y?(k1?k2)k?k?12?1? 解： ?k1??yk

??11?k??(y?ykh)k?2???h2yk?1?yk(1??2)?2? 稳定系统最终渐进收敛。 得到

h 系统稳定则

h21??2?1?2?h 计算得0?h?2?。

h的选取不能超出上述范围，否则系统不稳定。

2、（本题15分）已知y?y?t,y(0)?1，取计算步距h=0.1，试分别用欧拉法、四阶龙格—库塔法求t=h时的y值，并将求得的y值与精确解y(t)?2et?1?t比较，并说明造成差异的原因。 解：（1） 欧拉法：

yn?1?yn?(yn?tn)h

y1?1?(1?0)?0.1?1.1 （5分） （2） 四阶龙格—库塔法： yn?1?yn?.h(k1?2k2?2k3?k4) 6?k1?yn?tn??k2?yn?hk1?tn?h?22 ?

hh?k3?yn?k2?tn??22?k?y?hk?t?hn3n?4 k1=1，k2=1.1，k3=1.105，k4=1.2105

y1?1.1103 （5分）

y(0.1)=1.1103 （2分）

计算结果产生差异是由于两种方法的精度不一样，RK4方法精度更高。（3分）

3、（本题10分）设Ty(t)?y(t)?k，试分别用欧拉法、二阶龙格—库塔法求y(t)的差分方程，如果步长h大于2T将会产生什么结果？试说明其原因。

欧拉法：ym?1?(1?RK2法：ym?1.hkh)ym? （4分） TThh2khkh2?(1??2)ym??2 （4分）

T2TT2T1，若h?2T，则?h?2，T显然，当h?2T时，数值解将发散。系统的特征值???超出稳定性范围。（2分）

4、（本题15分）已知y??y2?t,y(0)?1，，取计算步距h=0.1，试分别用欧拉法、四阶龙格—库塔法求t=h时的y值，并说明造成差异的原因。

解：被求函数y的导函数y?f(t,y)??y2?t,y(0)?1，以下分别用两种方法求解 (1) 欧拉法 由欧拉法的递推公式

得：

.. （5分）

(2) 四阶龙格—库塔法 RK4的递推公式为：

其中

由已知条件，

，

，由

递推出

时的值

（5分）

（3）计算结果产生差异是由于两种方法的精度不一样，RK4方法精度更高。（5分）

5、（本题15分）已知微分方程及其初值：

取计算步距h=0.2，试用四阶龙格—库塔法计算y(0.4)的近似值，至少保留四位小数。 解： 此处f (t，y)＝8－3y，四阶龙格――库塔法公式为

其中 ?1＝f (tk，yk)；?2＝f (tk+0.5h，yk+0.5h?1)； ?3＝f (tk+0.5h，yk+0.5h?2)；?4＝f (tk+h，yk+h?3)

其中 ?1＝8－3yk；?2＝5.6－2.1yk； ?3＝6.32－2.37yk；?4＝4.208－1.578yk

＝1.2016＋0.5494yk (k＝0，1，2，…)

当x0＝0，y0＝2，

y(0.2)≈y1＝1.2016＋0.5494y0＝1.2016＋0.5494×2＝2.3004 y(0.4)≈y2＝1.2016＋0.5494y1＝1.2016＋0.5494×2.3004＝2.4654

6、（本题15分）已知微分方程及其初值：

取计算步距h=0.1，试用四阶龙格—库塔法计算y(0.1)的近似值，至少保留四位小数。 解 因 f (t，y)＝－y+1．用四阶标准龙格一库塔方法计算有：

于是得

这个值与准确解

在

处的值

已十分接近．

7、（本题15分）系统的系统状态方程和输出方程为：

???ax?uxy?(b?a)x?u

试分别用二阶龙格—库塔法（步长为h）和离散相似法（h?T）求x(t)和y(t)的差分方程，并说明步长h在什么范围算法是计算稳定的？

解：RK2法：

a2h2hhx(k?1)?(1?ah?)x(k)?(1?ah)u(k)?u(k?1)222a2h2y(k?1)?(b?a)(1?ah?)x(k)（6分）

2hh?(b?a)(1?ah)u(k)?[1?(b?a)]u(k?1)22系统的特征值为???a，因此，步长的取值范围是0?h?

离散相似法（h?T）：

2。（2分） ax(k?1)?e?ahx(k)?1(1?e?ah)u(k)a（5分）

1y(k?1)?(b?a)e?ahx(k)?(b?a)(1?e?ah)u(k)?u(k?1)a步长的取值范围是h?0，因为算法是无条件稳定的。（2分）

s11、（本题10分）已知连续系统的传递函数为： G(s)?2s?2s?1

试采用双线性变换法求出对应的脉冲传递函数和差分方程，计算步长取T，并对所得结果进行分析。 解：

2z?1

Y(z)Tz?1G(z)??

U(z)(2z?1)2?2(2z?1)?1

Tz?1Tz?1

2T(z?1)(z?1)2T1?z?2 ???22(T?2)1?2(T?2)z?1?(T?2)2z?2 T?2T?2[(T?2)z?(T?2)]

于是，差分方程为：

y(k)??2(T?2)y(k?1)?(T?2)2y(k?2)?2T?u(k)?u(k?2)?T?2T?2(T?2)2

（3分） 因为 T?2?1T?2

G(z)是稳定的。

G(s)的分子多项式为1阶，分母多项式为2阶，而G(z)的分子、分母多项式的阶次相同，均为2阶。 G(s)的稳态增益为0， G(z)的稳态增益也为0。（3分）

12、（本题10分）试分析采用双线性变换s?什么区域？ 解： s?2z?1将z平面的单位圆映射到s平面的

Tz?12z?1

Tz?1 则： 1?Ts/2z?

1?Ts/2

设： s???j?

T1?(??j?)

2z? T1?(??j?) 2

T?2T?2)?()222z?T?2T?2(1?)?()222z平面的单位圆即z?1

(1? 即(1?T?2T?2T?2T?2)?()?(1?)?() 2222 ??0

则双线性变换法将左半s平面映射到z平面的单位圆内。 13、（本题10分）设某连续系统的微分方程为

试用根匹配法确定其离散化模型，并求出对应的差分方程，计算步长取T。

解：首先写出系统的传递函数，并求出对应的脉冲传递函数:

?(t)?y(t)?r(t)T1y

11?T1s?1T(s?1) 1T1

G(s)? （2分）

1s?0s?0 （1分） s11 ?lims?1s?0Ts?1s1

z?1z?1zy(?)?limG(z)R(z)?limG(z) （1分） z?1z?1zzz?1 Kzz?1Kz?zz?lim?z?1zz?e?T/T1z?11?e?T/T1

y(?)?limsG(s)R(s)?limsG(s) 从而： Kz

1?e?T/T1?1 （2分） ?T/T1

(1?e?T/T1)z1?e?T/T1G(z)?? 于是，求得的等价离散化模型为： ?T/T1z?e1?e?T/T1?z?1

根据G(z)，可以进一步求出差分方程为： y(k)?e?T/T1y(k?1)?(1?e?T/T1)r(k)

14、（本题10分）二阶连续系统的传递函数为之近似等效的脉冲传递函数

，计算步长取T。

，用根匹配法求取与

Kz?1?e

解：解：

系统有两个一阶极点递函数：

，

，无有限零点；根据根匹配法，有系统离散传

（4分）

现根据终值相等，确定增益；对于连续模型，当系统输入为阶跃信号时，应用终值定理

（1分） 对于离散模型，同样阶跃输入时，应有相同的稳态输出，应用终值定理

（1分）

因此：

（1分）

最终由根匹配法得到的离散相似模型为：

（3分）

或

15、（本题10分）某纯延迟环节的输入为u，输出为y，传递函数为G(s)?取仿真步长T=0.2，求这个环节的离散化仿真模型。

解：将G(s)?Y(s)?e?0.45s，U(s)Y(s)?e?0.45s通过替换公式z?eTs变换为离散时间Z域模型，则由于步长U(s)T=0.2，延迟时间 ??0.45，

?T?0.45?2.25?C0?C1?2?0.25 （3分） 0.2 G(z)?z?2.25?z?(2?0.25) （1分） Y(z)?G(z)U(z)?z?(2?0.25)U(z) （1分） 式中，C0?2为整数部分，C1?0.25为小数部分。根据线性插值方法，这个环节的仿真模型为：

yk?(1?0.25)uk?2?0.25uk?3?0.75uk?2?0.25uk?3 （5分）

16、（本题10分）已知系统结构图如下图所示，试求系统的状态方程和输出方程。

解： 由

x1(s)1 ?u(s)?x2(s)s?3得：sx1(s)??3x1(s)?x2(s)?u(s)

?x1??3x1?x2?u

?（1）

x2(s)s?5 ?x1(s)2s?1 同理：2sx2(s)?sx1(s)?5x1(s)?x2(s) ?2x2?x1?5x1?x2 (2) 将式（1）代入式（2），得：

?2x2?(?3x1?x2?u)?5x1?x2?2x1?2x2?u 因此，x2?x1?x2?????1u (3) 2

综合式（1）和式（3）得状态方程：

???x1??3x1?x2?u ??1

?x2?x1?x2?u?2 输出方程：y?x2

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