2015年高二数学学业水平考试复习学案(812)方程与函数

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1 高二学考必修一第三章学案

第1课时 函数与方程

一．知识要点

1．方程的根与函数的零点

（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使得_________成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程 的________，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的______。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：

１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有___个交点，二次函数有______个零点；

２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴有____交点，二次函数有___零点。

零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。即存在),(b a c ∈，使得______，这个c 也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f _____的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间______，使区间的两个端点_______零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；

（2）求区间a (，)b 的中点1x ；

0)(=x f

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2 （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；

②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；

③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；

（4）判断是否达到精度ε：

即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。

二．课前练习：

1．已知函数2

()2=-+f x x x b 在区间（2，4）内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ）

A ．R

B ．(,0)-∞

C ．(8,)-+∞

D ．(8,0)- 2、函数()()()21+-=x x x f 的零点个数是（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3 3.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：

x

1 2 3 4 5 f(x) -4 -2 1 4 7

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为 （ ）

A.（1，2）

B.（2，3）

C.(3,4)

D. (4,5)

4．函数32y 2

--=x x 的零点为（ ）

A 1-

B 3

C -1或3

D 2或1

5．用二分法研究函数1-3x )(3+=x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(,0)0(>

6.函数13)(+=ax x f 在区间[-1,1]内存在一个零点，则a 的取值范围为__________. b ax +=有一个零点2，则函数ax bx x g -)(2=的图像可能是（ ） A B

C 8．已知函数()22x x f x λ-=+?（R λ∈）。（1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点；（2）

若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值；（3）若不等式()142

f x ≤≤在[]0,1x ∈上恒成立，

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3 求实数λ的取值范围。

三、典型例题分析：

例题1.方程013

=--x x 仅有一正实根0x ，则0x ∈（ ） A （0,1） B （1,2） C （2,3） D （3,4）

例2．为求方程 x x 32)62ln(=++的根的近似值，令x x x f 32)62ln()(-++=，并用计算器得到下表：

则由表中的数据，可得方程x x 32)62ln(=++的一个近

似解（精确到0.1）为（ ）

A 1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5

例3．已知方程0322

=+-a ax x 在区间[-3,0]和[0,4]内各有一解存在，试确定a 的取值范围? 四、巩固练习：

1、下列说法不正确的是（ ）

A 从“数”的角度看：函数零点即是使 成立的实数x 的值；

B 从“形”的角度看：函数零点即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；

C 方程02=++c bx ax ）（0≠a 无实根，二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴无交点，二

次函数)0(2≠++=a c bx ax y 无零点;

D 相邻两个零点之间的函数值保持异号

2、方程lg x +x =3的解所在区间为（ ）

A ．（0，1）

B ．（1，2）

C ．（2，3）

D ．（3，+∞）

3、若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

B ．若0)()(

C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

D ．若0)()(

4、方程012x

=-+x 的实数解有_______个。

5、如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.0794 0.2000 -0.3661 -1.0000

0)(=x f

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4 A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．]6,2-（ D ．()

(),26,-∞-+∞ 6、已知函数1-)(2x x f =，则函数)2-(x f 的零点是____________。

7、用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么

下一个有根

的区间是 。

第2课：几种不同增长的函数模型

一、要点知识

1、数学建模就是把实际问题加以________,建立相应的__________的过程，是用数学知识解决实际问题

的关键。实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察________。

2、在区间）

，（∞+0上，函数)1(log >=a x y a ，)1(>=a a y x 和)0(>=n x y n

都是___函数，但它们

增长的速度不同，随着x 的增大，)1(>=a a y x 的增长速度会_______，会超过并远远____ )0(>=n x y n 的增长速度，而)1(log >=a x y a 的增长速度则会______，图象就像渐渐与____平

行一样。因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就会有x n a a x x ______log 。

二．课前练习：

1. 函数x y 2log =与2x y =在),1(+∞上增速较慢的是___________,函数x y 2=与2

x

y =在),4(+∞上增速

较快的是___________。

2. 某同学去上学，当心迟到，就匀速跑步去学校，则速度v 与时间t 的函数关系为（ ）

A 一次函数

B 二次函数

C 常数函数

D 指数函数

3．某动物繁殖数量y(只)与时间x （年）的关系为,21000x y ?=则第四年动物有____只，呈_____增长。

4如图，纵轴表示行走距离d ，横轴表示行走时间t ，下列四图中，哪一种表示先快后慢的行走方法。（ ）

d d d d

0 t 0 t 0 t 0 t

A B C D 三、典例分析：

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5

例题1：某人从某基金会获得一笔短期（三个月内）的扶贫资金，拟打算投资。现有三种投资方案：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 天数

回报 方案

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

一 40 80 120 160 200 @ @ 320 360 400 440 二 10 30 60 @ @ 210 280 360 450 @ @ 三

0.4

1.2

2.8

6

@

25.2

50.8

102

204.4

@

818.8

请根据题意将上表中标有@处的数据补充完整

请问：若投资5天，则选哪种方案？若投资7天，则选哪种方案？若投资11天，则选哪种方案？

例题2：某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查得到西红柿种植成本Q （单位：元/100kg ）与上市

时间t （单位：天）的数据如下表： （1） 根据表中数据，从下列函数中选取一个

函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化

关系：,b at Q +=,2c bt at Q ++=t

ab Q =，t a Q b log =（0,0≠≠b a ）

（2） 利用所选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数和最低种植成本。

四、巩固练习

1、已知下表中的数据，则下面函数中，能表达y 与x 之间关系的是（ ） A 12

-=x y B 12-=x y C 12

-=X y D 2.52.512

+-=x x y

2、某工厂10年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后，这种产品停止生产 ④第五年后，这种产品的产量保持不变（ ）

A ．②③

B ．②④

C ．①③

D ．①④

第3课：函数模型应用实例

一、课前练习：

1.一工厂生产某种产品的月产量y （单位：万件）与月份x 构成的实数对),(y x 在直线

1+=x y 附近，则估计

3月份生产该产品_____万件。

时间t 50 100 250 种植成本Q 150 100 150 x 1 2 3 … y 1 3 8 …

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6 o x y o x y o x y

o x y 1 1 2、甲、乙两人在一次赛跑中，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )

A ．甲比乙先出发

B ．乙比甲跑的路程长

C ．甲、乙两人的速度相同

D ．甲先到达终点 3、某航空公司规定，每位乘客乘机所携带行李的重量x(kg)与运

费y(元)由右图的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行 李的最大重量为_______kg

二、典例分析：

例题1：国外某地发生8.0级特大地震，在随后的几天里，地震专家对该地区发生的余震进

行监测，记录部分数据如下表(地震强度是指地震释放的能量)

强度（J ）

震级（里氏） 5.0

5.2 5.3 5.4 5.45 （1）在下列坐标平面内画出震级（y ）随地震强度(x)变化的散点图；

y/震级

强度（单位1910

：J ） （2）根据散点图，从函数b kx +=y 、b x a +=lg y 、b a x +?=10y 中选取一个函数描

述震级y 随地震强度x 变化关系；

（3）该地发生8.0级特大地震，释放能量是多少？（参考数据：3.02lg =，2.06.1lg =）

三：课后练习：

1、细跑分裂试验中，细胞的个数y 与时间t （分钟）的数据如下表：

则，最接近实验数据的表达式是（ ）

A t 2log y =

B t 2y =

C 2y t =

D t 2y = 2、某城市地区的绿化面积平均每年 上一年增长10.4%，经过x 年，绿化面积与原有的绿化

A B C D 3、某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，

设二月份产量为b ，则( )

A ．a ＝b

B ．a >b

C ．a

D ．a 、b 的大小无法确定

4、“红豆生南国，春来发几枝．”红豆又名相思豆，右图给出了红豆

生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图：那么红豆生长时间与枝

数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？ （ ）

t 1 1.9 3.1 4 4.9 y 2 4 8 16 32

Y 93 63 33 0 30 40 50

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 7 A t 2y =指数函数：；B b kt +=y 一次函数：；

C t 2log y =对数函数：；

D 3t y =幂函数：

5、某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为52.5元；C 种面值为100元，但买入价为95元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )

A ．

B ，A ，

C B ．A ，C ，B

C ．A ，B ，C

D ．C ，A ，B

第4课题组训练课

题组训练A 组

一、选择题

1．若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y x

x

上述函数是幂函数的个数是（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）

A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点

B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点

C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点

D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点

3．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 2

1log 的关系是（ ）

A ．12log log a b a <

B ．12

log log a b a =

C ．12log log a b a >

D ．12

log log a b a ≤

4． 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ）

A ．有且仅有一个根

B ．至多有一个根

C ．至少有一个根

D ．以上结论都不对

6．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）

A ．()6,2-

B ．[]6,2-

C ．{}6,2-

D ．()(),26,-∞-+∞

7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（

） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩

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8 二、填空题

1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。

2．幂函数()f x 的图象过点

427)（，则()f x 的解析式是_____________。 3．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，

那么下一个有根的区间是 。

4．函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。

5．设函数)(x f y =的图象在[],a b 上连续，若满足 ，方程0)(=x f 在[],a b 上有实根．

三、解答题

1．用定义证明：函数1()f x x x

=+在[)1,x ∈+∞上是增函数。 2．设1x 与2x 分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且

1212,0,0x x x x ≠≠≠ ，求证：方程

202a x bx c ++=有仅有一根介于1x 和2x 之间。 3．函数2()21f x x ax a =-++-在区间[]0,1上有最大值2，求实数a 的值。

4．某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元， 销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？

.

第5课题组训练课

[综合题组 训练B 组]

一、选择题

1。若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，

则下列说法正确的是（ ）

A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

B ．若0)()(

C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

D ．若0)()(

2．方程0lg =-x x 根的个数为（ ）

A ．无穷多

B ．3

C ．1

D ．0

3．若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ）

A ．23

B ．32

C ．3

D ．3

1

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9 4．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）

A ．4

1 B ．1- C ．4 D ．4- 5．设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在

内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<>

则方程的根落在区间（ ）

A ．(1,1.25)

B ．(1.25,1.5)

C ．(1.5,2)

D ．不能确定

6．直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

7．若方程0x

a x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（ ）

A ．(1,)+∞

B ．(0,1)

C ．(0,2)

D ．(0,)+∞ 二、填空题

1．1992年底世界人口达到54.8亿,若人口的年平均增长率为%x ,2005年底世界人口

为y 亿,那么y 与x 的函数关系式为 ．

2．942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 ．

3．函数1

2(0.58)x y -=-的定义域是 ．

4．已知函数2()1f x x =-，则函数(1)f x -的零点是__________．

5．函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______.

三、解答题

1．利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个实数根：

①01272=++x x ；②0)2lg(2

=--x x ； ③0133=--x x ； ④0ln 31=--x x 。

2．借助计算器，用二分法求出x x 32)62ln(=++在区间(1,2)内的近似解（精确到0.1）.

3．证明函数()2f x x =+在[2,)-+∞上是增函数。

4．某电器公司生产A 种型号的家庭电脑，1996年平均每台电脑的成本5000元，

并以纯利润2%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成

本逐年降低.2000年平均每台电脑出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利

润50%的高效率.

①2000年的每台电脑成本；

②以1996年的生产成本为基数，用“二分法”求1996年至2000年生产成本平均每年降

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10 低的百分率（精确到0.01）