河南省郑州四中2013届高三第四次调考数学（文）试题

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1、计算：2i?(1?i)等于( )

A．1?i B．1?i

C．?1?i

D．?1?i

2、已知函数y?f?x?，x??a,b?的图象与直线x?2的交点的个

数为（ ）

A． 1 B． 0 C． 1或0 D． 1或2

3、已知等差数列{an}中，a7?a9?16,a4?1， 则a12的值是 （ ）

A．15

B．30

C．31 D．64

4、执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （ ）

A．3

B．?6

C．10

D．?15

2020正视图

10 10 cm

3第4题图 5、如图，已知某个几何体的三视图如右，根据图中 标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 ( )

A．

40003cm

3320 侧视图

D．

B．4000cm

800033C．2000cm

?(3?a)x?a6、已知f(x)???logax(x?1)(x?1)第5题图

是(??,??)上的增函数，那么a的取值范围是 ( ) 3C．(1,3) D．[,3)

220俯视图

A．(1,??) B．(0,3)

?7、在?ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若?C?120,c?2a，则（ ）

A．a?b B．a?b C．a?b D．a与b的大小关系不能确定

?x?0,?8、若A为不等式组?y?0,表示的平面区域，则当a从?2连续变化到1时，动直线x?y?a?y?x?2?扫过A中的那部分区域的面积为 ( )

A．1 B．

32 C．

34 D．

7 4

9、在长为12cm的线段AB上任取一点C， 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（ ）

A．

16 B．

13 C．

23 D．

45

?????????????10、若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC A．

?6 B．

2?3 C．

?6或??6

的内角C为( )

?2?D．或

3311、从抛物线y2?4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|?5．设抛物线的焦点为F，则?MPF的面积为（ ） A．6

B．8

C．10

D．15

17Sn?S2nan?1,n?N，

*12、设{an}是等比数列，公比q?2，Sn为{an}的前n项和．记Tn?设Tn为数列{Tn}的最大项，则n0=（ ）

0A．3 B．4 C．5 D．6

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13、下面四个命题：

①函数y?loga(x?1)?1(a?0且a?1)的图象必经过定点（0,1）； ②已知命题p：?x?R,sinx?1，则?p：?x0?R,sinx0?1； ③过点(?1,2)且与直线2x?3y?4?0垂直的直线方程为3x?2y?1?0； ④圆(x?2)2?y2?4与圆(x?2)2?(y?1)2?9相切． 其中所有正确命题的序号是：_____________．

14、如图，已知两个同心圆的半径分别为1、2，PQ是大圆的割线， ?????????它与小圆距P最近的公共点是M，则OM?OQ的取值范围是_______． QMPOn15、 数列{an}满足an?1?(?1)an?2n?1,则{an}的前4项和为 ． 第14题图 16、定义行列式运算：5?6a1a3a2a4?a1a4?a2a3，将函数f(x)?31sin?xcos?x(??0)向左平

移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则?的最小值是_______．

三、解答题：本大题共6个小题，17-21题每题12分，选做题10分。解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）

观察以下各等式：

sin30?cos60?sin30cos60?sin20?cos50?sin20cos50?sin15?cos45?sin15cos45?2?2???2?2???2?2???343434.,,

分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

18、（本小题满分12分）

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2.5浓度（微克/立方米） (0,25] (25,50] (50,75] (75,100) 频数（天） 5 10 3 2 频率 0.25 0.5 0.15 0.1 (Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由． 19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边

形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD的中点，E 点在AB上，平面PEC⊥平面PDC． （Ⅰ）求证：AG∥平面PEC； （Ⅱ）求三棱锥G－PEC的体积． 20．（本小题满分12分）

设椭圆M:ya22?xb22?1(a?b?0)的离心率与双曲线x?y22?1的离心率互为倒数，且内切于圆x2?y2?4。（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y?点，椭圆上一点P(1,2)，求?PAB面积的最大值。 21、（本小题满分12分） 设函数f(x)?x32x?m交椭圆于A、B两?3ax2?3bx (a,b?R)． 2 (Ⅰ)若a?1,b?0，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若0?a?b，不等式f(最大值． 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，P是圆O外一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF?12，

PD?43，求线段DE的长度．

1?lnxx?1)?f(kx)对任意x?(1,??)恒成立，求整数k的PEODF

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．

?x?acos?(a?b?0,?为参数)，以O为在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为?y?bsin??极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M(2,3)对应的参数?=(Ⅰ)求曲线C1,C2的方程；

?3，射线?=?4与曲线C2交于点D(2，)．

4?（Ⅱ）A(?1,?),B(?2,???2)是曲线C1上的两点，求

1?21?1?22的值．

24、（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲

设函数f(x)?|x?1|?|x?a|． (Ⅰ)若a??1,解不等式f(x)?3；

（Ⅱ）如果?x?R,f(x)?2,求a的取值范围．

13届高三文科数学参考答案

（Ⅱ）将去年该居民区20天的数据作为样本估计总体，则去年PM2.5年平均浓度为：

12.5?0.25?37.5?0.5?62.5?0.15?87.5?0.1?40（微克/立方米）． 10分

因为40>35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ………………………………12分

（Ⅱ）f(x)?3x?6ax?3b，

22由于0?a?b，所以??36a?36b?36(a?b)(a?b)?0，所以f(x)在R上递增．

22所以f(1?lnxk1?lnxk(1?lnx)x)?f()????k，不等式对x?(1,??)恒成立． x?1xx?1xx?1(1?lnx)xx?1构造h(x)?，则h?(x)?(2?lnx)(x?1)?(x?xlnx)(x?1)2?x?lnx?2(x?1)2． ?222设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：??2Rcos?(或(x?r)?y?r)，将点D(2，）代

4入得：2?2r?22,?r?1

∴圆C2的方程为：??2cos?(或(x?1)2?y2?1) …………………5分

(2)曲线C1的极坐标方程为：

?cos?1622??sin?422?1

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