高考后3题专项训练-数列专题

这是针对2010年广东高考文科数学解答题后3题的数列专题练习。

数列专题

1.（2009浙江文）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn kn2 n，n N，其中k是常数． （I） 求a1及an；

（II）若对于任意的m N，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．

2.（2009北京文）设数列{an}的通项公式为an pn q(n N ,P 0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an m成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若p

*

*

11

,q ，求b3； 23

（Ⅱ）若p 2,q 1，求数列{bm}的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm 3m 2(m N )？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

3.(2009山东卷文)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n N ，点(n,S)n，均在函数y bx r(b 0且b 1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn

n 1

(n N ) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an

4.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{an}中，a3a7 16,a4 a6 0求{an}前n项和

sn.

5.（2009安徽卷文）已知数列

{

（Ⅰ）求数列{（Ⅱ）设

}与{

}的通项公式；

＜

n 1

} 的前n项和，数列

{}的前n

项和

，证明：当且仅当n≥3时，

6. （2009天津卷文）已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn a1 a2q anq

Tn a1 a2q ( 1)n 1anqn 1,q 0,n N*

（Ⅰ）若q 1,a1 1,S3 15 ,求数列{an}的通项公式；

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（Ⅱ）若a1 d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值。 （Ⅲ）若q 1,证明（1 q）S2n

2dq(1 q2n)*

(1 q)T2n ,n N2

1 q

7. （2009辽宁卷文）等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q；

（2）求a1－a3＝3，求sn

1’a2 2,an＋2＝8. （2009陕西卷文）已知数列 an}满足， a1＝

an an 1

,n N*. 2

令bn an 1 an，证明：{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求 an}的通项公式。

9.（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列， 且满足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝{bn}的前n项和Sn

10. （2009福建卷文）等比数列{an}中，已知a1 2,a4 16 （I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。

11.（2009重庆卷文）（本小题满分12分） 已知a1 1,a2 4,an 2 4an 1 an,bn （Ⅰ）求b1,b2,b3的值；

（Ⅱ）设cn bnbn 1,Sn为数列 cn 的前n项和，求证：Sn 17n； （Ⅲ）求证：b2n bn

b1b2b3b

2 3 ...n(n为正整数)，求数列2222n

an 1

,n N ． an

11

n 2． 6417

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参考答案

1.（2009浙江文）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn kn2 n，n N，其中k是常数． （I） 求a1及an；

（II）若对于任意的m N，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值． 解（Ⅰ）当n 1,a1 S1 k 1，

*

*

n 2,an Sn Sn 1 kn2 n [k(n 1)2 (n 1)] 2kn k 1（ ）

经验，n 1,（ ）式成立， an 2kn k 1 （Ⅱ） am,a2m,a4m成等比数列， a2m am.a4m，

即(4km k 1)2 (2km k 1)(8km k 1)，整理得：mk(k 1) 0， 对任意的m N 成立， k 0或k 1

2.（2009北京文）设数列{an}的通项公式为an pn q(n N ,P 0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an m成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若p

2

11

,q ，求b3； 23

（Ⅱ）若p 2,q 1，求数列{bm}的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm 3m 2(m N )？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解（Ⅰ）由题意，得an ∴

111120

n ，解n 3，得n . 23233

11

n 3成立的所有n中的最小整数为7，即b3 7. 23

（Ⅱ）由题意，得an 2n 1， 对于正整数，由an m，得n 根据bm的定义可知

**

当m 2k 1时，bm kk N；当m 2k时，bm k 1k N.

m 1

. 2

∴b1 b2 b2m b1 b3 b2m 1 b2 b4 b2m

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1 2 3 m 2 3 4 m 1

m m 1 m m 3 m2 2m.

22

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn q m及p 0得n

m q

. p

∵bm 3m 2(m N ),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有

3m 1

m q

3m 2，即 2p q 3p 1 m p q对任意的正整数m都成立. p

p q2p q

（或m ）， 3p 13p 1

当3p 1 0（或3p 1 0）时，得m 这与上述结论矛盾！ 当3p 1 0，即p

12121

时，得 q 0 q，解得 q . 33333

∴ 存在p和q，使得bm 3m 2(m N )；

p和q的取值范围分别是p

121

， q .. 333

3.(2009山东卷文)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n N ，点(n,S)n，均在函数y b r(b 0且b 1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn

x

n 1

(n N ) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an

x

解:因为对任意的n N,点(n,Sn)，均在函数y b r(b 0且b 1,b,r均为常数)的图像上.所以得Sn bn r,

当n 1时,a1 S1 b r, 当n 2时,an Sn Sn 1 b r (b

n

n 1

r) bn bn 1 (b 1)bn 1,

n 1又因为{an}为等比数列, 所以r 1, 公比为b, 所以an (b 1)b

（2）当b=2时，an (b 1)b

n 1

2n 1, bn

n 1n 1n 1

4an4 2n 12n 1

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234n 1 2223242n 1

1234nn 1Tn 345n 1n 2222222

121111n 1

相减,得Tn 2 3 4 5 n 1 n 2

222222211 (1 )n 11n 113n 13 n 2 n 1 n 2

422221 2

31n 13n 3

所以Tn n n 1 n 1

22222

则Tn

4.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{an}中，a3a7 16,a4 a6 0求{an}前n项和

sn.

解：设 an 的公差为d，则

a1 2d a1 6d 16

a 3d a 5d 0 11

a12 8da1 12d2 16即 a1 4d a1 8, a1 8解得 或

d 2,d 2

因此Sn 8n n n 1 n n 9 ，或Sn 8n n n 1 n n 9 5.（2009安徽卷文）已知数列

{

（Ⅰ）求数列{（Ⅱ）设

}与{

}的通项公式；

＜

} 的前n项和

，数列

{

}的前n

项和

，证明：当且仅当n≥3时，

【解析】(1)由于a1 s1 4

当n 2时, an sn sn 1 (2n 2n) [2(n 1) 2(n 1)] 4n am 4n(n N) 又当x n时bn Tn Tn 1 (2 6m) (2 bm 1) 2bn bn 1

2

2

*

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11

数列 bn 项与等比数列,其首项为1,公比为 bn ()n 1

22

1(n 1) 12

16(n 1) ()1n 1Cn 1(n 1)222(2)由(1)知C1 a1 bn 16n () 2

12Cn2n16n2 ()n 12

Cn 1(n 1)2由 1得

1即n2 2n 1 0 n 1 n 3

Cn2n

又n 3时

(n 1)2Cn 1

1成立,即 1由于Cn 0恒成立. 2n2Cn

因此,当且仅当n 3时, Cn 1 Cn

6. （2009天津卷文）已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn a1 a2q anqn 1

Tn a1 a2q ( 1)n 1anqn 1,q 0,n N*

（Ⅰ）若q 1,a1 1,S3 15 ,求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若a1 d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值。 （Ⅲ）若q 1,证明（1 q）S2n

2dq(1 q2n)*

(1 q)T2n ,n N2

1 q

（1）解：由题设，S3 a1 (a1 d)q (a1 2d)q2,将q 1,a1 1,S3 15 代入解得d 4，所以an 4n 3n N*

（2）解：当a1 d,S1 d,S2 d 2dq,S3 d 2dq 3dq2, S1,S2,S3成等比数列，

2

所以S2 S1S3，即（d 2dq） d（d 2dq 3dq2)，注意到d 0，整理得q 2

2

（3）证明：由题设，可得bn qn 1，则

S2n a1 a2q a3q2 a2nq2n 1 ① T2n a1 a2q a3q2 a2nq2n 1 ②

①-②得，

S2n T2n 2(a2q a4q3 a2nq2n 1)

①+②得，

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S2n T2n 2(a1q a3q2 a2n 1q2n 2) ③

③式两边同乘以 q，得q(S2n T2n) 2(a1q a3q2 a2n 1q2n 2) 所以(1 q)S2n (1 q)T2n 2d(q q q

3

2n 1

2dq(1 q2n)

) 2

1 q

（3）证明：c1 c2 (ak1 al1)b1 (ak2 al2)b2 (akn aln)bn

1

n 1

=(k1 l1)db (k l)dbq (k l)dbq1221nn1

因为d 0,b1 0，所以

c1 c2

(k1 l1) (k2 l2)q (kn ln)qn 1 db1

若kn ln，取i=n，

若kn ln，取i满足ki li，且kj lj，i 1 j n 由（1）（2）及题设知，1 i n，且

c1 c2

(k1 l1) (k2 l2)q (kn ln)qn 1 db1

①

当ki li时，ki li 1，由q n，ki li q 1,i 1,2 ,i 1

即k1 l1 q 1，(k2 l2)q q(q 1), (ki 1 li 1)qi 2 q(q 1)i 2

c1 c21 qi 1i 2i 1

所以 (q 1) (q 1)q (q 1)q q (q 1) qi 1 1

db11 q

因此c1 c2 0 ②

当ki li时，同理可得

c1 c2

1,因此c1 c2 0 db1

综上，c1 c2

7. （2009辽宁卷文）等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q；

（2）求a1－a3＝3，求sn

这是针对2010年广东高考文科数学解答题后3题的数列专题练习。

解：（Ⅰ）依题意有

a1 (a1 a1q) 2(a1 a1q a1q2)

由于 a1 0，故 2q2 q 0

又q 0，从而q － 5分

1

2

（ （Ⅱ）由已知可得a1 a1 ） 3

故a1 4

1

2

2

1n

（41 （ ））

81n2 从而Sn 10分 1 （ ））

321 （ ）

2

a an 1

1’a2 2,an＋2＝n,n N*. 8. （2009陕西卷文）已知数列 an}满足， a1＝

2

令bn an 1 an，证明：{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求 an}的通项公式。 （1）证b1 a2 a1 1, 当n 2时，bn an 1 an 所以 bn 是以1为首项，

an 1 an11

an (an an 1) bn 1, 222

1

为公比的等比数列。 2

1n 1

（2）解由（1）知bn an 1 an ( ),

2

当n 2时，an a1 (a2 a1) (a3 a2) (an an 1) 1 1 ( ) ( )

1212

n 2

11 ( )n 1

21521 1 [1 ( )n 2] ( )n 1, 1

1323321 ( )

2

5211 1

当n 1时， ( ) 1 a1。

332521n 1*

所以an ( )(n N)。

332

9.（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列， 且满足a3a6＝55, a2+a7＝16.

这是针对2010年广东高考文科数学解答题后3题的数列专题练习。

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝{bn}的前n项和Sn

解（1）解：设等差数列 an 的公差为d，则依题设d>0 由a2+a7＝16.得2a1 7d 16 ① 由a3 a6 55,得(a1 2d)(a1 5d) 55 ②

由①得2a1 16 7d将其代入②得(16 3d)(16 3d) 220。即256 9d 220

2

b1b2b3b 2 3 ...n(n为正整数)，求数列2222n

d2 4,又d 0, d 2,代入①得a1 1 an 1 (n 1) 2 2n 1

（2）令cn

bn

,则有an c1 c2 cn,an 1 c1 c2 cn 1 n2

an 1 an cn 1,由(1)得a1 1,an 1 an 2

n 1

两式相减 cn 1 2,cn 2(n 2),即当n 2时，bn 2又当n=1时，b1 2a1 2

2,(n 1) bn n 1

2(n 2)

于是Sn b1 b2 b3 bn 2 23 24 2n 1 =2 2 2 2 2

2

3

4

n 1

2(2n 1 1)

4 2n 2 6,即Sn 2n 2 6-4=

2 1

10. （2009福建卷文）等比数列{an}中，已知a1 2,a4 16 （I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。

解：（I）设{an}的公比为q 由已知得16 2q，解得q 2

（Ⅱ）由（I）得a2 8，a5 32，则b3 8，b5 32

3

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b 2d 8 b 16

设{bn}的公差为d，则有

1解得 b 1

1 4d 32

d 12 从而bn 16 12(n 1) 12n 28 所以数列{bn}的前n项和Sn( 16 12n 28)

n

2

6n2 22n

11．（2009重庆卷文）（本小题满分12分） 已知aan 1

1 1,a2 4,an 2 4an 1 an,bn a,n N ． n

（Ⅰ）求b1,b2,b3的值；

（Ⅱ）设cn bnbn 1,Sn为数列 cn 的前n项和，求证：Sn 17n； （Ⅲ）求证：b12n bn

641

17

n 2． 解：（Ⅰ） a72，所以b172 4,a3 17,a4 1 4.b2 4,b723 17

（Ⅱ）由an 2n 2 4an 1 an得

aa 4 an即b1

n 1 4 b n 1an 1n

所以当n≥2时，bn 4于是c1 b1,b2 17,cn bnbn 1 4bn 1 17(n≥2)所以Sn c1 c2 cn 17n （Ⅲ）当n 1时，结论b12 b1 4 17

64

成立 当n≥2时，有b1n 1 bn |4

b 4 1| |bn bn 1|≤1

17

|bn bn 1| nbn 1bnbn 1≤

1172|bn 1 bn 2|≤ ≤111

17n 1|b2 b1| 6417n 2

(n≥2)

所以 b2n bn≤bn 1 bn bn 2 bn 1 b2n b2n 1

11 1()n 1(1 1

n 11n12n 2 1n)

4 (17) (17) (17) 4 11(n 1

16417n 2N*)17

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vin4.html