2019年高三人教A版数学一轮复习练习：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节(1)

爱爱爱大大的第四章 第3节

[基础训练组]

1．(导学号14577400)(新课标高考全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10， |a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 C．3

B．2 D．5

解析：A [由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得a·b＝1.]

2．(导学号14577401)(2018·安徽合肥市三校联考)a＝(1,2)，b＝(x,1)，m＝a＋2b，n＝2a－b且m⊥n，则x＝( )

A．2 17C.或－ 22

解析：D [∵a＝(1,2)，b＝(x,1)，

∴m＝a＋2b＝(1＋2x,4)，n＝2a－b＝(2－x,3)， 又∵m⊥n，∴m·n＝(1＋2x)·(2－x)＋3×4＝0， 7

解得x＝－2或x＝，故选D.]

2

→→→→

3．(导学号14577402)已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(BC－CA)·(BD－AD)＝0，则△ABC是( )

A．等腰三角形 C．等边三角形

B．直角三角形 D．等腰直角三角形 7

B. 27

D．－2或

2

→→→→→→→→→→→

解析：A [(BC－CA)·(BD－AD)＝(BC－CA)·BA＝0，所以BC·BA＝CA·BA，设BC＝a，AC＝b，所以acos B＝bcos A，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．]

4．(导学号14577403)(2018·白山市三模)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝4，点P→→→→→在AM上，且满足AP＝3PM，则PA·(PB＋PC)的值为( )

A．－4 C．－6

B．6 D．4

解析：C [如图所示，∵AM＝4，又由点P在AM上且满足

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→→AP＝3PM， →→

∴|AP|＝3，|PM|＝1.

→→→2→

∵M是BC的中点，∴PB＋PC＝2PM＝AP

32→2→→→

∴PA·(PB＋PC)＝－AP2＝－×9＝－6，故选C.]

33

5．(导学号14577404)(2018·温州市一模)已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB→→

上，则PD·PC的最大值为( )

A.6

2

3B. 2D.2

C．2

解析：C [以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，

∵正方形ABCD的面积为2，

∴B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)． →

设P(x,0)(0≤x≤2)，则PC＝(2－x，2)， →

PD＝(－x，2)．

32→→→→

∴PC·PD＝－x(2－x)＋2＝x2－2x＋2＝?x－?2＋，∴当x＝2，0时，PC·PD取

2?2?得最大值2.故选C.]

6．(导学号14577405)(2018·兰州市一模)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则→→

BD·CD＝ ____ .

解析：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°，∠BDC＝30°，

和任何人呵呵呵 爱爱爱大大的BD＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a. 3→→∴BD·CD＝3a·a·cos 30°＝a2.

23答案：a2

2

7．(导学号14577406)(2018·天门市5月模拟)△ABC为等腰直角三角形，OA＝1，OC→→为斜边AB上的高，P为线段OC的中点，则AP·OP＝ ________ .

解析：如图，分别以边CB，CA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系；

根据条件知CA＝CB＝2， ∴A(0，2)，B(2，0)，O?

22?22

，P?，?， ，4??22??4

232?→?22→

∴AP＝?，－，OP＝－，－?，

4?4??4?4131→→

∴AP·OP＝－＋＝. 8841答案： 4

8．(导学号14577407)质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 ________ .

解析：由已知条件F1＋F2＋F3＝0，

22

则F3＝－F1－F2，F2＝28.因此，|F3|＝27. 3＝F1＋F2＋2|F1||F2|cos 60°

答案：27

9．(导学号14577408)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)． (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值； (3)求向量a在b方向上的投影． 解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)， ∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b·c＝2×6－2×6＝0， ∴(b·c)a＝0·a＝0.

(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a＋λb与a垂直，

和任何人呵呵呵 爱爱爱大大的5

∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.

25

∴λ的值为.

2

(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cos θ. a·b1×2＋2×?－2?

∴|a|cos θ＝＝

|b|22＋?－2?222

＝－＝－. 222

10．(导学号14577409)(2018·揭阳市二模)已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，15→→

∠BAC＝120°，且AB·AC＝－. 2

(1)求△ABC的面积； (2)若AB＝5，求AD的长．

15115→→

解：(1)∵AB·AC＝－，∴AB·AC·cos∠BAC＝－AB·AC＝－，即AB·AC＝15，

222113153∴S△ABC＝AB·ACsin ∠BAC＝×15×＝.

2224(2)法一：由AB＝5得AC＝3， 延长AD到E，使AD＝DE，连结BE.

∵BD＝DC,

∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°， 且BE＝AC＝3.

设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得： (2x)2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos ∠ABE＝25－9－15＝19， 解得x＝

1919，即AD的长为. 22

法二：由AB＝5得AC＝3，

在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝25＋9＋15＝49， 得BC＝7.

BCAB

由正弦定理得＝，

sin∠BACsin ∠ACD

和任何人呵呵呵 爱爱爱大大的ABsin∠BAC

得sin ∠ACD＝＝BC∵0°<∠ACD<90°

5×3

253＝. 714

11

∴cos∠ACD＝1－sin2∠ACD＝.

14

4971119

在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝9＋－2×3××＝，

42144解得AD＝

19. 2

[能力提升组]

11．(导学号14577410)(2018·泉州市一模)已知向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝3，a·(a－b)＝0，则|b－2a|＝( )

A．2 C．4

B．23 D．43

解析：A [由|a|＝1，|a－b|＝3，可得a2－2a·b＋b2＝3， a·(a－b)＝0，可得a2－a·b＝0，解得a·b＝1，b2＝4. 所以|b－2a|＝b2－4a·b＋4a2＝4－4＋4＝2.故选A.]

→→12．(导学号14577411)(2018·桂林市、北海市、崇左市一模)已知向量AB与AC的夹角为→→→→→→→120°，且|AB|＝2，|AC|＝3，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为( )

3

A. 7C．6

→→→→→

解析：D [∵AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC， →→→→→→∴AP·BC＝(λAB＋BC)·(AC－AB) →→→→→→＝λAB·AC－λ|AB|2＋|AC|2－AC·AB →→→→＝(λ－1)AB·AC－λ|AB|2＋|AC|2

→→→→→→＝(λ－1)·|AB|·|AC|·cos〈AB， AC〉－λ|AB|2＋|AC|2＝0. →→→→∵向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝2，|AC|＝3， 12∴2×3(λ－1)·cos 120°－4λ＋9＝0，解得λ＝.故选D.]

7

13．(导学号14577412)(2018·吴忠市模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(a＋b)⊥a，则向量a与向量b的夹角为 ________ .

解析：设向量a，b的夹角为θ，∵|a|＝1，|b|＝2，

和任何人呵呵呵 B．13 12

D. 7

爱爱爱大大的∴(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝0， ∴a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1， －11∴cos θ＝＝－. 21×2∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 答案：120°

14．(导学号14577413)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)， b＝(cos x,1)(x∈R)．

(1)求f(x)的周期和单调递减区间；

→→

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，AB·AC＝3，求边长b和c的值(b＞c)．

π

2x＋?， 解：(1)由题意知：f(x)＝2cos2x－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x＝1＋2cos?3??∴f(x)的最小正周期T＝π，

∵y＝cos x在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减， πππ

∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋，

363ππ

kπ－，kπ＋?，k∈Z. ∴f(x)的单调递减区间为?63??π

2A＋?＝－1， (2)∵f(A)＝1＋2cos?3??π

2A＋?＝－1， ∴cos?3??

ππ7πππ又＜2A＋＜，∴2A＋＝π，∴A＝. 33333→→∵AB·AC＝3，即bc＝6，由余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18， b＋c＝5，又b＞c，∴b＝3，c＝2.

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爱爱爱大大的∴(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝0， ∴a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1， －11∴cos θ＝＝－. 21×2∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 答案：120°

14．(导学号14577413)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)， b＝(cos x,1)(x∈R)．

(1)求f(x)的周期和单调递减区间；

→→

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，AB·AC＝3，求边长b和c的值(b＞c)．

π

2x＋?， 解：(1)由题意知：f(x)＝2cos2x－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x＝1＋2cos?3??∴f(x)的最小正周期T＝π，

∵y＝cos x在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减， πππ

∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋，

363ππ

kπ－，kπ＋?，k∈Z. ∴f(x)的单调递减区间为?63??π

2A＋?＝－1， (2)∵f(A)＝1＋2cos?3??π

2A＋?＝－1， ∴cos?3??

ππ7πππ又＜2A＋＜，∴2A＋＝π，∴A＝. 33333→→∵AB·AC＝3，即bc＝6，由余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18， b＋c＝5，又b＞c，∴b＝3，c＝2.

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