(精校版)2016年四川文数高考试题文档版(word含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文史类）

第I卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i为虚数单位，则复数(1+i)= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i

2.设集合A={x11≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)3 3.抛物线y=4x的焦点坐标是

(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin(x (A)向左平行移动

2

2

3

)的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点

个单位长度 (B) 向右平行移动个单位长度 33

(C) 向上平行移动个单位长度 (D) 向下平行移动个单位长度

33

5.设p:实数x，y满足x>1且y>1，q: 实数x，y满足x+y>2，则p是q的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 6.已知a函数f(x)=x-12x的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2

7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网 (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年

8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

3

(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9

uuuruuuruuuruuur2

9.已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足AP 1，PM MC，则BM的最大

值是 (A)

434937 6337 2 (B) (C) (D)

4444

10. 设直线l1，l2分别是函数f(x)=

lnx,0 x 1,

图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，

lnx,x 1,

且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)

第II卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11、sin7500= 。

12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是 。学科&网

侧视图

俯视图

13、从2、3、8、9任取两个不同的数字，分别记为a、b，则logab为整数的概率。

14、若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f（x）=4x，则f( f(1) 15、在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P(是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上。

若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线。 其中的真命题是 。（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、（本小题12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1）， [4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。

'

5

2

y x

,)，当P

x2 y2x2 y2

0.500.42

（I）求直方图中的a值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。 17、（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC CD

P

1

AD。 2

BC

A

D

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；学科&网 （II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

18、（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（I）证明：sinAsinB=sinC； （II）若b c a

2

2

2

cosAcosBsinC

。 abc

6

bc，求tanB。 5

19、（本小题满分12分）

已知数列{an }的首项为1，Sn 为数列{an}的前n项和，Sn 1 qSn 1 ，其中q>0，n N* . （Ⅰ）若a2,a3,a2 a3 成等差数列，求{an}的通项公式；

y2

（Ⅱ）设双曲线x 2 1 的离心率为en ，且e2 2 ，求e12 e22 en2

an.

2

20、（本小题满分13分）

xу1

已知椭圆E：22﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(3 ，在

ab2椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

1

(Ⅱ)设不过原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭

2

2

2

圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳ 21、（本小题满分14分）

1e2

设函数f(x)=ax－a－lnx，g(x)= －x ，其中a∈R，e=2.718 为自然对数的底数。

xe（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文史类）试题参考答案

一、选择题

1.C 2.B 3.D 4. A 5.A 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A 二、填空题 11.

11

13. 14.-2 15.②③ 26三、解答题

16.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.

同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.

由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a， 解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000. （Ⅲ）设中位数为x吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.

由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 17.（本小题满分12分）

P

BA

D

（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：

因为AD∥BC,BC=

1

AD，所以BC∥AM, 且BC=AM. 2

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖∥AB. 又AB 平面PAB,CM 平面PAB, 所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) （II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥ CD, 因为AD∥BC,BC=

1

AD，所以直线AB与CD相交， 2

所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥ BD. 因为AD∥BC,BC=

1

AD， 2

所以BC∥MD,且BC=MD. 所以四边形BCDM是平行四边形. 所以BM=CD=

1

AD，所以BD⊥AB. 2

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD 平面PBD, 所以平面PAB⊥平面PBD.

18.（本小题满分12分） （Ⅰ）根据正弦定理，可设

abc

k(k 0) sinAsinBsinC

则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC. 代入

cosAcosBsinC

中，有 abc

cosAcosBsinC ，可变形得

ksinAksinBksinC

sin A sin B=sin Acos B+cosAsinB=sin (A+B).

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C， 所以sin A sin B=sin C.

（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=

6

bc，根据余弦定理，有 5

b2 c2 a23

cosA .

2bc5

所以sin A

4

. 5

由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B， 所以

443

sin B=cos B+sin B， 555

故tan B=

sinB

=4. cosB

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）由已知，Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n?1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan对所有n³1都成立. 所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列. 从而an=qn-1.

由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+a2+a3，所以a3=2a2,，故q=2. 所以an=2n-1(n?N*).

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，an=qn-1.

y2

所以双曲线x-2=

1的离心率en=

an

2

由e2=

2解得q=

所以，

e12+e22+鬃?en2=(1+1)+(1+q2)+鬃?[1+q2(n-1)]=n+[1+q+鬃?q=n+

1n

(3-1).2

2

2(n-1)

q2n-1

]=n+2

q-1

，

20.（本小题满分13分） （I）由已知，a=2b.

1

xy13

又椭圆2 2 1(a b

0)过点P)，故2 1，解得b2 1. 2

2ab4bb

2

2

x2

y2 1. 所以椭圆E的方程是4

（II）设直线l的方程为y

1

x m(m 0)，A(x1,y1),B(x2,y2) ， 2

x2

y2 1, 422

由方程组 得x 2mx 2m 2 0，①

y 1x m, 2

2

方程①的判别式为 4(2 m)，由 ，即2 m

0，解得 m 2

由①得x1 x2 2m,x1x2 2m2 2. 所以M点坐标为( m,

m1)，直线OM方程为y x， 22

x22

y 1, 4

由方程组 得C(D.

y 1x,

2

所以MC MD 又MA MB

5

( m m) (2 m2). 224

1152

AB [(x1 x2)2 (y1 y2)2] [(x1 x2)2 4x1x2] 4416

55

[4m2 4(2m2 2)] (2 m2). 164

所以MA MB=MC MD.

21.（本小题满分14分）

12ax2 1（I）f'(x) 2ax x 0).

xx

（0，+ ）当a 0时， f'(x)<0，f(x)在内单调递减.

当a 0时，由f'(x)=0

，有x

当x

（时，f'(x)<0，f(x)单调递减； + )时，f'(x)>0，f(x)单调递增. x 1

当x

（II）令s(x)=e

x，则s'(x)=ex 1 1.

x 1

当x 1时，s'(x)>0，所以e

11

x，从而g(x)= x 1>0.

xe

（iii）由（II），当x 1时，g(x)>0.

当a 0，x 1时，f(x)=a(x 1) lnx 0.

2

（，1+ )内恒成立时，必有a 0. 故当f(x)>g(x)在区间

当0 a

12 f(1) 0,

从而g 0， 由（I

）有f（，1+ )内不恒成立. 所以此时f(x)>g(x)在区间

当a

1

时，令h(x)=f(x) g(x)(x 1). 2

11111x3 2x 1x2 2x 11 x

当x 1时，h'(x)=2ax 2 e x 2 0. 22

xxxxxxx

（，1+ )单调递增. 因此h(x)在区间

又因为h(1)=0，所以当x 1时，h(x)=f(x) g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.

+ ). 综上，a [，

1

2

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