2019高考物理模型系列之算法模型专题02矢量的运算模型学案

专题02矢量的运算模型

模型界定矢量及矢量运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等.狭义的讲，矢量的运算是指矢量物理量之间的运算，广义的说，矢量运算还包括运动形式的分解与合成.适量运算要遵循特殊的法则。本模型归纳总结高中物理中所涉及到的矢量矢量的加（减）法与乘法的运算.

模型破解

1.矢量加法

G）平行四边形定则

矢量的加法运算也即矢量的合成，苴实质是等效替代，一般可用平行四边形法则。

如果用表示两个矢量和比的有向线段为邻边作平行四边形，那么合矢量A的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示，这叫做矢量运算的平行四边形立则.

（ii）三角形法则与多边形左则

如图所示，两矢量合成时由平行四边形法则可推广至三角形法则：将两矢量A 1 A 2首尾相接，则合矢量

A就是由矢量A 1的箭尾指向矢MA 2箭首的有向线段所表示的矢量.

多个矢疑相加时，则三角形左则推广可得到多边形法则，如图所示.最终合矢量的大小和方向与相加次序无关。

A

(iii)正交分解法

将矢量沿两个相互垂直的方向分解，称为正交分解.矢量扎、A：、Ar??相加时，可先将各矢咼沿相互垂直的x轴和y轴分解，A,分解为爲和Ain A=分解为Acz和A=… A,分解为A"和扁，…则x轴方向上的矢量和

A^Ax+A/A/…；y轴方向上的适量和A,?二A“?+A：,?+A,,.+…，则合矢疑大小 A = 4 +人,合矢量方向与x 轴夹角o满足tan <9 =—.

4

(iv)矢量减法

矢量减法是矢疑加法的逆运算，也称为矢量的分解.一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢

量,A)-A3=A1+(-A5),如图所示。

矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量。因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。

(v)基本规律

①当两矢量A：和扎大小一左时，合矢量A随着两矢捲间夹角«的增大而减小。当两矢呈:间的夹角« =0°时，合矢量最大，等于爲“二扎+扎；当两矢量间的夹角a =180°时，合矢量最小，等于二|A：-AJ ,即合矢量的取值范围是I Ai-A： I WAWAi+As。

②合矢量可以大于、等于或小于分矢量，他的大小依赖于两矢疑之间的夹角的大小：

大小相等的两矢量，当其夹角小于120°时，合矢量大于分矢量：夹角等于120°时合矢呈:与分矢量相等：夹角大于120°而小于180°时，合矢量小于分矢量.

③有n个矢量九、汕、A,、……扎，他们矢量和大小的最大值是它们的方向相同时的合矢量大小，即

而最小值要分下列两种情况讨论:

r-1

（§）若 n | 天量 Ai> A ：% As 、 ??…九中的大小最大的矢量A ：大于其余矢量的大小之和 为4,则他们矢量和

的最小值是A 厂

◎若 n 个矢M Axx A ：、

As 、??

?…扎中的大小最大的矢量A “大于其余矢量的大小之和f 4,则他们矢量和

的最小值是0。

④ 两矢量大小相等时，合矢量的方向必在两矢量的夹角平分在线

例1 ?两个大小分别为片和厲（『 [vFJ 的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F 满足

A. F 2<F<F {

F\—R 厂斥+代 2 2 C ? F {- < F < F {+ 【答案】c

D. F l 2-F^<F 2<F~ + F^1

【解析】共点的两个力合成，同向时最大为R + F 2,反向时最小为斤一厲，C 正确.

例2 .如图所示，光滑半球形容器固立在水平而上，0为球心，一质呈:为m 的小滑块，在水平力F 的作用下 静止P 点。设滑块所受支持力为0 OF 与水平方向的夹角为0。下列关系正确的是（ ）

B ? F=mgt3n0 D ? FmgtanO 【答案】A

【解析】对小滑块受力分析如图所示，根据平行四边形定则可得I 益"严篇，所以A 正确。 tan 0

mg tanO

例3 ?如图，两根相互平行的长直导线分别通有方向相反的电流人和厶，且a. b 、c 、d 为导线某 一横截而所在平而内的四点，且a 、b 、c 与两导线共而：b 点在两导线之间，b 、d 的连线与导线所在平面 垂直。磁感应强度可能为零的点是

A. a 点 C. c 点

【答案】C

【解析】由矢量的运算法则可矢晒矢量的矢量和为零时两矢量必是等值反向的.由安培定则知两电流在b 点产生的磁场方向相同，在d 点产生的磁坯方向不在一条直线上，BD 皆错误.两电流在密两点处产生的 磁场方向相反，但由于11>12,且2点距电流II 近，故两电流在a 点处产生的磁场不可能大小相等，A 错误， 同理可知C 正确?

例4.如图，两等量异号的点电荷相距为勿。M 与两点电荷共线，N 位于两点电荷连线的中垂线上，两点 电荷连线中点到M 和N 的距离都为L,且厶》略去(u/L)n

(n>2)项的贡献，则两点电荷的合电场在M 和N 点的强度()

A. 大小之比为2,方向相反

B. 大小之比为1,方向相反

B. b 点

D ?d 点

H ——L -----------

C. 大小均与G 成正比，方向相反

D. 大小均与L 的平方成反比，方向相互垂直

【答案】AC

【解析】如右下图所示，合电场在H 和N 点的强度分别为

故有Eu Eo=2；又因N 点处强场方向由对称性知平行于两场源电荷由+q 指向一q,在M 点因距+ q 较近, -q 产生的电场弱于+ q 产生的电场，总场强方向由一q 指向+ q, A C 正确。

例5?在一个水平方向的匀强电场中，某带负电荷的小球做匀变速曲线运动，依次经过A 、C 三点，A 、B. C 三点与电场方向在同一个竖直面内，运动轨迹如图所示.已知过B 点切线与AC 连线平行，D 点为AC 线段 的中点，BD 连线恰与AC 垂直，质点从A 点运动到B 点所用的时间为3,质点从B 点运动到C 点所用的时 间为下列说法正确的是

A. tAB —等于t©电场方向向左

B. 仏一立等于tac,电场方向向右

C. tiB 不一左等于tsc ，电场方向向左

D ?血不一左等于如，电场方向向右

E 二

kq kq

x ~ (L-a)2 (L + a)2 4kqaL

Q —丹)2 4kqa 4kqa

u --- L 3 、

Ikqa 2kqa

—~ -------

卫 L 3

【答案】B

【解析】小球在运动中受到竖直向下的重力与水平方向上的电场力作用，而曲线运动中合力方向指向运动轨 迹的內侧’则可知电场力的方向必是水平向左,因小球带负电，故电场强度方向水平向右,AC 错误.因小球的运 动是匀娈速曲线运动，可将其运动分解为沿AC 方向上的匀变速运动与垂直于AC 方向即沿DB 方向上的匀变 速运动，由于B 点切线与AC 连线平行，可知小球在B 点吋沿DB 方向上的分速度为零，即小球在从A 运动到C 的过程中沿DB 方向上先减速再加速-设小球沿DB 方向上的加速度为①从A 到B 由匀加速运动的逆过程

有

= -^,从B 到C 有丽= -Z7^，故有心=（施已正确D 错误-

2 2

模型演练

1 ?如图，三个大小相等的力尸，作用于同一点。则合力最小的是

【答案】C

【解析】在ABD 三图中三力的合力大小虽不相同，但一左不为零，而在C 图其中任两个力的合力与第三个 力等值反向，三个力的合力一泄为零，答案为C.

2 ?在等边三角形的三个顶点a 、S c 处，各有一条长直导线垂直穿过纸而，导线中通有大小相等的恒泄电 流，方向如图。过c 点的导线所受安培力的方向

i ；＞ £

A.

与必边平行，竖直向上 B.与胡边平行，竖直向下 C.与ab 边垂直，指向左边

D.与ab 边垂直，指向右边 【答案】C

【解析】等边三角形的三个顶点a 、b 、c 处均有一通电导线，且导线中通有大小相等的恒左电流.由安培 立则可得：导线a 、b 的电流在c 处的合磁场方向竖直向下.再由左手泄则可得：安培力的方向是与ab

边A. B. C. D.

垂直.指向左边.

3 ?四根相互平行的通电长直导线a 、b 、c 电流均为Z,如图所示放在正方形的四个顶点上，每根通电直导

线单独存在时，四边形中心0点的磁感应强度都是B,则四根通电导线同时存在时0点的磁感应强度的大小 和方向为

【解析】由安培定则知导线2bcd 在O 点处产生的磁场方向分别沿O (k g Od. Oa,再由矢量合成法则更 对称性知A 正确。

4.三根相互平行的通电长直导线放在等边三角形的三个顶点上，右图为其截而图，电流方向如图所示。若 每根导线的电流均为Z ，每根直导线单独存在时，在三角形中心0点产生的磁感应强度大小都是氏则三根 导线同时存在时0点的磁感应强度大小为

C. 2B

D ? y[3B

【答案】C 【解析】根据安培立则判断得知：三根导线在0点产生的磁感应强度的方向分别为：上而导线产生的B 方 向水平向左，大小为B ：下而左边导线产生的B 方向斜向左上方，与水平成60°角，下面右边导线产生的B

A. 2、运方向向左

C. 2近B,方向向右

【答案】A B. 2迈B,方向向下 D. 2近B,方向向上

练4图

A. 0 B ?万

方向斜向右上方，与水平成60°角，则根据平行四边形左则进行合成可知，下而两根导线产生的合场强大 小为B,方向水平向左，所以三根导线同时存在时的磁感应强度大小为2B,方向水平向左.

5?取两个完全相同的长导线，用其中一根绕成如图（R 所示的螺线管，当该螺线管中通以电流强度为/的 电流时，测得螺线管内中部的磁感应强度大小为5若将另一根长导线对折后绕成如图（b ）所示的螺线管, 并通以电流强度也为2的电流时，则在螺线管内中部的磁感应强度大小为（

） (A) 0。

(B) 0. 55o

【答案】A 【解析】双线并绕的线圈相当于两个线圈一圈隔一圈地绕在同一个线圈架上-通电时，两个线圈中的电流方 向正好相反，产生的磁场方向也相反，磁通量的变化为零，所以浚有自感电动势，选项A 正确.

2.矢量的乘法。

矢量乘法运算中包括三种情况：

一种是矢量和标量的乘积，英结果仍为矢量，如F 二ma 、F=qE 等。此类运算中，若该标量大于零，则结果与 原矢量同向，小于零时则与原矢量反向.

第二种情况是矢量和矢量相乘，结果构成了新的标量，矢量间这样的乘积叫标积.两矢量的标积等于两矢 量的大小及两矢量间夹角余弦三者的乘积，如功W 二F -S-cosu .功率P 二F ?v ?cos «等的计算是采用两个 矢量的标积。

第三种情况是矢量和矢量相乘结果却构成新的矢量，矢疑间这样的乘积叫矢积。两矢量的矢积大小等于两 矢量的大小及两矢戢间夹角正弦三者的乘积，如洛仑兹力f=qvBsin«等的计算是采用两个矢量的矢积。新 矢量的方向与原两矢量所决立的平而垂直.

例5.—质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的动能可能

A. 一直增大

B. 先逐渐减小至零，再逐渐增大

C. 先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小

D. 先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大

【答案】ABD

(b) (C)

【解析】该质点的动能变化取决于该恒力的做功情况，设恒力与质点的瞬时速度之间的夹角为4恒力的功率P = Fvcc Sa.若初始状态则恒力对质点一直做正功'质点的动能将一直増大，A正确,若初始状态下90°<«<180%则初始阶段恒力对质点俶员功,质点的动能誠小，同时a也减小，当◎减"痒」90°之后，恒力又幵始对质点做正功，质点动能又幵始増大，DIE确；若初始状态下a = 180%则初始阶段恒力对贡点俶负功直到质点的动能城小零后，质点反向加速运动，恒力幵始对厉点做正功，质点动能双幵始増加，B正确；无情况能c选项对应，c错误.

另解：从运动的合成与分解角度考虑，仍设恒力与速度间夹角为a,若a = 0\质点做匀加速直线运动, 速率增大

动能增加，若0° <a<90°,质点做匀变速曲线运动，沿恒力方向加速运动，垂直于合力方向匀速运动，速率一直

增大，动能一直增加；若90°<a<\80°,质点也做匀变速曲线运动，沿恒力方向质点先减速再反向加速，垂直于恒力方向质点匀速运动，此情况下质点的速率先减小再增大，动能也是先减小再增大，但英最小值不为零；若a = 180°,质点先做匀减速直线运动，速度减小零后再反向加速，其动能也先减小到零再增加，故ABD正确.

例6长螺线管中通有恒立电流，把一个带电粒子沿轴线方向射入螺线管，不计重力，粒子在管中将做：

A.圆周运动

B.沿轴线来回运动

C.匀加速直线运动

D.匀速直线运动

【答案】D

【解析】在螺线管内磁感线的方向平行于英轴线，则带电粒子进入管内后速度方向与磁场方向平行，在f = Bqv sin a中a = 0°,故粒子不受力，沿轴线做匀速直线运动，D正确.

模型演练

6.运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程。将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是

A.阻力对系统始终做负功

B.系统受到的合外力始终向下

C.重力做功使系统的重力势能增加

D.任意相等的时间内重力做的功相等

【答案】A

【解析】阻力的方向始终与人的运动的方向相反，所以阻力对系统始终做负功，故A正确.运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，在减速下降的过程中，由牛顿第二怎律可知，此时合力的方向是向上的，所以B错误.在下降的过程中重力做正功，由能的转化和可知此时物体的重力势能减小，所以C错误.由重力做的功W=mgh可知，由于人不是匀速运动的，在相等的时间内下降的高度不同，所以任意相等的时间内重力做的功不相等，故D错误.

7.一个25kg的小孩从高度为3.0m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2. Om/so取g = 10m/ s：,关于力对小孩做的功，以下结果正确的是

A.合外力做功50J

B.阻力做功500J

C.重力做功500J

D.支持力做功50J

【答案】A

【解析】根据动能定理研究滑梯顶端由静止开始滑下滑到庶端得：w合=AEk=Amy2-G=5OJ,故A正确.小孩由滑梯顶端由静止开始滑下渭到底端得过程中，小孩受重力、支持力、阻力，因为支持力与位移方向垂直，所以支持力俶功为0,由于功为标量，w合=v&w虫，重力做功wG=mgh=75OJ, W.LW谷-WG二700J, 故E错误.根拚B 选项分析知道重力做功75OJ,故C错误.因为支持力与位移方向垂直，所臥支持力做功为0,故D错误.

8.如图所示，重球m用一条不可伸长的轻质细线拴住后悬于0点，重球宜于一个斜而劈M上，用水平力F

向左推动斜劈H在光滑水平桌而上由位宜甲匀速向左移动到位置乙，在此过程中，正确的说法是（）

8囱

A.M、m间的摩擦力对m不做功

B.M、m间的摩擦力对m做负功

C.F对M所做的功与m对M所做的功的绝对值相等

D.M、m间的弹力对m所做的功与对M做的功的绝对值不相等

【答案】C

【解析】因m相对M向上运动，故m旻摩揀力方向沿斜面向下，而重球的速度方向垂直于细线斜向左上

方，故摩摄力对重球做正功，AB皆错误，因M匀速运动，且只有力F及!!!对M的作用力做功，故C正确, 在

垂直于就、m之间的接触面的方向上，两物体未发生相对位移，则这对弾力所做的总功应为零，D错误°

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