中国石油大学工程流体力学例题等

第一章 流体及其主要物理性质

例1：

已知油品的相对密度为0.85，求其重度。

3解：??0.85???0.85?9800N/m

例2：

当压强增加5×104Pa时，某种液体的密度增长0.02%，求该液体的弹性系数。 解：M??V?dM?Vd???dV?0

V???dVd? 11?1E???dp??5?104?2.5?108Pa?p?dV1d?0.02%Vdp

例3：

已知：A＝1200cm2，V＝0.5m/s

μ1＝0.142Pa.s，h1＝1.0mm μ2＝0.235Pa.s，h2＝1.4mm 求：平板上所受的内摩擦力F 绘制：平板间流体的流速分布图及应力分布图

解：（前提条件：牛顿流体、层流运

动）

V?u????11??h1??duu?0??2??2???h2 dy ??因为 τ1＝τ2 所以

?1V?uu??2h1h2V?u?4.6Nh1

?u??1h2V?0.23m/s?2h1??1h2

F??1A??第二章 流体静力学

例1：

如图，汽车上有一长方形水箱，高H＝1.2m，长L＝4m，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，试计算当汽车以加速度为3m/s2向前行驶时，水箱底面上前后两点A、B的静压强（装满水）。 解：

分析：水箱处于顶盖封闭状态，当加速时，液面不变化，但由于惯性力而引起的液体内部压力分布规律不变，等压面仍为一倾斜平面，符合ax?gzs?0 等压面与x轴方向之间的夹角

tg??ag

L??pA??hA???H?tg????17755Pa2?? L??pB??hB???H?tg????5760Pa2??

例2：

（1）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡

分析：容器内液体虽然借离心惯性力向外甩，但由于受容器顶限制，液面并不能形成旋转抛物面，但内部压强分布规律不变：

利用边界条件：r＝0，z＝0时，p＝0

p???(?2r22g?z)?C作用于顶盖上的压强：

p???2r22g（表压）

（2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡

压强分布规律：

p???(?2r22g?z)?C

边缘A、B处：r＝R，z＝0，p＝0

C????2R22g

作用于顶盖上的压强：

p????2?R2g2?r2?

例3：

已知：r1，r2，Δh

求：ω0 解：

?02r122g?zs1?0 （1）

?02r222g?zs2?0 （2）

因为 zs1?zs2??h

?0?所以

2g?hr2?r1

22例4

已知：一圆柱形容器，直径D＝1.2m，完全充满水，顶盖上在r0＝0.43m处开一小孔，敞开测压管中的水位a＝0.5m，问此容器绕其立轴旋转的转速n多大时，顶盖所受的静水总压力为零？ 已知：D＝1.2m，r0＝0.43m，a＝0.5m 求：n

解：据公式 dp??(Xdx?Ydy?Zd)z 坐标如图，则 X??2x，Y??2y，Z??g 代入上式积分：p???(?2r22g?z)?C （*）

由题意条件，在A点处：r＝r0，z＝0，p＝γa 则 ?a???(?2r022g?0)?C )

所以 C???(a??2r022g所以 p???(?2r22g?z)???(a??2r022g) )

当z＝0时： p???2r22g???(a??2r022g它是一旋转抛物方程：盖板上静压强沿径向按半径的二次方增长。

而

P??pdA??AR0p?2?rdr??R0??2r2?2r02????(a?)??2?rdr?0 ??2g2g????所以

?R0??2r3?2r02??(a?)r?dr?0 ?2g?2g???R??2r4?2r02r2??(a?)??0 即 ?2g42g2????0则 ?2R2?2?2r0?4ga?0所以 n?2???4ga2r0?R22

?1?2?2?4ga2r0?R22

代入数据得：n＝7.118转/秒

例5：

闸门宽1.2m，铰在A点，压力表G的读数为－14700Pa，在右侧箱中装有油，其重度γ

0＝

8.33KN/m3，问在B点加多大的水平力才能使闸门AB平衡？ 解：把p0折算成水柱高：

h?p0?14700??1.5m9800 相

??当于液面下移1.5m，如图示虚构液面

1.2?2??70560N 1??hcA?9800??2?1???则左侧：P1.2?23J12?hc?c??2?1???3?0.11?3.11mhcA3?1.2?2 hD1压力中心距A点：3.11－2＝1.11m

2P2??ohcA?8.33??2?1.2?19.992KN2右侧： hD21.2?23J12?hc?c?1??1.33mhcA1?1.2?2 设在B点加水平力F使闸门AB平衡，对A点取矩 ∑ MA＝0

1hD1?P2hD2?FAB 即 PF?70.56?1.11?19.992?1.33?25.87KN2

例6：

一示压水箱的横剖面如图所示，压力表的读数为0.14个大气压，圆柱体长 L＝1.2m，半径R＝0.6m

求：使圆柱体保持如图所示位置所需的各分力（圆柱体重量不计）。

解：

水平分力：→

Px??hcAx?9800?1.7?0.6?1.2?11995.2N

垂直分力：↑

???0.62Pz??V压?9800???1.4?0.6?1.2?1.2?4???13201?9800??1.008?0.33912.8N

????

第三章 流体运动学与动力学基础

例1：

?ux?x?t??uy??y?t?u?0z已知：? 求：t＝0 时，A（－1，1）点流线的方程。 dxdy?解： x?t?y?t

积分：ln(x+t)=-ln(-y+t)+C → (x+t) (-y+t)=C` 当t＝0时，x＝－1，y＝1，代入上式得： C`＝1 所以，过A（－1，1）点流线的方程为：xy＝－1

例2、伯努利方程式的应用实例 例2－1 : 一般水力计算问题

有一喷水装置如图示。已知h1＝0.3m，h2＝1.0m，h3＝2.5m，求喷水出口流速，及水流喷射高度h（不计水头损失）。

解：① 以3－3断面为基准面，列1－1、3－3两断面的能量方程：

??

以2－2断面为基准面，列2－2、4－4两断面的能量方程： V420??0??h2?h1??0??2g 所以，

p0V4?2gp0?h2?h3??0?0?0?p0?0?p0?h2?h3??2g?h2?h1??2g??h2?h3???h2?h1???2?9.8??2.5?0.3??6.57m/s

V42h??2.20m2g②

例2－2: 节流式流量计

已知：U形水银压差计连接于直角弯管， d1＝300mm，d2＝100mm，管中流量Q＝100L/s 试问：压差计读数Δh等于多少？ （不计水头损失）

解：以0－0断面为基准面，列1－1、2－2两断面的能量方程：

V12p2V220????z??h????2g?2g p1?p2V22?V12??z??h???2g

p1又

V1?Q4?0.1Q4?0.1??1.42m/sV???12.74m/s22A13.14?0.32A3.14?0.12，

由等压面a－a得压强关系：p1??z?p2??Hg?h 则 p1?p2??Hg?h??z

?Hg?h??z12.742?1.422??z??h???19.6所以

?h?

8.18??0.649m?649mm?Hg??

例2-3: 毕托管原理

水从立管下端泄出，立管直径为d＝50mm，射流冲击一水平放置的半径R＝150mm的圆盘，若水层离开盘边的厚度δ＝1mm 求：流量Q及汞比压计的读数Δh。水头损失不计。 分析：

1－1： p1（＝0）， V1（？）， z1（√）

2－2： p2（＝0）， V2（？）， z2（√） 3－3： p3（ ？）， V3（＝0）， z3（√）（驻点） 每点都有一个未知数，可对任何两点列方程。

解：

以圆盘为基准面，列1－1、2－2两断面的能量方程：

V12?V223?0???0?2g22g列1－1、3点的能量方程：

①

p3V123?0??0??02g? ②

据连续性方程：

Q?12?d?V1?2?R??V24 ③

V2?③代入①式：

26g?64R2?2???1?d4?????76.4m2/s2 （忽略δ/2）

V2＝8.74m/s, V1=4.196m/s

V12?3??3.898m2gV1代入②式： ?

p3所以：Q?A1?V1?A2?V2?8.23L/s

p3???1.5??Hg?h

p???1.53.898?9800?1.5?9800?h?3??0.396m?396mm?Hg13.6?9800

例2－4: 流动吸力

图示为一抽水装置，利用喷射水流在吼道断面上造成的负压，可将M容器中的积水抽出。 已知：H、b、h（不计损失），

求：吼道有效断面面积A1与喷嘴出口断面面积A2之间应满足什么样的条件能使抽水装置开始工作？

解：以1－1为基准面，列0－0、1－1断面的能量方程：

V12h???2g

p1以0`－0`为基准面，列1－1、2－2断面的能量方程：

V12V22?H?h?????2g2g

p1?要使抽水机工作：则：V1?2g?h?b?,p1??b

V2?2gH

又因为：A1?V1?A2?V2

A1V2H??h?b 所以：A2V1

例3：水头线（局部损失不计）

例4:

已知：Q＝0.001m3/s，D＝

0.01m

Hw吸＝1m，hw排＝25m 求：H＝？pB＝？N泵＝？ 解：

取1－1、2－2断面列伯努利方程：

H?(z2?z1)?hw?32mH2O

取1－1、B断面列伯努利方程：

?hw吸2gQ?VA?V?12.74m/s0?0.7?pB??V2?pB??9.8?104PaN泵??QH?9800?0.001?32?313.6W

例5：动量方程

已知：一个水平放置的90o弯管输送水 d1＝150mm，d2＝75mm p1＝2.06×105Pa，Q＝0.02m3/s 求：水流对弯管的作用力大小和方向（不计水头损失） 分析：

1－1： p1（√）， V1（可求）， z1（√） 2－2： p2（？）， V2（可求）， z2（√）

V1?Q4Q?2?1.132m/sA1?d1 Q4Q??4.527m/s2A2?d2

解：

V2?取1-1、2-2两断面列伯努利方程

V12p2V22????2g?2g ?p2?p1??V12?V22??1.964?105Pa2所以， p1对选取的控制体列动量方程： x方向：p1A1?Rx??Q(0?V1) y方向：Ry?p2A2??Q(V2?0)

N所以，Rx?366322R?Rx?Ry?3786NRy?958N

??arctgRyRx?14.66?

所以，水流对弯管壁的作用力为F的反作用力F`，大小相等，方向相反。

第四章 流动阻力和水头损失

例1:

在圆管层流中，沿壁面的切应力τ

0与管径

d、流速 V 及粘性系数 μ 有关，用

量纲分析法导出此关系的一般表达式。

解：n＝4，应用雷利法，假设变量之间可能的关系为一简单的指数方程：

?0?kdxVy?z （k为实验系数）

?1?2x?1y?1?1z按MLT写出因次式为：[MLT]?[L][LT][MLT]

对因次式的指数求解 对于M： 1＝z L：－1＝x＋y－z T：－2＝－y－z 所以 x＝－1，y＝1，z＝1 代入函数式得：

V?V??0?8d （实验已证实：d）

?0?K例2:

?p已知液体在管路中流动，压力坡度L，与下列因素有关：ρ，V，D，μ，Δ。

试用因次分析方法确定变量间的函数关系式，并得出计算hf的公式

?p?f?D,?,?,V,??解：（1）L

??p??2?2?[MLT]?3????D?[L]????[ML]； ?L?；；

????[ML?1T?1]；?V??[LT?1]；????[L]

（2）选ρ， V， D为基本的物理量 （3）建立3个无因次π项

?1???aVbDc11221?2???aVbDc?3?对于Π1项：

2?pa3b3c3?VDL [M0L0T0]?[ML?1T?1][ML?3]a1[LT?1]b1[L]c1

对于 M： 0＝1+a1

L： 0＝－1－3a1+b1+c1 T： 0＝－1－b1

所以 a1＝－1， b1 ＝－1， c1 ＝－1

?VD 对于Π2项：

[M0L0T0]?[L][ML?3]a2[LT?1]b2[L]c2

对于 M：0＝a2

L： 0＝1－3a2+b2+c2 T： 0＝－b2

所以 a2＝0， b2 ＝0， c2 ＝－1

?D 对于Π3项：

?1???2?[M0L0T0]?[ML?2T?2][ML?3]a3[LT?1]b3[L]c3

对于 M：0＝1+a3

L： 0＝－2－3a3+b3+c3 T： 0＝－2－b3

所以 a3＝－1， b3 ＝－2， c3＝1

?pDL?V2 ?3??????pD?1??????,???,???VDD?2L?V?ReD? ??（4）所以，2?p?1???V???,?L?ReD?D 22?pL?1???VL?1??LVhf????,??2??,?L?ReDD????ReD?D2g ?1????2??,??ReD?，则 令LV2hf??D2g——达西公式

λ——沿程阻力系数

例3

油泵抽贮油池中的石油，为保证不发生漩涡及吸入空气，必须用实验方法确定最小油位h，已知原型设备中吸入管直径dn=250mm，νn=0.75×10-4m2/s，Qn=140L/s，实验在1：5的模型中进行，试确定

(1) 模型中γm=？， Qm=？，Vm=？

(2) 若模型中出现漩涡的最小液柱高度hm=60mm，求hn=？ 分析：重力、惯性力、粘性力，特征长度为d 解：Ren = Rem ，Frn?Frm

??Vn?dnVm?dm?(1)???n?m?gn?dn?gm?dm?(2)?V22nVm

3Vn140?10?n?Q1??2.85m/s?d21n?3.14?0.25244 dm?1gn=gm，dn5

Vm＝1.27m/s，代入（1）得 ν

m=0.068×10

-4

m2/s

Q1m?Vm4?d2m?2.5L/s

hn= hm?5＝300mm 例4

流速由V1变为V3的突然扩大管，为了减小阻力，可分两次扩大，问中间级取多大时，所产生的局部阻力最小？比一次扩大的阻力小多少？

解：① 求V2

?V21?V3?一次扩大的：

hj1?2g

h?V21?V2??V2?V3?2两次扩大的：

j2?2g?2g

当V1、V3确定时，产生的最小阻力的值V2由下式求出：

dhj2dV?122g??2?V1?V2??2?V2?V3???0?VV1?V32?2

V2②

hj2V?V3???V1?V3??V3??V1?1???V1?V3?22?2??????2g2g4g hj2?12 即分两次扩大最多可减少一半损失。

22所以，hj1

例5

如图所示，水在压强作用下从密封的下水箱沿竖直管道流入上水箱中，已知h＝50cm，H＝3m，管道直径D＝25mm，λ＝0.02，各局部阻力系数分别为ζ1＝0.5，ζ2＝5.0，ζ定流动）

解：以下水箱液面为基准面，列两液面的伯努利方程：

0?p03

＝1.0，管中流速V＝1m/s，求：下水箱的液面压强。（设稳

??0??H?h??0?0?hw

LV23?0.512hf???0.02???0.143mD2g0.0252g沿程水头损失： 12hj???1??2??3???1.0?5.0?0.5???0.332m2g2g局部水头损失： 总水头损失：hw＝hf+hj＝0.475m

V2Pa 所以，p0????H?h??hw??9800??3?0.5?0.475??38955

例6

水箱中的水通过直径为d，长度为l，沿程阻力系数为λ的立管向大气中泄水，

问h多大时，流量Q的计算式与h无关？ 解：取1－1、2－2断面列伯努利方程：

V2h?l??hf

2glV2hf??

d2gV?2g?h?l??l1??d2gd?d?h?l?

?l?2gdQ??4d2V??4dd2??d?h?l?

?l?所以，当h?

?时，Q与h、l无关。

第五章 压力管路的水力计算

例1

某水罐1液面高度位于地平面以上z1＝60m，通过分支管把水引向高于地平面z2＝30m和z3＝15m的水罐2和水罐3，假设l1=l2=l3=2500m, d1=d2=d3=0.5m, 各管的沿程阻力系数均为λ＝0.04。试求引入每一水罐的流量。

解：取1-1、2-2两液面列伯努利方程：

z1?z2?hf1?hf2

LVhf1??111d12g2hf2LV??222d22g

222所以，V1?V2?4.41 （1）

取1-1、3-3两液面列伯努利方程：

z1?z3?hf1?hf3

22V?V?2.94 （2） 13所以，

?Q1?Q2?Q3?又 ?d1?d2?d3 ? V1?V2?V3 （3）

?V1?1.67m/s??V2?1.28m/s?V?0.39m/s?3得

?Q2?0.251m3/s?3Q?0.0765m/s 3? ?

例2

水从封闭水箱上部直径d1=30mm的孔口流至下部，然后经d2=20mm的圆柱行管嘴排向大气中，流动恒定后，水深h1=2m，h2=3m，水箱上的压力计读数为4.9MPa，求流量Q和下水箱水面上的压强p2，设为稳定流。?1?0.6，?2?0.82。

解：经过孔口的流量Q1

d1p1?p2???2g?h??12??4??? 经过管嘴的流量Q2 Q1＝?1Q2＝?2?d12?d224p2?2g?h??2?????? 因为稳定流，所以Q1＝Q2

4整理得：p2?4.34?10Pa

Q?Q2＝?2 ?d224p2?2g?h??2????33??3.11?10m/s?? 第六章 一元不稳定流

例1

一水电站的引水钢管，长L?700m，直径D?100cm,管壁厚e?1cm，钢管的弹性系数E0?2.06?107N/cm2，水的弹性系数E?2.06?105N/cm2。阀门关闭前管流为稳定流，Q0?3.14m3/s，若完全关闭阀门的时间为1s，试判断管中所产生的水击是直接水击还是间接水击？并求阀门前断面处的最大水击压强。解：水击压强波在该管流中的传播速度2.06?109E/?1000c???1015m/s5DE2.06?101001?1?eE02.06?1071

所以：

2L2?700??1.38s?1sc1015所以水击属于直接水击。

阀门未关闭前管中水的正常流速为:V0?于是所产生的最大水击压力为?p??cV0?1000?1015?4?4.06?106PaQ0?4m/sA

例2

一单作用柱塞泵，柱塞直径D=141mm，转速n=60rpm，吸水管长l1=4m,压水管长l2=30m,管路直径均为 d=100mm,吸水高度H1=3,压水高度H2=27m 求：工作室中的相对压强。 （1）在吸水行程的起点。 （2）在压水行程的终点。

解：设w为曲柄运动的角速度，则柱塞往复运动的直

2线加速度为?rccos?，于是相应地在管路中产生的流

体运动加速度为

?2rcos?()2Dd。在吸水行程起点和压

水行程终点，cos??1,管路中的速度及水头损失均为零，管路中的速度为：

d?d2??6021412??2r()?()?0.1?()?7.85m/s2dtD60100 根据一元非恒定流体动能量方程，工作室相对压强为： （1）在吸水行程起点，

px??H1?l1dv4??3??7.85?6.02m(水柱)gdt9.8

（2）在压水行程终点，

px?H2?

l2dv30?27??7.85?2.97m(水柱)dt9.8

例3

水箱的正方形断面边长 a=800mm，底部开有直径d=30mm的孔口，流量系数u=0.16，水箱开始是空的，从上面注入固定不变的流量q=2L/S

求：恒定工作状况的水深H值，并计算水深从0升至H低0.1时所需要的时间？

解：恒定工况水深H可由下式计算：

?q??A2gH

q24?16?10?6?H?22??1.10m242?A2g(0.16)?(0.03)??2?9.8 设水深从0升至比H低0.1米处所需要的时间为T，水箱横断面面积为：

F由连续条件得：

(q??A2gh)dt?Fdhdt?Fdh?A2g(H?h)F?T?

?A2g?10dh2?0.821.1?1??(?1?1.1?Ln)?1484(s)?2H?h0.16??(0.03)2?9.81.14

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