2019学年高中数学第一章1.5.3定积分的概念优化练习新人教A版选修

1.5.3 定积分的概念

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．下列结论中成立的个数是( )

i31

①?xdx＝? 3·；

nn?i＝1

n130

i－

②?xdx＝lim 3?n→∞n?i＝1

130

n3

1

·；

ni31

③?xdx＝lim? n3·n. n→∞

?i＝1

n130

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：由定积分的定义，知②③正确，①错误． 答案：C

2.如图所示，?bf(x)dx＝( )

?aA．S1＋S2＋S3 B．S1－S2＋S3 C．－S1＋S2－S3 D．－S1－S2＋S3

b解析：由定积分的几何意义知当f(x)≥0时，?bf (x)dx表示面积S，当f(x)≤0时，?

?a?af(x)dx＝－S.

答案：C

1?i?2*2

3．已知a＝? ??，n∈N，b＝?1xdx，则a，b的大小关系是( )

ni＝1

n?n?

?0

A．a>b C．a

nB．a＝b D．不确定

1?i?2

解析：根据定积分的概念知，a＝? ??表示图1中n个小矩形组成的阴影部分的面

i＝1

n?n?

积，b＝?1xdx表示由曲线y＝x和直线x＝0，x＝1，y＝0围成的图2阴影部分的面积，故

22

?0

a>b，选A.

1

答案：A

??x，x≥0，

4．设f(x)＝?x?2，x<0，?

2

则?1f(x)dx的值是( )

?－1

A. ?0xdx

2

?－1

B. ?02dx

x?－1?－1

C.?0 xdx＋?12dx

2

?－1?0

D. ?02dx＋?1xdx

x2

?0

解析：因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致．利用定积分的性质可得正确答案为D.

答案：D

5．下列命题不正确的是( )

A．若f(x)是连续的奇函数，则?af(x) dx＝0

?－a?－a

B．若f(x)是连续的偶函数，则?af(x)dx＝2?af(x)dx

?0

C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则?bf(x)dx>0

?aD．若f(x)在[a，b)上连续且?bf(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正

?a解析：本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．

答案：D

1

6．若?1f(x)dx＝1，?03f(x)dx＝2，则?1f(x)dx＝________.

?2??

0

－1

－1

1

解析：∵?1f(x)dx＝1，∴?1f(x) dx＝2，

?2?

0

0

2

∵?03f(x)dx＝2，∴?0f(x)dx＝，

3??

－1

－1

2

28

∴?1f(x)dx＝?0f(x)dx＋?1f(x)dx＝＋2＝.

33???

－1

－1

0

8

答案： 3

1

7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．

x1?1?解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为?2xdx－?2dx＝?2?x－?dx.

?1

?1x?1?

x?

?1?答案：?2?x－?dx

?1?

x?

8.?b?aa－xa－xx－bdx＝________.

x－bdx表示由曲线y＝a－xx－b和直线x＝a，x＝b解析：?b?a及x轴围成图形的面积．由y＝所以y＝a－x?a＋b?2＝?b－a?2(y≥0)，

x－b，得y2＋?x－????

2?

?2?

a－xx－b表示以?

?a＋b，0?为圆心，以b－a为半径的上半圆． ?2?2?

故?b?a2

a－xx－bdx表示如图所示的半圆的面积，S半圆

＝π(

b－a12

)×＝22

πb－a8所以?

b，

?aa－xb－a8

2

π

x－bdx＝

b－a8

2

.

π答案：

9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．

3

解析：(1)?π

π

sin xdx. ?3

(2)?2－4dx.

2?

11

(3)－?9(－x)dx＝?9xdx.

2??2

4

4

x2

10．利用定积分的几何意义求?2f(x)dx＋

?－2

??2??2??2x－1，x≥0，

sin xcos xdx，其中f(x)＝?

?3x－1，x<0.?

?2?ππ

解析：?f(x)dx＋∫－sin xcos xdx＝?0(3x－1)dx＋?2(2x－1)dx＋

22???

2－2

－2

0

??2sin

xcos xdx.

∵y＝sin xcos x为奇函数，∴

??2??2sin xcos xdx＝0.

利用定积分的几何意义，如图，

7＋1

∴?0 (3x－1)dx＝－×2＝－8，

2?

－2

1311

(2x－1)dx＝×3×－×1×＝2. ?2222?

20

∴?f(x)dx＋

2

?－2

??2??2sin xcos xdx＝2－8＋0＝－6.

[B组 能力提升]

4

1．已知定积分?6f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，

?0

则?6f(x)dx等于( )

?－6

A．0 C．12

解析：∵被积函数f(x)为偶函数，

B．16 D．8

∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等． ∴?6f(x)dx＝2?6f(x)dx＝2×8＝16.

?－6?0

答案：B

12x2．若S1＝?2xdx，S2＝?2dx，S3＝?2edx，则S1，S2，S3的大小关系为( )

?1

?1x?1

A．S1

B．S2

解析：本题考查定积分几何意义的应用问题．明确定积分中各被积函数在积分区间上所表示的图形是解题的关键．如图所示，可得S2

答案：B 3.?11－x－

2

?0

dx＝________.

解析：函数y＝1－x－

2

的图象是圆心为(1,0)，半径为1的圆的上半部分．由定

1π

积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的，即是.

44

π

答案：

4

4．若?b[f(x)－g(x)]dx＝2，?b[f(x)＋g(x)]dx＝3，则?bf(x)dx＝________.

?a?a?a解析：由已知得?bf(x)dx－?bg(x)dx＝2，?bf(x)dx＋?bg(x)dx＝3，两式联立可得?b?a?a?a?a?af(x)dx＝. 5答案： 2

5

52

5．用定积分的几何意义求下列各式的值． (1) ?1

?－1

4－xdx；

2

(2)

??2??2sin xdx；

(3)

?5?2?2 (1＋sin x)dx.

2

2

2

解析：(1)由y＝4－x可知x＋y＝4(y≥0)，如图所示，

∴?1

?－1

4－xdx等于圆心角为60°的弓形面积CED与矩形ABCD的面积之和

2

1π1π2π2

∵S弓形＝××2－×2×2sin＝－3，

23233

S矩形＝AB·BC＝23，

∴?1

?－1

4－xdx＝23＋

22π2π

－3＝＋3. 33

?ππ?(2)∵函数y＝sin x在x∈?－，?上是奇函数， ?22?

∴

??2??2sin xdx＝0.

(3)函数y＝1＋sin x的图象如图所示，

?5?2?2(1＋sin x)dx＝S矩形ABCD＝2π.

5

6．是否存在常数a，使得?axdx的值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明

?－1

理由．

解析：?axdx表示直线x＝－1，x＝a，y＝0和曲线y＝x所围成的曲边梯形面积的代

5

5

?－1

数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．

6

又f(x)＝x5为奇函数，∴?0x5dx<0，且?0x5dx＝－?1x5dx，∴要使?ax5dx＝0成立，则a＝1，故存在a＝1，使?ax5dx＝0.

?－1?－1?0?－1

?－1

格风言语及句炼）（赏鉴歌诗才仕李【】明说纲考色特术艺会领于重侧，．。巧技达表和言语、象形的品作学文赏鉴：求要纲考】标目习学【。格风言握把和妙之句语的歌诗典古会体．。力能解高提，巧技题答格风言语与句炼歌诗典古握掌习学．。情美审高提，趣兴的歌诗典古读阅发激．】导指法学【。术格风言语的典古记识，歌诗读熟。范规会学法方般一的答作格风言语和句炼握掌，题真战实及”析剖型典“合结】析剖例典【式方问设题句炼）一（义含释解（容内的句语关有）讨探旨主对（感情的句语要重）赏鉴面层术艺（法手的句语键关：式模题答用作或果效达表点特的出指→句语释解隅举术格风言语）二（》遇不者隐寻《岛贾。人近易刻深切真得显描白用或，述陈接直然自素朴质实平》北寄雨夜《隐商李。想者读让中之象形在藏是而，来出说接直思意把不藉蕴婉委永隽蓄含》池小《里万杨。情感悦喜然怡达表，境意美优造营来言语的丽用致雅洁简快明新清》坑书焚《碣章。味和调笔的辣辛或趣风、指多中诗判批刺讽默幽谐诙）卷宁辽年（】例示【耒张山嵩见初。怀我豁山青有赖，埃尘困马鞍来年。来云出瘦清峰数，去雨吹风北暮日谪贬遭累连牵轼受因，一之士学四门苏。人诗宋北耒张注？处何在妙句一”来云出瘦清峰数“）（深掘挖更义层既涵内歌诗理：二果效分后然词的力有富或点特再，法手现种了运虑时。巧技达表与言语赏鉴、用作考要主”处何在妙“问一第】析解【面画合结相态跃、阔广耸尖成层与使予赋静写动字个。奇新语造拔挺的出容形”瘦清“以法手人拟了用运者作感观种这于基，现突中云积片一在峰山峻高①】案答【。答作求要按，诗的面下读阅）卷京北年（】例示【耒张①秸秬示闲得安求男坚当志卑高无业冷单忧我射衣吹行人西东市一歌户出盘捧绝欲声更楼雪如霜落月头城秸秬示警所有且诗作为因。也差少略时而废不风烈寒大虽呼街绕即旦未鼓五每，儿饼卖邻北卿少寺常太官曾家学文名著宋北，。、子二耒张秸秬：释注。析分要简作句体具合结请味韵有富而实平，事叙景写的诗首这）（语之饰修何任无均等西东楼市”户出盘捧“例举。显浅俗通话如白明藻辞丽华有没，实平一点要：案答深意而浅语均表态心忧街”行未人“如他其怀关情同遇际活生儿饼卖对者作露透色的寂空冷清了出画描面方个听和觉视从句两篇开例举。富丰含蕴事叙、景写，味韵有：二点要习学主自

7