导数的应用二教师版

导数的应用（二）

【2013年高考会这样考】了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、

极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题

1．函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这 个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 2．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大 值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小 值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最 小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题 中变量之间的函数关系式y＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小) 值；

(4)回归实际问题作答． 预习检测：

14

1．已知函数f(x)＝x4－x3＋2x2，则f(x) ( )

43A．有极大值，无极小值 B．有极大值，有极小值 C．有极小值，无极大值 D．无极小值，无极大值 答案：C

2x

2．函数y＝2 ( )

x＋1A．最大值为1，无最小值

B．无最大值，最小值为－1 C．最大值为1，最小值为－1 D．无最大值，也无最小值 答案：C

3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是 ( ) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案：C

4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝ 1

－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) 3A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件

解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当 x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C. 答案：C

x2＋a

5．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.

x＋1解析：∵f(x)在x＝1处取极值，∴f′(1)＝0，

2x?x＋1?－?x2＋a?2×1×?1＋1?－?1＋a?

又f′(x)＝，∴f′(1)＝＝0，

?x＋1?2?1＋1?2即2×1×(1＋1)－(1＋a)＝0，故a＝3. 答案：3

考向一 函数的极值、最值与导数 【例1】已知函数f(x)?x?ax?3x。

（Ⅰ）若f(x)在区间(1,??)上是增函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若x??是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)?bx的图像与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

反思感悟：善于总结，养成习惯

运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：

(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查 f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果

3213左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 迁移发散

1.【2012高考真题重庆理8】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f,(x)，且函数y?(1?x)f'(x)的图

像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) （B）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) （C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) （D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 【答案】D

【解析】由图象可知当x??2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.当?2?x?1时，

y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当1?x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.所以函数f(x)有极大值f(?2)，极小值f(2),选D.

2.【2012高考真题新课标理12】设点P在曲线y?（ ）

1xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则PQ最小值为2(A)1?ln2 (B) 2(1?ln2) (C) 1?ln2 (D)2(1?ln2)

【答案】B 【解析】函数y?1xe与函数y?ln(2x)互为反函数，图象关于y?x对称 21xe?x1x1x2 函数y?e上的点P(x,e)到直线y?x的距离为d?

222 设函数g(x)?1x11?ln2 e?x?g?(x)?ex?1?g(x)min?1?ln2?dmin?222 由图象关于y?x对称得：PQ最小值为2dmin?2(1?ln2), 3.【2012高考真题陕西理7】设函数f(x)?xex，则（ ） A. x?1为f(x)的极大值点 B.x?1为f(x)的极小值点 C. x??1为f(x)的极大值点 D. x??1为f(x)的极小值点

[学【答案】D.

【解析】?f(x)?xex,?f'(x)?ex?xex，令f'(x)?0，则x??1，当x??1时f'(x)?0，当x??1时f'(x)?0，所以x??1为f(x)极小值点，故选D. 4.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分) 已知函数f(x)?lnx?k（k为常数，e?2.71828???是自然对数的底数），曲线y?f(x)在点(1,f(1))处xe的切线与x轴平行. （Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设g(x)?(x2?x)f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e?2. 【答案】

5. 函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点p(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行 (1)求a，b；

(2)求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值． 解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax

??f?1?＝0

由已知条件?

?f′?1?＝－3????a＋b＋1＝0?a＝－3

?即，解得? ?2a＋3＝－3???b＝2

.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) f′(x)与f(x)随x变化情况如下： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) f(x) ＋ ↗ 0 2 － ↘ 0 －2 ＋ ↗ 由f(x)＝f(0)解得x＝0，或x＝3 因此根据f(x)的图象

当0

当2

当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为 f(2)＝－2.

6. （2011潍坊期末考试）已知定义在实数集上的函数fn(x)?xn,(n?N?)，其导函数记为fn(x)，且满足fn[ax1?(1?a)x2]?''f2(x2)?f2(x1),

x2?x1其中a、x1、x2为常数，x1?x2．设函数

g(x)?f1(x)?mf2(x)?lnf3(x),(m?R且m?0)．

（I）求实数a的值；

（Ⅱ）若函数g(x)无极值点，其导函数g?(x)有零点，求m的值； （Ш）求函数g(x)在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．

考向四 用导数解决生活中的优化问题

（09年山东）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧

上选择一点C建造

垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧

上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B

的中点时，对城

的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解:（1）如图,由题意知AC⊥BC,BC?400?x,y?其中当x?102时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为y?设

224k?(0?x?20) x2400?x2C x A ,

B 所以

49?(0?x?20) 22x400?x,

则

m?x2,n?400?x24m?(9nm?n?400y?y?m?4n9?)?4m0n0[4?11n03m4?(0m49?,mn94n19m(当?且)仅当]??即?1n4m0n013??n?240时取”=”. ??m?160下面证明函数y?49?在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m400?m设04×240×240 9 m1m2<9×160×160所以

4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,

m1m2(400?m1)(400?m2)所以(m2?m1)494(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0即y1?y2函数y??在(0,160)上为减函数.

m400?mm1m2(400?m1)(400?m2)同理,函数

y?49?m400?m在(160,400)上为增函数,设

160

y1?y2?4(400?m1)(400?m2)?9m1m24949 ??(?)?(m2?m1)m1400?m1m2400?m2m1m2(400?m1)(400?m2)因为16009×160×160 所以

4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,

m1m2(400?m1)(400?m2)494(400?m1)(400?m2)?9m1m2在(160,400)上为增函?0即y1?y2函数y??m400?mm1m2(400?m1)(400?m2)所以(m2?m1)数.

所以当m=160即x?410时取”=”,函数y有最小值, 所以弧

上存在一点，当x?410时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.

【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换

元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 迁移发散

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为

80?立方米，且l?2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已3知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c?3）千元．设该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

4?380804r??(l≥2r)，即l?2?r≥2r，则0?r≤2. 333r380422容器的建造费用为y?2?rl?3?4?r?c?6?r(2?r)?4?rc，

3r3160??8?r2?4?r2c，定义域为{r0?r≤2}. 即y?r解析：（Ⅰ）由题意可知?rl?2（Ⅱ）y???160?203??16?r?8?rcy?0，令，得. r?r2c?2令r?320?2,即c?4.5， c?220≥2,当0?r≤2，y??0，函数y为减函数，当r?2时y有最小值； c?2（1）当3?c≤4.5时，3（2）当c?4.5时，3202020，y??0；当r?3时y??0， ?2,当0?r?3c?2c?2c?2此时当r?320时y有最小值。 c?2方法总结 感悟提升

1．极大值与极小值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质，极大值并不一定大于 极小值，因此应注意理解，并与最值分开．

2．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大 值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．

3．要强调导数的工具性作用，在处理方程的根、不等式恒成立等问题时，注意导数的应用.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vi83.html