2名校2012年领航高考数学预测试卷(6)MM

名校2012年领航高考数学预测试卷（6）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上． 1．

设函数y A．

集合N y|y x2,x R，则M N等于（ ） M，

B．N

C．[1, )

D．M

（ ）

2．已知x R，i为虚数单位，若(1 2i)(x i) 4 3i，则x的值等于 A．－6

B．-2

C．2

D．6

3．已知函数f(x) xsin126 sin(x 36 ) xcos54 cos(x 36 ),则f(x)是 A．单调递增函数 C．奇函数

B．单调递减函数 D．偶函数

（ ）

22

4．若数列 an 满足an 1 an d（d为正常数，n N ）,则称 an 为“等方差数列”.

甲：数列 an 为等方差数列；乙：数列 an 为等差数列，则甲是乙的 A．充分不必条件 C．充要条件

B．必不充分条件

D．既不充分也不必要条件

（ ）

5．m、n是不同的直线， 、 是不重合的平面．下列命题为真命题的是 A．若m∥ ， m∥n，则 n∥ B．若m⊥ ,n⊥ 、则n⊥m

C．若m⊥ ,m∥ ,则 ⊥

1be

ax

（ ）

D．若 ⊥ ,m ，则 m⊥

6．若函数f(x)

22

的图象在x 0处的切线l与圆C:x y 1相离，则P(a,b)与

圆C的位置关系是 A．在圆外

B．在圆内

C．在圆上

3)的值为

D．不能确定 D． 1

3

（ ）

1x

(),x 4

7．已知函数f(x) ，则f(2 log 2

f(x 1),x 4

2

（ ）

A． 1

24

B．

112

C． 1

6

2

8．已知抛物线y 4x上一点，A(x0,y0)，F是其焦点，若y0 [1,2]，则|AF|的范围是

1

B．[,2]

45

C．[1,2]

D．[2,3]

（ ）

A．[,1]

4

9．设f(x)

1x

2

,M f(1) f(2) f(2009)则下列结论正确的是

40172009

40172009

（ ）

A．M 1 B．M C．M<2 D．M

10．函数y sinx和y cosx的图象在[0,8 ]内的所有交点中，能确定的不同直线的条数

是 A．28

B．18

C．16

D．6

（ ）

11．已知函数f(x) x2 2|x|，方程|f(x)| a有6个不同的实根．则实数a的取值范围

是

A．a 1

D．a 1

（ ）

B． 1 a 0 C．0 a 1

12．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，

由下往上的六个点：l，2，3，4，5，6的 横、纵坐标分别对应数列 an (n N)

的前l2项（即横坐标为奇数项，纵坐标为 偶数项），按如此规律下去，

则a2009 a2010 a2011等于 （ ）

A．1003 C．1006

B．1005 D．2012

二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.

13．已知某个几何体的三视图如图所示．根据图中标出的尺寸（单位：cm）．可得这个几何

体的体积是 cm．

14．若函

数

3

f(x) 1 c8x c8x c8x(x R),则log2f(3) .

12288

15．阅读左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是

2x y 4 0

16．在不等式组 所表示的平面区域内,求点（x,y）落在x∈[1，2]区域内的

x y 3 0

概率是 ．

三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程

或推演步骤． 17．（本题满分12）

已知f(x) m n,

其中m (sin x cos x, x),

n (co sx

2

s inx,2 sixn ).(若f(x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于

.

（1）求 的取值范围

（2）在 ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边．

且a

最大时．求 ABC面积．

18．（本题满分12分）

b c 3,f(A) 1，当

如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD A1B1C1D1，经平面AEFG

所截后得到的图形．其中 BAE GAD 45，AB 2AD 2， BAD 60. （1）求证：BD 平面ADG；

（2）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

19．（本题满分12分）

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数．并说明它在乙组数

据中的含义；

（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学

生参加合适?请说明理由；

（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩

中高于80分的次数为 ，求 的分布列及数学期望.E

20．（本题满分12分）

设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：

（1）求C1、C2的标准方程；

（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N,且OM ON 0，请问是否存在这样的

直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21．（本题满分12分）

已知函数f(x) e x （e为自然对数的底数）． （1）求f(x)的最小值；

（2）不等式f(x) ax的解集为P，若M x|

1

x 2 且M P 求实数a的2

x

取值范围；

（3）已知n N ，且Sn

n0f(x)dx，是否存在等差数列 an 和首项为f(1)公比大

于0的等比数列 bn ，使得an bn Sn？若存在，请求出数列 an 、 bn 的通项公式．若不存在，请说明理由．

22．选修4—1：几何证明选讲

如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证:BE CE EF EA。

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程.

x 3 2cos 已知曲线C： ( 为参数，0≤ <2π)，

y 1 2sin

A

（Ⅰ）将曲线化为普通方程；

（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．

24．选修4—5：不等式选讲

若关于x的不等式x x 1 a有解，求实数a的取值范围。

参考答案

一、选择题DCDDC BABCB CB 二、填空题 13．

43

14．16 15．2 16．

27

三、解答题

22

17．解：（1）f(x) cos x sin x 23cos xsin x

cos2 x 3sin2 x 2sin(2 x

6

) 3分

由题意知

2

2

, 0 0 1. 6分

（2）由于f(A) 2sin(2 A

4

12

6

) 1，由于（1）知 的最大值为1，

sin(2A ) ,又

6

2A

6

136

, 2A

6

56

, A

3

22

由余弦定理得b c bc 3，又b c 3 (b c) 3bc 3

bc 2, S ABC

12

bcsinA

32

12分

18．（1）证明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，

由余弦定理得，BD=3

AB

2

AD

2

BD.

2

∴AD⊥BD 2分 又OD⊥平面ABCD ∴GD⊥BD， GD AD=D，

∴BD⊥平面ADG 4分

（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz 则有A（1，0，0），B（0，3，0），G（0，0，1），E（0，3,2） AG ( 1,0,1),AE ( 1,3,2) 6分

设平面AEFG法向量为m (x,y,z) m AG x z 0

, 则

m AE x 3y 2z 0

取m (1,

33

.1) 9分

平面ABCD的一个法向量n DG (0,0,1) 10分 设面ABFG与面ABCD所成锐二面角为 ， 则cos

|m n||m| |n|

217

12分

19．解：（1）茎叶图如下：

学生乙成绩中位数为84，它是这组数据最中位位置的一个数或最中间位置的两个数的平均数，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中。 4分

2分

（2）派甲参加比较合适，理由如下：

x甲

181818

(70 2 80 4 90 2 9 8 8 4 2 1 5 3) 85

x乙

2

(710 1 80 4 90 3 5 3 5 3 5)=85 5分

S甲

(78 85) (79 85) (80 85) (83 85) (85 85)

2

2

2

22222

(90 85) (92 85) (95 85)]=35.5 S乙

2

18

[(75 85) (80 85) (80 85) (83 85) (85 85)

2

2

2

22222

(90 85) (92 85) (95 85)]=41 7分 x甲 x乙,S甲 S乙

2

2

∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适 8分 （3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A， 则P(A)

68 34

9分

随机变量 的可能取值为0，1，2，3， 且 服从B（3,

34

）

33 k133

P( k) C3() (1 ),

44

k=0，1，2，3 的分布列为

E 0

164

1

34

964

2 94

2764

3

2764

94

12分

（或E np 3 ）

y

2

20．解：（1）设抛物线C2:y 2px(p 0)，则有

2

x

2p(x 0)，据此验证5个点知

2

只有（3， 23）、（4，-4）在统一抛物线上，易求C2:y 4x

2分

设C2:

xa

22

yb

22

(a b 0)，把点（-2，0）（2，

22

）代入得

4

a2 1解得 a2

4

2 a

12b2 1 b2

1

22

∴C2方程为

x

4

y

2

1 分

（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0） 设其方程为x 1 my,设M(x1,y1),N(x2,y2)， 由OM ON 0。得x1x2 y1y2 0(*)

分

由 x 1 my x2消去x，得(m2 4)y2 2my 3 0,△ 16m2 48 0

4

y2

1 ∴y31 y2m2

m

2

4

,y1y2

m

2

4

①

x(y2

1x2 (1 my1)(1 my2) 1 m1 y2) my1y2;

1 m

2mm

2

m2

4

m2

3m2

4

4 4m2

4

② 9分

将①②代入（*）式，得 4 4m

2

m2

4

3m2

4

0

解得m 12

11分

假设成立，即存在直线l过抛物线焦点F

l的方程为：2x y 2 0 12分

21．解：（1）f(x) ex

1 1分 由f(x) 0,得x 0.当x 0时,f(x) 0；当x 0时,f(x) 0.

f(x)在(0, )上增,在( ,0)上减 f(x)min f(0) 1 4分

（2） M P ， f(x) ax在区间[1

2

,2]有解

x

由f(x) ax,得ex

x ax即a

e

x 1在[1

2

,2]上有解 6分 5

7

令g(x)

1

e

x

1,x [,2] g(x) x2

e

2

1(x 1)e

x

2

x

， g(x)在[,1]上减，在[1，2]上增

2

1

1

又g() 2e 1,g(2) 1，且g(2) g() g(x)max g(2) 1

2222 a

e

2

e

2

2

1 8分

（3）设存在公差为d的等差数列{an}和公比q 0首项为f(1)的等比数列{bn}，使

an bn Sn

Sn

n

f(x)dx

n0

(e x)dx (e

xx

12

x c)|0 e

32

2nx

12

n 1 10分

2

b1 f(1) e 1 a1 b1 s1即a1 e 1 e

a1

12

12

n 1

又n 2时，an bn sn sn 1 e(e 1) n

故n 2,3时有

1212

d (e 1)q e(e 1) 2d (e 1)q

2

2

32

52

①

②

e(e 1)

②-①×2得，q2 2q e2 2e解得q e或q 2 e（舍） 故q e,d 1 12分此时an

bn (e 1) e

n 1

12

(n 1)( 1) 12

12

n

且an bn (e 1)e

n 1

n Sn

存在满足条件的数列{an}和{bn},使an bn sn 14分

22．选修4-1：几何证明选讲

证明：（方法一）因为Rt ABC中, ABC 90 所以OB CB

所以CB为⊙O的切线 2分 所以EB=EF·FA 5分 连结OD，因为AB=BC 所以 BAC 45 所以 BOD 90

2

在四边形BODE中， BOD OBE BED 90 所以BODE为矩形 7分 所以BE OD OB 即BE CE.

所以BE CE EF EA. 10分

12AB

12BC.

（方法二）因为Rt ABC中, ABC 90

所以OB CB，所以CB为⊙O的切线 2分 所以EB2=EF·FA 5分 连结BD，因为AB是⊙O的直径， 所以BD AC. 又因为AB=BC，

所以AD=BD=DC。 7分 因为DE BC，所以BE=CE。 所以BE CE EF EA. 10分

5分 10分

23．（Ⅰ）x2 y2 23x 2y 0 （Ⅱ） 2

3cos sin

24．选修4-5：不等式选讲

解：（方法一）当x≥1时，不等式化为x+x-1≤a，即x≤

此时不等式有解当且仅当1≤

1 a2

1 a2

． 2分

，即a≥1． 4分

当x<1时，不等式化为x+1-x≤a，即1≤a． 6分 此时不等式有解当且仅当a≥1． 8分 综上所述，若关于x的不等式x x 1≤a有解，

则实数a的取值范围是 1, ． 10分

2x 1,(x 1),

f(x) f(x) x x 1)（方法二）设，则 5分

1,x 1.

f(x)的最小值为1。 7分

因为x x 1≤a有解，即f(x)≤a有解，所以a≥1。 10分

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