8019直线与圆及圆与圆的位置关系(北)

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直线与圆及圆与圆的位置关系

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

直线与圆及圆与圆的位置关系

二. 学习目标：

1、能根据给出的直线和圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2、在学习过程中，进一步体会用代数方法处理几何问题的思想； 3、进一步体会转化、数形结合等数学思想和方法。

三. 知识要点：

1、直线和圆的位置关系

设△是联立直线方程与圆的方程后得到的判别式，dO－L是圆心O到直线L的距离，则有：

直线与圆相交：有两个公共点——△>0——dO－L∈[0，R]； 直线与圆相切：有一个公共点——△＝0——dO－L＝R； 直线与圆相离：无公共点——△<0——dO－L>R.

2、圆与圆的位置关系

两圆相交：有两个公共点——△>0——dO－O’∈[|R－r|，R＋r]； 两圆外切:有一个公共点——△＝0——dO－O’＝R＋r； 两圆内切:有一个公共点——△＝0——dO－O’＝|R－r|； ④两圆相离:无公共点——△<0——dO－O’>R＋r; ⑤两圆内含：无公共点——△<0——dO－O’<|R－r|.

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【典型例题】

考点一 研究直线与圆的位置关系

例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x2＋y2＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。

法一：设直线L的方程为：y＝k（x＋2），与圆的方程联立，代入圆的方程令△>0可

得：。

法二：设直线L的方程为：y＝k（x＋2），利用圆心到直线的距离dO－L∈[0，R]可解

得：。

考点二 研究圆的切线

例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围。 分析：作出图形后进行观察，以找到解决问题的思路。

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解：曲线

即x2＋y2＝1（x≥0），当直线y＝x＋b

与之相切时，满足：由观察图形可知： 当

或

时，它们有且仅有一个公共点。

例3 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的方程。 解：因P点在圆上，故可求切线L的方程为x＋2y＝5。

说明： 过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P（x0，y0）的切线方程为：

如果是过圆外一点作圆的切线，其切线方程的求解应利用△＝0或利用圆心到直线的距离等于半径进行。

考点三 求圆的切线长

例4 过点P（2，3）作圆x2＋y2＝5的切线L，切点为M，求切线段LM的长。 分析：数形结合，构造三角形求LM，如图。

解：

说明：自圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点P（x0，y0

）向圆所引切线段的长为：

考点四 研究两圆的位置关系

例5 求过两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交点且与直线的方程。

解：设所求圆的方程为x2＋y2－1＋λ（x2＋y2－4x）＝0，整理后得：

相切的圆

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因为该圆与直线

相切，故圆心到直线的距离等于半径，即：

代入即可得所求圆的方程为：3x＋3y＋32x－11＝0.

说明：

利用过两圆交点的圆系方程求解比较简洁。过两定圆

2

2

交点的圆系方程为：

，λ、μ不同时

为0，两边同除以λ（或μ），则该方程只有一个待求参数。

考点五 研究两相交圆的公共弦所在直线方程

例6 求两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交点弦所在的直线方程。

解：联立两圆方程，消去平方项得4x－1＝0即为交点弦所在的直线方程。 说明：相交两圆的公共弦或相外切两圆的内公切线或相内切两圆的公切线所在的直线方程的求解均可采用“交轨法”，将两圆方程的平方项消去，所得的二元一次方程即为所求的直线方程。

考点六 与圆有关的其它问题

例7 求圆x2＋y2－4x＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程。

解：圆x2＋y2－4x＝0的圆心为P（2，0），半径为2；P关于直线x－y＝1对称的点Q的坐标可求得为（1，1），故所求对称圆的方程为：

（x－1）2＋（y－1）2＝4

说明：关于直线对称的两圆半径是相同的，其圆心关于该直线对称，故只需求出圆心的对称点即可。

例8 已知点P的坐标满足x2＋y2－4x＝0，M（8，6），求PM的中点Q所在的曲线方程。 解：设点Q（x，y），P（x0，y0），则由Q是PM的中点知：x0＝2x－8，y0＝2y－6。 又P在x2＋y2－4x＝0上，故有（2x－8）2＋（2y－6）2－4（2x－8）＝0，整理即得Q点所在曲线方程为：x2＋y2－10x－6y＋33＝0。

本讲涉及的主要数学思想方法

本讲涉及的主要数学思想方法是解析法，用代数的方法研究圆的有关性质，主要过程是建系——设点——列等式——代入坐标，需要注意的是，如果题目条件中已经出现了点的坐标或曲线方程，则表明坐标系已给出，解题时不必再另外建立坐标系。

所有平面解析几何问题的研究都蕴涵着丰富的数形结合的思想，要注意结合条件画图，结合图形分析几何元素间的联系以寻找变量之间的联系，从而迅速发现解题思路（几何的或代数的）。

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另外，本讲涉及求曲线方程的待定系数法（如例5）、相关点法（如例8）、交轨法（如例6）等都是常用的曲线方程的求法，要注意熟悉和掌握。

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一、选择题

1. （2008全国一）若直线A.

B.

与圆

C.

的直线与曲线

有公共点，则（ ）

D.

2. （2008安徽）若过点率的取值范围为（ ）

A.

B.

有公共点，则直线的斜

C.

D.

垂直的直线方程

3. （2008广东）经过圆是（ ）

A.

B.

的圆心C，且与直线 C.

与直线

D.

4. （2008辽宁）圆A. C.

没有公共点的充要条件是（ ）

和轴相切，

B.

D.

5. （2008山东）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线则该圆的标准方程是（ ）

A.

B.

C.

6. （2008陕西）直线A.

或

B.

D.

与圆

或

C.

与圆

或

相切，则实数

D.

等于（ ）

或

，则圆

7. （2008四川题改编）已知直线上各点到的距离的最小值为（ ）。

A. 1 B. 2

C.

D

二、填空题

8. （2008福建）若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是。 9. （2008天津）已知

圆

与圆

三、解答题

相交于

的圆心与

点两点，且

关于直

线，则圆

对称. 直

线

的方程为 。

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10、已知点P（x，y）满足x2＋y2＝1，求点P到直线L：x＋2y＝4的距离的最值并求此时点P的坐标。

*11、（2008北京卷7改编）过直线线

，当直线

关于和满足

上的一点作圆

的两条切

对称时，求它们之间的夹角。 且与直线

，求

相切的圆的方程。

的取值范围。

12、求过点*13、已知实数 【试题答案】

一、选择题

1—5 DDCBB 6—7 AC

二、填空题 8、9、

三、解答题 10、由圆心向直线作垂线，则与圆相交的两个交点分别是圆上点到直线距离的最小和最大值，如图：

易求得最小值为最大值为

，此时点P的坐标为，此时点P的坐标为

；

；

11、若两切线关于直线y＝x对称，则连接圆心和交点得直线m，显然，两切线关于直线m也对称，从而km＝－1，故可求得切线与y＝x的交点为（3，3）。故可设切线方程为：y

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－3＝k（x－3），利用圆心到切线距离等于半径可得：k1＋k2＝－4，k1 k2＝1，代入两相交直线的夹角公式：

＝60°

12、解：圆心显然在线段

，得

的垂直平分线

上，设圆心为，而

所求圆的方程为13、解：令而相切时的斜率为

，

则可看作圆

。

。

上的动点到点

的连线的斜率，，半径为

，则

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