课时作业29 数系的扩充与复数的引入

课时作业29 数系的扩充与复数的引入

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．若复数z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是( )

A．－3 C．3或－1

B．－3或1 D．1

解析：若复数z为纯虚数，则需满足a2＋2a－3＝0且a＋3≠0，解得a＝1.不要忽视虚部不等于零的条件.

答案：D

2．(2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

解析：(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应复平面内点的坐标为(3，－4)位于第四象限．

答案：D

3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( ) A．－1＋i C．1＋i

B．－1－i D．1－i

2i 1＋i 2i解析：由题意得z＝＝－1＋i.故选A.

1－i 1－i 1＋i 答案：A

4．(2013·安徽卷)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·z i＋2＝2z，则z＝( )

A．1＋i C．－1＋i

B．1－i D．－1－i

解析：令z＝a＋bi，则z＝a－bi，代入z·z i＋2＝2z得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi得a2＋b2＝2b；2a＝2，解得a＝1，b＝1，则z＝1＋i.故选A.

答案：A

5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )

A．－4 C．4

4

B．－5 4D.5

5＝3－4i

解析：|4＋3i|＝4＋3＝5，所以(3－4i)z＝5即z＝5 3＋4i 344

＋，所以z的虚部为5故选D.

3－4i 3＋4i 55

答案：D

7＋iπ5π

6．设复数z＝isinθ，其中i为虚数单位，θ∈[－66]，

3＋4i则|z|的取值范围是( )

A．[1，3] 13

C．[25]

B．[15] 5

D．[25]

7＋i 7＋i 3－4i

解析：z－isinθ＝isinθ 253＋4i＝1－(sinθ＋1)i，|z|＝1＋ sinθ＋1 ，

π5π15

∵θ∈[－66]，∴－2sinθ≤1，|z|∈[25]．

答案：D

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．设复数z＝2－i，若z·(a＋i)为纯虚数，则实数a的值为________．

解析：∵z·(a＋i)＝(2－i)(a＋i)＝2a＋1＋(2－a)i为纯虚数，∴

2a＋1＝0，1 ∴a＝－2. 2－a≠0，

1

答案：－28．(2013·天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.

解析：(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，由复数的运算法则可得

a－1＝0 a＝1， 解得 所以a＋bi＝1＋2i. a＋1＝b b＝2，

答案：1＋2i

3

1＋x x∈R

9．已知定义在复数集C上的函数满足f(x)＝ x

1＋i| x R

，

则f(f(1－i))等于________．

1－i－2i

解析：由已知得f(1－i)＝|＝|2＝|－i|＝1，

1＋i∴f(1)＝1＋13＝2，即f(f(1－i))＝2. 答案：2

三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)

10．(15分)计算：(1)

－1＋i 2＋i

i

1＋2i 2＋3 1－i (2)

2＋i1－i1＋i(3)＋ 1＋i 1－i 13i. 3＋i 2

－1＋i 2＋i －3＋i

解：(1)＝1－3i. i－i 1＋2i 2＋3 1－i －3＋4i＋3－3ii(2)＝2＋i2＋i2＋ii 2－i 12

＝5＝55i.

1－i1＋i1－i1＋i(3)＋ 1＋i 2 1－i 22i－2i1＋i－1＋i＝＋21. －2

1－3i 3＋i －i －i＝3＋i 23＋i 23＋i －i3－i 13＝4－4i. 4

32211．(20分)复数z1＝(10－a)i，z2＝(2a－5)i，求z

a＋51－a

1＋z2是实数，求实数

a的值．

32 322

解：z1＋z2＝(a－10)i＋(2a－5)i＝ a＋5＋1－a＋

a＋51－a

a－13

[(a－10)＋(2a－5)]i＝(a2＋2a－15)i.

a＋5 a－1

2

∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3. ∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.

——创新应用——

12．(20分)设复数z＝－3cosθ＋2isinθ. 4

(1)当θ3时，求|z|的值；

θ2cos22－1

(2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，4解：(1)∵θ＝3π，

443

∴z＝－3cos3π＋2isin3π＝23i， ∴|z|＝

321 22＋ － 2＝2.

π2sin θ4(2)由条件得－3cosθ＋3×2sinθ＝0， 1

∴tanθ＝2

cosθ12

＝3.

sinθ＋cosθtanθ＋1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vhw1.html