第2章 时域离散信号和系统的频域分析

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时域离散信号和系统的频域分析

第二章 时域离散信号和系统的频域分析

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第2章

时域离散信号和系统的频域分析

2.1 引言信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法 和变换域分析方法。

连续系统： 时域分析微分方程

傅利叶变换、拉氏变换

代数方程

离散系统： 时域分析

傅利叶变换、Z变换

差分方程

代数方程2/115

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序列的傅利叶变换 序列傅利叶变换的性质 序列的Z变换 不同形式序列的Z变换及其收敛域 Z逆变换 Z变换的性质 系统函数与频率特性

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§2.2

序列的傅利叶变换

2.2.1 序列的傅里叶变换的定义 众所周知，连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为：

而F(jΩ)的傅里叶反变换定义为

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离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为：DTFT(2.2.1)

只有当序列x(n)绝对可和，即(2.2.2)

x(n)的傅里叶变换才存在且连续。 X(ejω)的傅里叶反变换定义为(2.2.4) 5/115

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在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱， ω为数字域频率。X(ejω)一般为复数，可用它的 实部(Real)和虚部(Imaginary)表示为：

或用幅度和相位表示为：

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设x(n)=anu(n),0<a<1,求x(n)的FT。X (ejω

)

n

a1

n

u ( n )e

jω n

( aen 0

jω

)

n

1 ae

jω

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离散时间信号的傅里 叶变换具有以下两个 特点：

(1)X(ejω)是以2π为周 期的ω的连续函数。 (2)当x(n)为实序列时， X(ejω)的幅值 |X(ejω)|在 0≤ω≤2π区间内是 偶对称函数，相位 arg[X(ejω)]是奇对称 函数。8/115

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2.2.2 序列傅利叶变换的性质

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当ω=0时，它是常数序列；随着ω的增加，信号 的震荡速率增加，直到ω=π时，达到离散时间 序列的最高振荡速率。当ω继续增加，其振荡速 率反而下降，直到ω=2π时，它又回到常数序列。

当ω等于2π的整数倍时，虚指数序列为常数序列， 在这些频率附近是变化较慢的低频序列，而在ω等 于π的奇数倍时，都是离散时间虚指数序列的最高 振荡频率，附近是高频序列。

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1. 傅利叶变换的周期性

e

j ( ω 2 kπ ) n

e

jω n

k 0 , 1, 2

角频率ω每改变2π及其整

数倍时都呈现同一个 虚指数序列。因此在研究虚指数序列时，只要在 ω的某个2π区间内考察即可。一般选这个区间 为-π<ω<π,或0<ω<2π,并称为离散时间频率 ω的主值区间。数字域频率和模拟域频率的关系? 数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率， 所以数字域频率并不是象模拟域频率越来越大。 13/115

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X (e )

j

n

x (n )e

j ( 2 M ) n

,

M为整数

(2.2.6)

序列傅列变换是以2π为周期的函数。 当ω=0,±2π,±4π… 点上表示x(n)的直流 分量，离开这些点越远，其频率越高； 当ω=(2M+1)π时，代表最高频率信号(见前面 的例子)。

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2. 序列的傅里叶变换的线性

(2.2.7)

3.时移与频移时间移位 = 频率相位偏移

(2.2.8) (2.2.9)

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4.时域卷积 设

则(2.2.32)

5.频域卷积定理设

则(2.2.33) 16/115

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6. 帕斯维尔(Parseval)定理n

2

x(n )

1 2

x(e

j

2

d

2

证明：

x(n )

n

n

x (n ) x (n ) *

n

x ( n )[

*

1 2

X (e

j

)e

j n

d )]

1 2 1 2

X (e

j

)

n j * j

x (n )e

j n

d 1 2

X (e

) X (e

)d

X (e

j

2

) d

说明：信号时域的总能量等于频域的总能量。17/115

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7.序列的傅里叶变换的对称性 共轭对称序列：x e (n) x e ( n) xo ( n)

jy

共轭反对称序列： x o ( n )

x

对于实序列来说，xe(n)为偶对称序列，xo(n)为奇 对称序列。

时域序列的对称性xe(n)=xer(n)+jxei(n) xe ( n) xe ( n) xer ( n) xer ( n), xei ( n) xei ( n)

x*e(-n)=xer(-n) - jxei(-n)

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共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。 同理，共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是 偶函数。以上反之也成立。 xo(n)=xor(n) + jxoi(n) x o ( n) x ( n) xor ( n) xor ( n), xoi ( n) xoi ( n) o

x*o(-n)=xor(-n) - jxoi(-n)

例2.2.2

试分析x(n)=e jωn的对称性

解： x(n)=cosωn+j sinωn 其实部是偶函数，而虚部是奇函数,是共轭 对称序列。19/115

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对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和 表示，即：(2.2.16)

x ( n) xe (n) xo (n)

可得：(2.2.18) (2.2.19)

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时域

离散信号和系统的频域分析

频域函数的对称性序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)可以被分解成共 轭对称分量与共轭反对称分量两部分之和，即

同样有：

若X(ejω)是实函数：且满足共轭对称，则称为频率的 偶函数；若满足共轭反对称，则称为频率的奇函数。21/115

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