1.2.2 空间中的平行关系 - 图文

张喜林制

1.2.2 空间中的平行关系

教材知识检索

考点知识清单

1．平行直线

(1)在空间中两条不重合的直线有三种位置关系： 、 、 . (2)在同一平面内不相交的两条直线叫做 ． (3)过直线外一点 一条直线与已知直线平行． (4)公理4． .

(5)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别 ，并且____相同，那么这两个角____． 2．直线与平面平行

(1)直线与平面的位置关系有：

如果一条直线和一个平面有两个公共点，则这条直线 ，记作____；

如果一条直线和一个平面有且只有一个公共点，则这条直线 ，记作____； 如果一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线____，记作 ． (2)直线与平面平行： a．判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线____，那么这条直线和这个平面____． b．性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面____，那么这条直线就

和两平面的, ． 3．平面与平面平行

(1)平面与平面的位置关系有：

如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做____，记作 ； 如果两个平面有公共点，那么这两个平面有____． (2)平面与平面平行：

a．判定定理：如果一个平面内有两条____直线平行于另一个____，那么这两个平面 b．性质定理：

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 ．

要点核心解读

1．空间中的平行直线

(1)空间中两条不重合的直线有三种位置关系：相交直线：同一个平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一个平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．

(2)平行线公理：平行于同一条直线的两条直线平行，平行线公理也叫空间平行线的传递性． (3)空间中两直线平行的证明方法．

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证明空间中的两条直线平行，方法很多，到本节为止，我们只能用两种方法证明空间中两条直线平行． ①定义法

用定义证明两条直线平行，需要证明两个方面：a．两直线在同一平面内；b．两直线没有公共点． ②公理法

用公理证明两条直线平行，只需做一件事，那就是找媒介．两条直线a与b可能受空间几何体的阻隔，很难看出它们是平行的，可是c//a，c∥b可能很容易被看出来，这样通过公理便得知a//b. (4)等角定理及其推论．

定理：如果一个角的两边和另一个角的两边对应平行并且方向相同，那么这两个角相等，

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等， 说明：事实上，如果一个角的两边和另一个角的两边对应平行，且方向都相反，这两个角也相等；方向一同一反时，这两个角互补． 2．直线与平面平行

(1)直线和平面的位置关系．

空间中的一条直线和一个平面的位置关系，以它们的公共点的个数的不同来分类，

?直线和平面平行??无公共点? ?直线和平面相交??有且只有一个公共点

?直线在平面内??有无数个公共点?直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． (2)直线和平面平行的判定定理．

如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行， ①此定理常常表述为“若线线平行，则线面平行”，

符号表示为：a//b,a???,b???a//?.

②用该定理判断线面平行，必须满足三个条件：第一，直线口在已知平面外；第二，直线6在已知平面内；第三，两直线平行，这三个条件是缺一不可的．

③该定理的作用：证明线面平行．应用时，只需在平面内找到一条直线与平面外的直线平行即可． (3)直线和平面平行的性质定理，

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行， ①此定理常常表述为“若线面平行，则线线平行”．

符号表示为：a//?,a??,????b?a//b.

②定理中有三个条件：直线a和平面α平行，平面α、β相交，直线a在平面β内， ③作用：证明线线平行．

应用时，需要经过直线找平面或作平面，即以平面为媒介证明两线平行，初学者常常这样做：已知直线a与平面α平行，在α内作一条直线a与α平行．这种做法是不可取的，这是一个成立而需要证明的命题，是不可直接应用的，正确的做法是：经过已知直线作一个平面和已知平面相交，这时交线和已知直线平行．(4)直线和平面平行的判定定理和性质定理的关系，直线和平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用，要防止判定定理和性质定理的错用，它们有如下关系：线线平行判定定理，线面平行性质定理，线线平行

3．平面与平面平行

(1)两个平面的位置关系．

①两个平面平行——没有公共点；

②两个平面相交——有一条公共直线．(2)两个平面平行的判定定理．

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

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①此定理用符号表示为：a??,b??,ab?A,且a//?,b//???//??

②利用判定定理证明两个平面平行，必须具备两个条件：有两条直线平行于另一个平面；这两条直线必须相交，这两个条件缺一不可．

③此定理常常表述为“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面．

(3)两个平面平行的性质定理．

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

①此定理用符号表示为：?//?,?????a,????b?a//b.

②此定理常常表述为“面面平行，则线线平行”，必须注意这里的“线线平行”是指同一平面与已知两平行平面的交线，

③关于两个平面平行的性质还有如下结论：

两个平面平行，其中—个平面内的直线必平行于另—个平面 (4)空间平行关系的转化，

典例分类剖析

考点1 公理4的应用

命题规律

证明图形中的两条直线平行或借助平行线的证明判定图形是平行四边形或梯形。

[例1] 如图1-2 -2 -1所示，已知E、F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点，G、H分别是边CD与AD上靠近D的三等分点，求证：四边形EFGH是梯形．

[答案] 连接AC.在△ABC中，

∵ E、F分别是AB、BC边上的中点，

?EF//1AC. 2DHDG1??, DADC3又在△ACD中，G、H分别是CD、AD边上的三等分点，则

1?GH//AC.

3?EF//GH且EF??GH,即四边形EFGH是梯形．

[点拨] 要证明四边形EFGH是梯形，需证一组对边平行且不相等，这既是梯形的定义，也暗含四边形EFGH是平面图形．在证明线线平行时常要用到公理4．

母题迁移 1．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、CC1的中点．求证：BF//ED1?

考点2 线面平行问题

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命题规律 （1）证明线面平行

（2）利用线面平行的性质证明线线平行。

[例2] 如图1-2 -2 -2所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交AB,M?AC,N?FB, 且AM?FN,求证：MN//平面BCE.

[答案] 证法一：作MP//AB交BC于P,NQ//AB交BE于Q，

??FN,AC?BF, 则MP//NQ??AM?CM?BN.

MPCMNQBN??,?,?MP?NQ.?MP//NQ,则四边形MNQP为平行四边形， ABACBFBF?MN//PQ?

?MN??平面BCE,PQ?平面BCE,

?MN//平面BCE.

证法二：如图1-2 -2 -3所示，连接AN并延长交BE的延长线于G，连接CG.

?AF//BG, ?ANFNAM??, NGNBMC?MN//CG.

?MN??平面BCE, CG?平面BCE,

?MN//平面BCE.

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[点拨] (1)本题的证法一通过转化为证明四边形MNQP为平行四边形，得线线平行；而证法二中，利用同一平面内若截得的线段成比例，则两直线平行．

(2)应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面和已知平面的交线． 母题迁移 2．如图1-2 -2 -4，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，肘是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.

考点3 面面平行问题

命题规律 （1） 证明两个平面平行.

（2） 利用面面平行的性质证明线面平行和线线平行.

[例3] 如图1-2 -2所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1 的中点．求证：平面AMN／／平面EFDB.

[答案] 如图1-2 -2 -5所示，连接MF．

∵ M、F是A1B1、C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，

?MF//A1D1?

又?A1D1//AD,?MF//AD,

∴ 四边形AMFD是平行四边形，?AM//DF. ∵ DF?平面EFDB．AM?平面EFDB，

∴ AM／／平面EFDB.易证，AN//平面EFDB.

又AM、AN?平面AMN,AM?AN?A.

∴ 平面AMN//平面EFDB.

[点拨] (1)利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：①有两条直线平行于另一个平面；②这两条直线必须相交．(2)面面平行的性质定理可以作为线面平行的判定定理．

母题迁移 3．设AB、CD为夹在两个平行平面al.p之间的线段，且直线AB、CD为异面直线．肘、P分别为AB、CD的中点．求证：直线MP∥平面?. 考点4 平行关系的综合问题 命题规律

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借助线线平行的公理、线面平行的判定与性质和面面平行的判定与性质等定理，证明平行关系或计算线段的长.

[例4] 如图1-2 -2 -6所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、

AA1的中点，求证： (1)BF//HD1;

(2)EG//平面BB1D1D; (3)平面BDF//平面B1D1H.

[解析](1)根据题设可证四边形HMC1D1是平行四边形，然后由公理4即可得证；

(2)需证EG与平面BDD1B1内的某一直线平行，注意到E、G均为棱的中点，可考虑连接OE、D1O, 转化为证平面OEGD1是平行四边形即可； (3)可运用面面平行的判定定理． [答案] (1)如图1-2 -2 -6所示．

取B1B的中点M，易证HMC1D1是平行四边形．

?HD1//MC1,yMC1//BF,?BF//HD1?

(2)取BD的中点O，则OE//1DC. 2又D1G//1DC,?OE//D1G. 2∴ 四边形OEGD1是平行四边形，?EG//D1O.

又D1O?平面BB1D1D,?EG//平面BB1D1D.

(3)由(1)知D1H//BF,同理可证，B1D1//BD.

又B1D1、HD1?平面HB1D1,BF.BD?平面BDF．且B1D1∴ 平面BDF//平面HB1D1?

[点拨] 证明平行问题，一般来说就是要证线线平行，事实上线面平行，面面平行都可转化为证线线

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?HD1?D1,DB?BF?B.

平行．如果已知线面平行，面面平行也可用来证线线平行，要注意掌握它们之间的相互转化原理．

母题迁移 4．如图1 -2--2 -7，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、．D均在平行四边形ABCD/所确定的平面?外，且AA、BB/、CC/、DD/互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形． 、////

[例5] 如图1-2 -2 -8所示，四边形ABCD和四边形ABC1D1是不共面的两个正方形，BE?C1F,且

E?BD,F?AC1,求证：EF//平面AD1D.

[解析] 证线面平行，常转化为证线线平行．由于图中没有与EF平行的直线，故需作辅助线（面），在平面AD1D内作一条直线与EF平行；或证含EF的平面与平面ADD1平行，即转化为证面面平行，若图 中也没有这样的平面，也需要通过作辅助线（面）去解决．

[答案] 作EG∥AD交AB于G，连接GF.

由EG??平面ADD1,AD?平面ADD1,知EG//平面ADD1?

作FH//AB，交BC1于H，可知在△GBE和?HC1F中，?EGB??FHC1?90,?EBG??HC1F

??45?,BE?C1F,

故?GBE??HC1F,所以FH?EG.

∴ 在Rt ABGE中，?EBG?45,?EG?GB,?FH?GB. 又知FH//GB，故四边形BGFH是平行四边形， 所以FG//BC1.而BC1//AD1,从而FG//AD1?

又FG??平面ADD1,AD1?平面ADD1,故FG//平面ADD1? 已证GE//平面ADD1,FG与GE相交，且都在平面EFG内，

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?

故平面EFG//平面ADD1?

又EF?平面EFG，故EF//平面ADD1?

（或过E作EM //AB交AD 于 M，作FN//AB交AD1于N，连接MN，易证EF//MN. 所以EF／／平面ADD1)

[点拨] 本题综合了线线、线面、面面平行的知识，目的之一是进一步证线面平行，可转证线线平行，还可转证面面平行；其二是证线面平行常转证线线平行，这里转证面面平行，是为了应用本节面面平行的性质以及体现方法的多样性．

母题迁移 5．如图1一2—2—9，斜三棱柱ABC?A1B1C1中，点D、D1分别为AC,A1C1上的点． (1)当

A1D1为何值时，BC1//平面AB1D1? D1C1AD的值． DC(2)若平面BC1D//平面AB1D1,求

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优化分层测训

第一课时 平行直线、空间直线与平面

学业水平测试

1．在空间中，下列说法正确的个数为( )．

①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一直线的两直线平行；④有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． A.l个 B.2个 C.3个 D.4个 2．在空间中，互相平行的两直线是指( )． A．在空间没有公共点的两条直线

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B．分别在两个平面内的两条直线

C．分别在两个平面内，但没有公共点的两条直线 D．在同一平面内没有公共点的两条直线 3．在空间中，下列命题成立的个数为( )．

①空间四边形各边中点的连线还是构成空间四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③顺次连接空间四边形各边的中点所得的一定是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形． A.l个 B.2个 C.3个 D.4个

4．三条直线两两平行且不共面，它们可以确定 个平面．

5．在正方体ABCD?AlB1C1D1中，若E、F分别是B1D1、A1B的中点，则EF与AD1的位置关系是 6．如图1-2 -2 -12所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．

高考能力测试

（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x 8 =40分）

1．下列命题中正确的个数是( )．

①若直线a不在平面a内，则a∥α；②若直线L上有无数个点不在平面α内，则L∥α ；③若直线L与平面α平行，则L与α内的任意一条直线都平行；④若两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若L与平面α平‘行，则L与α内的任意一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．

A.l个 B.2个 C．3个 D.4个

2．若直线a不平行于平面α，且a??，则下列结论成立的是( )． A．α内不存在与a平行的直线 B．α内存在唯一的直线与a平行 C.α内的直线与a都相交 D.α内有唯一的直线与a相交

3．若一个角的两边和另一个角的两边平行，则这两个角( )．

A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．大小关系不确定

4．如图1 -2-2-13所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、

BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论正确的是( )．

A．直线GH和MN平行，GH和EF相交

B．直线GH和MN平行，MN和EF相交 C．直线GH和MN相交，MN和EF异面 D．直线GH和EF异面，MN和EF异面

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5．（2010年江西）如图，1-2 -2 -14，过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A作直线Z，使Z与棱AB,AD,AA1 所成的角都相等，这样的直线Z可以作( )． A.l条 B.2条 C.3条 D.4条

6．设a，b，c是空间内的三条直线，a∥b，c与a相交，那么c与b的位置关系一定是( )． A．共面直线 B．异面直线 C．相交直线 D．位置关系不确定 7．下面给出的四个结论，其中正确结论的个数为( )．

①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，bCα，则a∥b；③若a∥b，bCα，则a∥α；④若a∥b，

b∥α，则a∥α

A．0 B．1 C．2 D．3

8．（2011年四川）l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )．

A.l1?l2,l2?l3?l1//l3 B.l1?l2,l2//l3?l1?l3 C.l1//l2//l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面

二、填空题（5分x4 =20分）

9．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC?BD?a,AC?BD?b,

则EF?EH22? /////10.直线a、b是异面直线，A、B、C是a上的三个点，D、E、F是b上的三个点，A.、B、C、D、E 分别为AD、DB、BE、EC、CF的中点，则?ABC与?CDE的大小关系是 //////C1D1、D1A1的中点，则四边形EFGH11．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、CC1、的形状是 12．下列命题：

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行，

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其中正确命题的序号为____． 三、解答题(10分x 4 =40分)

13．已知点A?直线a,A?平面?,A?直线b,a??,且b//a,求证：b??.

14.已知△ABC的边AC的长为定值，D?平面ABC，点M、N分别是△DAB和△DBC的重心．求证：无论B、D的位置如何变换，线段MN的长必为定值.

15．棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是CD、AD的中点．求证：四边形MNA1C1是梯

形．

16．如图1-2 -2 -15．设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且

AEAHCFCG???,???? ABADCBCD求证：(1)当???时，四边形EFGH是平行四边形； (2)当????时，四边形EFGH是梯形．

第二课时 直线与平面平行

学业水平测试

1．下列说法①若直线a//b,b??,则a//?;②若直线a//?,b??,则a//b;③若直线a//b,a//?,则

b//?;④若直线a//?,b//?,则a//b.

其中正确的是( )．

A．①④ B．①③ C．② D．无一正确 2．在以下四个命题中：

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①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交， 正确的命题是( )．

A．①② B．①⑦③ C．①③④ D．①②④ 3．已知直线a//平面α，直线b??,则a与b的关系是( )．

A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 4．若两直线a//b,a//平面α，则b与α的位置关系是

5．若直线b与平面α内的无数条直线都平行，则b与a的关系是

6．O是长方体ABCD?A1B1C1D1的底面对角线AC与BD的交点．求证：B1O//平面A1C1D.

高考能力测试

（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x 8 =40分）

1．过平面外一点，可作这个平面的平行线（ ）． A．1条 B.2条 C．无数条 D．很多但有限 2．下列命题正确的是( )．

A．平行于同一平面的两直线平行

B．若直线a∥平面α，则α内有且仅有一条直线a//a C．若直线a∥平面α，则对α内的任一直线a都有a//a D．若直线a∥平面α，则α内有无数条直线a满足a//a 3．下列说法中正确的个数为( )．

①如果一直线与一平面平行，那么它就和这个平面内的无数条直线平行；②与两个相交平面的交线平

行的直线必平行于这两个相交平面；③过直线外一点有且仅有一个平面与这条直线平行；④如果直线L和平面a平行，那么过平面a内一点和直线L平行的直线在乎面α内． A．1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．过平面α外的直线L，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、?，则这些交线的位置关系为( )．

A．都平行 B．都相交且一定交于同一点 C．都相交但不一定交于同一点、 D．都平行或都交于同一点 5．a、b是异面直线，下列结论正确的是( )．

A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行 B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交 C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行 D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行

////6．如图1-2-2-16．在三棱柱ABC?ABC中，点E、F、H、K分别为AC、CB/、A/B、B/C/的中点，

G为△AB的重心．从K、H、G、B中取一点作为P，使得该棱柱恰有两条棱与平面PEF平行，则P为( )．

A.K B.H C.G D.B

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7．（2010年山东）在空间，下列命题正确的是( )．

A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行

8．（2006年湖南）过平行六面体ABCD?A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )．

A.4条 B．6条 C．8条 D．12条 二、填空题（51分x 4 =20分）

9．如图1-2 -2 -17所示，在正方体ABCD?ABCD中 ，E为DD1的中点，则BD1与过点A、C、E的平面的位置关系是

////

10.如图1-2 -2 -18所示，直线a∥平面?,点B、C、D?a,点A与直线a在平面α的异侧，线段AB、

AC、AD交a于点E、F、G．若BD?4,CF?4,AF?5,则EG等于 11.如果直线a∥平面α，直线b??,则a与b的位置关系一定不会是

12.如图1—2 -2 -19所示，oEFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的各边上，则BD 平面EFGH，AC 平面EFGH.（填“∥”或“不平行”）

三、解答题（10分x4 =40分）

13.已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.

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14.如图1-2-2 -20所示，一平面与空间四边形的对角线AC、BD都平行，且分别交空间四边形的边AB、BC、CD、DA于E、F、G、H

(1)求证：EFGH为平行四边形； (2)若AC= BD，EFGH能否为菱形？ (3)在什么情况下，EFGH为矩形？

(4)在什么情况下，EFGH为正方形？

(5)若AC?BD?a.求证：平行四边形EFGH的周长为定值．

15.（2010年陕西）如图1-2-2-21，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，

AP?AB,BP?BC?2,E,F分别是PB，PC的中点．

(1)证明：EF//平面PAD； (2.)求三棱锥E-ABC的体积E

16.如图1-2 -2 -22，在四棱锥0- ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为OA的中点，N为BC的中点． 求证：直线MN∥平面OCD.

第三课时 平面与平面平行

学业水平测试

1．平面α∥平面?,a??,b??,则直线a、b的位置关系是( )． A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面

2．已知αβ表示两个平面，m、n表示两条直线，则使?//?的一个条件是( )．

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A.m??,n??,且m//n B.m??,n??,且m//?,n//? C.m??,n??,且m//n D.m//?,n//?,且m//n

3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是( )．

A.A1BC1和ACD1 B.BDC1B1D1C C.B1D1D和BDA1 D.ADC1和AD1C

4．夹在两个平行平面间的平行线段

5．若两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系是

6．如图1-2 -2 -23所示，a、b是异面直线，a?平面?,b??平面?,a//?,b//?,求证：?//??

高考能力测试

（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x 8 =40分）

1．已知m、n表示两条直线，αβ、γ表示平面，下列命题正确的个数是( ).

①若????m,????n,且m//n,则?//?;

②若m、n相交且都在α、β外，m//?,m//?,n//?,n//?,则?//?; ③若m//?,n//?,且m//n,则?//?

A.O个 B.l个 C.2个 D.3个 2．下列结论正确的是( )．

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行；②过平面外两点不能作平面与已知平面平行；③

若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行；④平行于同一平面的两平面平行．

A．①②④ B．②③ C．②④ D．①④ 3．若平面α∥平面β ，直线a//?,点B??,则在β内过点B的所有直线中( )．

A．不一定存在与a平行的直线 B．只存在两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线． D．存在唯一一条与a平行的直线 4．下列说法中正确的个数为( )．

①若两平面平行，则夹在两平面间的平行线段相等；②若两平面平行，则夹在两平面间的相等线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．

A.l个 B.2个 C.3个 D.4 个

5．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系为( )． A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定

6．给出下列关于互不相同的直线m、n、l和平面α、β的四个命题：

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①若m??,l???A,点A?m,则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l//?,m//?,且n?l,n?m,则n??; ③若l//?,m//?,?//?,则l//m; ④若l??,m??,l?m?A,l//?,m//?,则?//??

其中为假命题的是( )．

A．① B．② C．③ D．④

7．已知正三角形ABC的边长为2，到顶点A、B、C的距离都等于l的平面有( )． A.4个 B．3个 C.2个 D．1个

8．若一个角的两边和另一个角的两边平行，且方向相反，则这两个角( )． A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．大小关系不确定 二、填空题（5分x 4 =20分）

9．几何体ABCD?A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面棱AD上的一点，AP?a,过P、M、N三点的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ等于 310.已知a、b、c为三条不重合的直线，?、?、?为三个不重合的平面，给出下列六个命题：

①a//c,b//c?a//b;②a//y,b//y?a//b;③c//?,c//???//?;④y//?,?//??y//?;

⑤a?//c,?//c?a//?;⑥a//?,?//y?a//?.

其中真命题的序号是

11．已知m、n是不同的直线，?、?是不重合的平面，给出下列命题：

①若?//?,m??,n??,则m//n; ②若m、n??,m//?,n//?,则?//?; ③若m??,n??,m//n,则?//?;

④m、n是两条异面直线，若m//?,m//?,n//?,n//?,则?//? 其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）

BB、CC共点于0，0在α、β之12.平面a∥平面?,?ABC、?ABC分别在?、?内，线段AA、?间，若AB?2,AC?1,?BAC?60,OA:OA?3:2,则?ABC的面积为

/////////三、解答题（10分x4 =40分）

13.如图1-2 -2 -24，设AB、CD为夹在两个平行平面α、β之间的线段，且直线AB、CD为异面直线．M、

P分别为AB、CD的中点， 求证：直线MP∥平面α．

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14.已知平面α∥平面β ，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β 分别交于B、D．若PA?6,AC?9,PD?8,求BD的长．

15.如图1-2 -2 -25．已知平面α∥平面β，0为αβ外一点，三条射线OA、OB、OC分别交β于A、B、C，交α于A1、B1、C1? (1)求证：?ABC~?A1B1C1?

(2)若OA?a,AA1?b,B1C1?c.求BC的长．

16.如图1-2 -2 -26，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、 B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA?9,AB?12,BQ?12,?ACF的面积为72，求△BDE的面积（提示：s?BDE?1BE.BD.sin?EBD). 2 18 / 19

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