数学分析课程教学大纲

数学分析课程教学大纲

（Mathematical Analysis）

课程编号：041048-50 课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学

先修课程：高中数学

后续课程：复变函数论、实变函数、泛函分析、常微分方程、数学物理方程、微分几何、积

分方程、非线性分析

总学时：288 总学分：18

教学目的与要求：

该课程分为极限理论，连续函数，微分学、积分学和级数理论这五个部分，开设本课程的目的，是帮助学生了解数学分析处理问题的基本思想，并能运用这些思想处理纯粹数学和应用数学中所遇到的数学问题；是培养学生的思维能力和推理能力，能用分析的手段将复杂问题分解为简单问题，从而分别突破，是培养学生准确、简练的表达能力，能用标准的分析语言，清晰地陈述自己的思想；是培养学生熟练、精确的极限、微分、积分的运算能力，使当解决问题要求计算能力时能够胜任，是为“分析”这条线上的若干后续课程提供必要的基础和预备知识，使学生能顺利完成后续课程的学习，学完本课程后，要求学生具有下列诸方面的能力。

1．“ε-Ν”，“ε-δ”语言的表述能力

2．对概念的认识，理解能力，对相关概念的串联能力

3．对定理的条件、结论的合理设计能力，对其强弱的认识能力，对相关定理内容的串联能力

4．问题之间的相互转换能力，例如：极限问题与级数问题的相互转换，积分问题与级数问题的相互转换。

5．极限、微分、积分的精确计算及近似计算能力。 6．进行简单的理论研究及应用研究的能力。

教学内容与学时安排 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

章目名称 实数集与函数 数列极限 函数极限 函数的连续性 导数与微分 微分学基本定理与不等式极限 运用导数研究函数 极限与连续性（续） 不定积分 定积分 定积分应用 数项级数 学时 分配 8 10 12 12 14 10 10 12 10 20 10 10 1

序 号 13 14 15 16 17 18 19 21 22 23 24 章目名称 函数列与函数项级数 幂级数 Fourier级数 多元函数极限与连续 多元函数微分学 隐函数定理及其应用 重积分 曲线积分与曲面积分 数学分析内容回顾 学时 分配 12 10 12 14 16 16 20 16 20 14 20 重积分（续）及含参量非正常积分

第一章 实数集与函数

1．实数：实数及其性质，绝对值与不等式

2．数集与确界原理：区间与邻域、有界集、确界原理。

3．函数概念：定义、表示法、四则运算、复合运算、反函数、初等函数 4．具有特性的函数：有界性、单调性、奇偶性、周期性 本章重点：函数定义及相关概念，确界概念及相关运算

难点：用定义验证函数的某些特性，理解确界概念，验证确界及确界运算

第二章 数列极限

1．数列极限概念：数列极限定义，无穷小数列 2．收敛数列的性质

3．数列极限存在的条件。

本章重点：数列极限的定义、性质、存在条件

难点：对“??N”定义的理解，否定陈述，利用存在条件验证收敛性。

第三章 函数极限

1．函数极限概念（各种不同变化过程的函数极限定义） 2．函数极限的性质 3．函数极限存在的条件 4．两个重要极限

5．无穷小量与无穷大量，阶的比较

本章重点：陈述各种不同极限过程的函数极限定义及其否定陈述，求函数极限，判断极限存在性，等价无穷小量的运用。

难点：求某些函数极限及判断极限存在性。

第四章 函数的连续性

1．连续性概念：点态连续，区间上连续，间断点及其分类。

2．连续函数的性质：局部性质，闭区间上连续函数的性质，反函数的连续性，一致连续性。 3．初等函数的连续性

本章重点：连续性概念，闭区间上连续函数的性质 难点：连续函数性质的应用，一致连续性的判断。

第五章 导数与微分

1．导数概念：导数定义及导函数

2．求导法则：四则运算法则，反函数求导法则，复合函数求导法则。 基本初等函数求导公式

3．微分：微分概念，可微条件，微分运算法则，利用微分作近似计算 4．高阶导数与高阶微分

5．参数方程所确定的函数的导数

本章重点：导数及微分定义，各种求导运算法则及求导公式，常用的高阶导数表达式 难点：求复合函数导数的链式法则

第六章 微分学基本定理与不等式极限

2

1．中值定理：Fama定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理 2．不定式极限：

00型，

??型及其它

3．Taylor公式，两种余项形式及应用 本章重点：中值定理及其应用

难点：适时应用中值定理及Taylor公式

第七章 运用导数研究函数

1．函数的单调性与极值 2．函数的凸性与拐点 3．函数图象讨论 本章重点：函数作图

第八章 极限与连续性（续）

1．实数完备性定理：确界存在定理，单调有界原理，区间套定理，Cauchy收敛准则，聚点定理，列紧性定理，有限复盖定理及其等价性证明。 2．闭区间上连续函数性质的证明 3．上极限与下极限

本章重点：完备性定理的陈述与理解 难点：完备性定理等价性证明及定理的应用

第九章 不定积分

1．不定积分概念与基本积分公式 2．换元积分法与分部积分法

3．有理函数和可化为有理函数的积分 本章重点：积分技术 难点：选择适当的代换

第十章 定积分

1．定积分概念

2．可积条件：可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类 3．定积分的性质：运算性质，不等式性质，积分中值定理 4．微积分学基本定理：定积分的计算，Taylor公式的积分型余项 5．非正常积分，无穷限积分，无界函数积分

第十一章 定积分应用

1． 平面图形面积 2． 由截面面积求体积 3． 曲线的弧长与曲率 4． 旋转曲面的面积

5． 定积分在物理上的应用 本章重点：用定积分求面积、体积

第十二章 数项级数

3

1． 级数收敛性概念

2． 正项级数：收敛充要条件，比较判别法，比式判别法，根式判别法，积分判别法，Ruba

判别法

3． 一般项级数：绝对收敛与条件收敛，交错级数，Abel判别式与Dinichlet判别法 本章重点：数项级数收敛的条件（判别法）

难点：选择适当的判别法，特别是当判别法失效时如何应对。

第十三章 函数列与函数项级数

1． 一致收敛性：一致收敛概念及判别

2． 一致收敛的函数项和函数项级数的性质：连续、可积、可微。 本章重点：一致收敛概念及一致收敛判别 难点：验证一致收敛性

第十四章 幂级数

1． 幂级数：收敛区间，性质、运算、幂级数求和 2． 函数的幂级数展开

本章重点：确定幂级数的收敛域，幂级数求和，幂级数展开 难点：幂级数求和及展开

第十五章 Fourier级数

1． Fourier级数：三角级数，正交系，以2π为周期的函数的Fourier级数 2． 以2l为周期的函数的Fourier级数展开式 3． 收敛定理及其证明

本章重点：求函数的Fourier级数展开式并讨论其收敛性 难点：收敛定理的证明

第十六章 多元函数极限与连续

1． 平面点集与多元函数：R2上的拓扑概念，R2的完备性，二元函数，n元函数。 2． 二元函数的极限：二重极限，累次极限

3． 二元函数的连续性：连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 本章重点：二元函数的极限、连续概念

难点：R2上的拓扑概念：求二重极限，有界闭域上连续函数性质的证明。

第十七章 多元函数微分学

1． 可微：可微性与全微分，偏导数，可微条件，几何意义及应用 2． 复合函数微分法 3． 方向导数与梯度

4． Taylor公式与极值问题：高阶偏导数，中值定理与Taylor公式，极值问题 本章重点：可微概念、可微条件、复合函数求导法则，中值定理与Taylor公式。

难点：可微性判断，复合函数求导法则，中值定理与Taylor公式的证明，求最大值与最小值。

第十八章 隐函数定理及其应用

1． 隐函数：隐函数概念、隐函数存在定理、隐函数求导

4

2． 隐函数组：隐函数组概念、隐函数组存在定理、反函数组与坐标变换 3． 几何应用：曲线的切线与法线，曲面的切平面与法线 4． 条件极值

本章重点：隐函数概念及隐函数存在定理，隐函数求导 难点：隐函数存在定理的证明

第十九章 重积分

1． 二重积分概念：二重积分的定义及可积条件 2． 二重积分的计算：化为累次积分，换元法 3． 含参量正常积分的导数 4． 三重积分：概念及计算

5． 重积分的应用：曲面面积、重心、转动惯量、引力 本章重点：重积分的概念及计算 难点：确定积分限

第二十章 重积分（续）及含参量非正常积分

1． 二重积分的可积性

2． 二重积分的变量变换定理

3． 含参量非正常积分：一致收敛性及其判别，一致收敛的含参量非正常积分的性质，Euler积分

本章重点：含参量非正常积分的一致收敛性及其相关结果 难点：一致收敛性判别及其应用

第二十一章 曲线积分与曲面积分

1． 第一型曲线积分与第一型曲面积分：概念及计算 2． 第二型曲线积分：概念及计算 3． 两类曲线积分的联系 4． Green公式

5． 曲线积分与路线无关性 6． 第二型曲面积分 7． Gauss公式与Stokes公式 8． 场的初步知识

本章重点：曲线、曲面积分的计算、三个重要公式

难点：两类曲线积分的转化，两类曲面积分的转化，第二型曲面积分的计算，Stokes公式的应用

第二十二章 数学分析内容回顾

1． 极限：讨论收敛性、连续性

2． 微分：一元与多元、微分学的本质及应用

3． 积分：积分思想、积分计算、积分与微分、积分与极限、积分与不等式、积分定义的函

数。 4．级数：求和与展开

教材、教学参考书

5

（一） 教材

《数学分析》（第三版上、下册），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001。 （二） 参考书

1．常庚哲，史济怀，《数学分析教程》，第一、二、三册，江苏教育出版社，1998 2．张筑生，《数学分析新讲》，第一、二、三册，北京大学出版社，1990。 3．庄亚栋，王慕三，《数学分析》上、中、下册，高等教育出版社，1990。 4．W.Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 1976.

6

高等代数课程教学大纲

（Advanced Algebra）

课程编号：041005-6 课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学

先修课程：中学数学

后续课程：近世代数、近世代数续论 总学时：160 总学分：10 教学目的与要求：

通过本课程的学习，要求学生掌握多项式理论、线性方程组理论、矩阵理论、线性空间与线性变换的理论、欧氏空间及其相关的线性变换理论，本课程应注重学生关于空间及其联系的有关问题的抽象思维能力。

序号 1 2 3 4 5 多项式 行列式 线性方程组 矩阵 二次型 章目名称 教学内容与学时安排

学时 序分配 号 22 18 20 20 12 6 7 8 9 10 线性空间 线性变换 ?-矩阵 章目名称 学时 分配 14 22 10 14 8 欧氏空间 双线性函数

第一章 多项式

第一节 多项式的定义与运算 第二节 带余除法、整除性

第三节 两个多项式的最大公因式 第四节 因式分解及唯一性定理 第五节 重因式

第六节 多项式函数

第七节 复系数与实系数多项式的因式分解 第八节 有理系数多项式

第九节 多元多项式与对称多项式 第二章 行列式 第一节 排列

第二节 n阶行列式的定义、性质与计算 第三节 依行（列）展开定理 第四节 克兰姆法则

第五节 拉普拉斯定理，行列式相乘规则

7

第三章 线性方程组 第一节 消元法

第二节 n维向量空间 第三节 线性相关性 第四节 矩阵的秩

第五节 有解判定定理

第六节 线性方程组解的结构

第四章 矩阵

第一节 矩阵的概念与运算 第二节 矩阵乘积的行列式与秩 第三节 矩阵的逆 第四节 矩阵的分块 第五节 初等矩阵 第六节 广义逆矩阵

第五章 二次型

第一节 二次型的矩阵表示 第二节 标准形

第三节 复二次型与实二次型的规范形 第四节 实二次型的正定性

第六章 线性空间 第一节 集合与映射

第二节 线性空间的定义与性质 第三节 基、维数与坐标 第四节 基变换与坐标变换 第五节 子空间

第六节 子空间的交与和、直和 第七节 线性空间的同构

第七章 线性变换 第一节 线性变换的定义 第二节 线性变换的运算 第三节 线性变换的矩阵 第四节 特征值与特征向量 第五节 可对角化问题

第六节 值域与核

第七节 不变子空间，可准对角化问题 第八节 最小多项式 第八章 ?-矩阵

第一节 ?-矩阵及其等价标准形

第二节 行列式因子，不变因子，初等因子 8

第三节 矩阵相似的条件 第四节 若当标准形

第九章 欧氏空间

第一节 欧氏空间的定义与性质 第二节 标准正交基 第三节 同构

第四节 正交变换与正交矩阵 第五节 对称变换与对称矩阵

第六节 子空间，向量到子空间的距离

第十章 双线性函数 第一节 线性函数 第二节 对偶空间 第三节 双线性函数

第四节 对称双线性函数

教材：

《高等代数》（第三版），北京大学数学系编，高等教育出版社，2003年。 主要参考书目：

1． 张禾瑞、郝炳新，《高等代数》，人民教育出版社。 2． 周伯 ，《高等代数》，人民教育出版社。

9

解析几何课程教学大纲

（Analytic Geometry）

课程编号：041007 课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学 先修课程：高中数学

后续课程：高等几何，微分几何 总学时：64 总学分：4 教学目的与要求：

本课程是数学与应用数学专业的必修基础课，它是初等数学向高等数学、常量数学向变量数学过渡的桥梁，也是沟通空间形式与数量关系的桥梁，对于进一步学习高等几何、微分几何、代数、分析等各个数学分支和力学、物理等科技领域及人文科学领域都处于基础性地位，有着极广泛的应用。

贯穿本课程始终的两个基本问题是由轨迹（曲线、曲面）求方程和由方程画图形。通过对这两大基本问题的深入探讨，使学生理解、掌握解析几何的基本思想、基本知识和基本方法与技巧，能熟练运用坐标方法和向量代数知识分析解决有关问题，培养学生的运动变化的观点和“形数统一”的思想以及综合运用所学知识分析解决问题的能力。

本课程以空间解析几何为主，同时兼顾部分学生未学过平面解析几何以及学生毕业后从事平面解析几何的教学需要。

教学内容与学时安排

序 号 1 2 3 4 章目名称 解几基础 圆锥曲线 矢量、坐标 内积、外积 学时 分配 8 14 6 8 序 号 5 6 7 章目名称 平面、直线 曲面、曲线 二次曲面的一般理论 学时 分配 8 12 8

第一章 解几基础

§1.1 点与坐标，轨迹方程，距离，线段的方程，线性运算

§1.2 直线的方程，点与直线的位置关系，点到直线的距离，有向线段在轴上的射影及性

质

§1.3 有向角，余弦定理与射影定理，夹角公式

§1.4 平面直角坐标变换，极坐标与直角坐标的互化

第二章 圆锥曲线 §2.1 圆锥曲线的定义 §2.2 标准方程和性质

§2.3 圆锥曲线的切线与光学性质 §2.4 二次曲线的直径与主直径

§2.5 移轴和转轴变换下二次方程的变化规律

10

§2.6 基本不变量的运用 §2.7 二次曲线族

第三章 矢量、坐标

§3.1 矢量的概念，矢量的加法、数乘

§3.2 矢量的分解，线性组合，线性相关和线性无关 §3.3 仿射坐标系与矢量的坐标表示

第四章 内积、外积

§4.1 矢量的内积定义，基本性质，坐标表示 §4.2 矢量的外积定义，基本性质，坐标表示 §4.3 二重矢性积、混合积性质和几何意义

第五章 平面、直线

§5.1 平面的方程：参数式、点位式、点法式、一般式 §5.2 直线的方程：参数式、标准式、射影式、一般式

§5.3 直线、平面相互间的位置关系，点到平面的距离，点到直线的距离，异面直线间的距离，公垂线的方程，直线、平面间的夹角公式，平面束。

第六章 曲面、曲线

§6.1 三元方程的几何意义，求曲面、球面的方程 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5

第七章 二次曲面的一般理论 §7.1 空间直角坐标变换

§7.2 二次曲面的基本不变量和半不变量 §7.3 二次曲面的径面、主径面和主方向 §7.4 二次曲面方程的化简与分类

教材：

《解析几何教程》，左铨如编，九章出版社。

主要参考书目：

1.吕林根、许子道等编，解析几何（第三版），高等教育出版社，1987. 2.朱鼎勋、陈绍菱等编，空间解析几何，北京师范大学出版社，1984. 3.吴光磊、丁石孙等编，解析几何，人民教育出版社，1962.

4.章士藻、左铨如编，解析几何解疑，北京师范大学出版社，1988.

5.陈绍菱、傅若男编，空间解析几何习题试析，北京师范大学出版社，1984.

柱面、锥面、射影柱面的定义及其方程

曲面、曲线的参数方程，与普通方程的互化 旋转曲面的定义及其方程

五种标准二次方程的图形、截口法

§6.6 直纹面的直母线

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高等几何课程教学大纲

（Advanced Geometry）

课程编号：041008

课程性质：专业选修课（专业主要课程） 适用专业：数学与应用数学 先修课程：解析几何，高等代数 后续课程：微分几何 总学时：48 总学分：3 教学目的与要求：

近代几何的一个基本观点是将几何学与变换群联系起来，一门几何学对应一个变换群，几何学就是研究在它所对应的变换群作用下保持不变的性质。利用这一观点，可以将几何学作统一的研究。本课程的目的是使学生系统掌握正交变换、仿射变换、射影变换以及它们所对应的几何学欧氏几何、仿射几何、射影几何，这一方面可以为学生学习近世代数中的群理论提供几何模型，另一方面可以培养学生运动和不变的观点，为今后进一步学习现代数学理论打下扎实的基础。

教学内容与学时安排

序 号 1 2

第一章 正交变换与仿射变换

章目名称 正交变换与仿射变换 射影平面 学时 序分配 号 10 12 3 4 章目名称 射影变换 二次曲线的射影理论 学时 分配 14 12

§1 点变换

1．1 点变换的定义 1．2 变换的乘积

1．3 恒等变换与逆变换

§2 正交变换

2．1 正交变换

2．2 正交变换与坐标变换的关系 §3 仿射变换

3．1 二平面间的透视仿射对应 3．2 仿射对应与仿射变换 3．3 仿射坐标系

3．4 仿射变换的代数表达式 3．5 图形的仿射性质 3．6 仿射变换的特例

本章重点：正交变换与仿射变换的代数表达式，图形的仿射性质 本章难点：仿射变换的不变元素（不变点和不变直线）

第二章 射影平面

12

§4 中心射影与无穷远元素

4．1 4．2 4．3 4．4

中心射影 无穷远元素

一维与二维射影空间的概念与模型 图形的射影性质

§5 笛沙格透视定理 §6 齐次点坐标

6．1 齐次点坐标

6．2 直线的齐次坐标方程 6．3 齐次点坐标的应用

§7 线坐标

7．1 齐次线坐标

7．2 非齐次线坐标 §8 对偶原则 8．1 对偶图形

8．2 对偶命题与对偶原则 8．3 代数对偶

§9 复元素

9．1 二维空间的复元素

9．2 二维共轭复元素

本章重点：齐次点坐标，对偶原则 本章难点：笛沙格透视定理

第三章 射影变换 §10 交比与调和比

10．1 点列四点的交比与调和比 10．2 交比的代数表示

10．3 共线四点的调和比

10．4 线束四直线的交比与调和比

§11 完全四点形与完全四线形的调和性 §12 一维基本形的射影对应

12．1 透视对应与射影对应 12．2 点列间射影对应的代数表示 §13 一维射影变换

§14 一维基本形的对合 §15 二维射影变换

15．1 非奇线性对应与射影对应 15．2 射影变换及其不变元素 §16 射影坐标

16．1 一维射影坐标 16．2 二维射影坐标

本章重点：交比，一维与二维射影变换的定义和代数表达式 本章难点：一维基本形的对合

13

第四章 二次曲线的射影理论

§17 二次曲线的射影定义

17．1 二阶曲线与二级曲线

17．2 二阶曲线与直线的相关位置 17．3 二阶曲线与二级曲线的关系

§18 巴斯加定理与布利安桑定理 §19 极点与极线、配极变换

19．1 极点、极线及求法 19．2 配极原则 19．3 配极变换

§20 二阶曲线的射影分类

20．1 二阶曲线的奇异点

20．2 二阶曲线的射影分类

本章重点：二次曲线的射影定义（包括代数定义与几何定义）、射影分类 本章难点：二次曲线的几何定义，巴斯加定理与布利安桑定理 教材：

《高等几何》（第二版）， 梅向明等编，高等教育出版社，2000年。

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近世代数课程教学大纲

（Abstract Algebra）

课程编号：041009 课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学 先修课程：高等代数

后续课程：近世代数续论 总学时：48 总学分：3 教学目的与要求：

通过《近世代数》的教学，让学生理解和掌握群、环、域三个代数系统的基础知识和基本理论，受到代数方法的初步训练，对于抽象代数的思想和方法有初步认识，抽象思维能力和逻辑推理能力得到提高。

教学内容与学时安排

序 号 1 2 3

章目名称 基本概念 群论基础 环与域 学时 序 分配 号 8 20 20 章目名称 学时 分配 第一章 基本概念 §1 集合

1．集合的基本概念 2.集合的运算（并，交，补，余，积）

§2 映射

1．定义 2.类型 3.合成 4.逆

§3 代数体系

1．代数运算 2.代数体系 3.子体系 4.附加于代数体系的一些条件

§4 同态与同构

1.同态映射 2.同态 3.同构 4.自同态与自同构 §5 集合分类与等价关系

1.关系 2.等价关系 3.分类 4.广义同态基本定理

第二章 群论基础 §1 群的定义与性质

1.群的定义 2.例子 3.基本性质 4.交换群和有限群 5.元素的阶

§2 群的等价定义与同态

1.第一等价定义 2.第二等价定义 3.有限群的另一定义 4.群同态

§3 变换群

1.定义 2.例子 3.Cayley定理

§4 置换群

1.置换的概念 2.置换的表示 3.奇、偶置换 4.交代群

§5 循环群

15

1.定义 2.例子 3.结构定理 4.简单性质

§6 子群

1.定义 2.例子 3.基本性质 4.判定定理 5.生成子群

§7 子群的陪集

1.陪集 2.几个重要结论

§8 不变子群与商群

1.定义 2.例子 3.等价条件 4.商群

§9 群同态基本定理

1.群同态基本定理 2.子群对应定理

第三章 环与域

§1 环的定义与简单性质

1.加群 2.环的定义 3.简单性质 §2 带附加条件的环

1.交换环 2.有单位元的环 3.无零因子环 4.整环 5.除环和域

§3 子环与环同态

1.子环 2.环同态 3.挖补定理

§4 多项式环

1.环R上的α的多项式环R[α] 2.R上的未定元x的多项式环R[x]

§5 理想与商环

1.理想 2.商环

§6 环同态基本定理

1.环同态 2.环同态基本定理

§7 极大理想与素理想

1.极大理想 2.素理想

§8 商域

1.无零因子交换环R是一个域Q的子环 2.环R的商域

§9 素域、扩域

1.素域 2.域的特征 3.添加

§10 单扩域

1.基本概念 2.单扩域的结构 3.存在性与唯一性

主要参考目录： 1.《近世代数基础》，张禾瑞著，1978年修改本（人教） 2.《近世代数基础》，刘绍学著，1999年（北师大） 3.《近世代数》，熊全淹编，武汉大学，1984年。 4.《抽象代数学》，姚慕生编，复旦大学，1998年。 5．《近世代数》，朱天平等编，科学出版社，2001年。

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复变函数课程教学大纲

（Theory of Functions of a Complex Variable）

课程编号：041010 课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学 先修课程：数学分析

后续课程：数学物理方程 总学时：48 总学分：3 教学目的与要求：

复变函数论是基础数学、应用数学、计算数学专业的一门重要基础课，它在工程、力学、物理以及数学其他分支中有着广泛的应用。通过本门课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论与方法，加深对数学分析、高等代数中有关知识的理解。培养学生抽象思维能力与解决实际问题的能力，为进一步学习其他课程及将来从事教学、科研或其他实际工作打好基础。

本课程的主要内容是解析函数的微分、积分以及映照，基本运算主要是初等函数的求值、复积分计算、留数定理的应用以及简单区域间保形映照的作法等。在教学内容的选择上，应围绕主要内容努力贯彻少而精原则。在教学中，应重视基本概念的正确讲解，基础理论的系统阐述以及基本运算能力的严格训练；应注意由浅入深，突出重点，注重阐明本课程与其他课程的联系，特别是与数学分析的衔接，着重使学生掌握复变函数理论中与数学分析相应知识的差异；应通过例题及习题的训练，使学生熟练掌握基本训练方面的有关方法；应注意联系中学数学教学。

教学内容与学时安排

序 号 1 2 3 4

第一章 复数与平面点集 第一节 复数

对复数理论只作简单复习，重点是复数运算与几何表示 第二节 平面点集

重点是掌握诸如有向线段、圆、圆弧、射线及圆盘、角域、带域等常用曲线与区域的复数表达式。

第三节 复球面及无穷大

重点是复球面、无穷远点、扩充复平面概念及关于复数“∞”的运算法则。

第二章 解析函数

第一节 复变函数及其极限与连续性 一、重点是复变函数几何意义

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章目名称 复数与平面点集 解析函数 复变函数的积分 解析函数的幂级数表示法 学时 分配 2 8 8 8 序 号 5 6 7 章目名称 解析函数罗朗展式与孤立奇点 留数 保形映照 学时 分配 4 8 10 二、宜介绍函数Argz的单值连续分支，为处理初等多值函数打好基础。

第二节 复变函数导数

第三节 解析函数概念与柯西-黎曼条件

一、这是本章的重点，学生难以掌握的是，在一点处函数解析与可导的联系，及解析函数

充要条件（C—R形式）应重点讲解并举例说明。 二、应归纳判断函数解析及解析函数为常数的方法。 第四节 初等解析函数

第五节 初等多值函数

一、重点是对数函数与根式函数单值分支取法及单值分支求值，这也是教与学两方面的难

点，宜应用函数Argz的单值分支取法与求值方法突破难点。 二、初等多值函数单值分支求值可以一个有限支点的函数为重点。

第三章 复变函数的积分

第一节 复积分及其简单性质

第二节 柯西定理

一、柯西定理是复变函数论的基本定理，务必使学生牢固掌握。 二、单连通区域的柯西定理，可在附加“f'?z?在D内连续”的条件下，用Green公式

给出证明，Goursat的证明视具体情况取舍。

第三节 柯西公式与解析函数无穷可导性 一、柯西公式是复变函数论的基本工具，证明思路方法具有一般性，应要求学生掌握公式及其证明方法与技巧。

二、作为柯西公式的应用并联系中学数学教学，应在这一节中讲述，柳维尔定理及代数基

本定理。

三、另一个重点是解析函数无穷可导性。

第四节 解析函数充要条件（积分形式）

通过讲述不定积分与莫瑞拉定理，总结出积分形式的解析函数充要条件，这是解析函数的一个重要特征，也是判别函数解析的重要方法。

第四章 解析函数的幂级数表示法 第一节 复数项级数

第二节 复变函数项级数 重点是魏尔斯特拉斯定理 第三节 幂级数

重点是收敛圆盘内幂级数和函数解析、逐项可积、可导（无穷次）。 学生容易疏忽的是“收敛圆盘内”，应提醒学生重视。 第四节 泰勒展式

一、重点之一是泰勒展式及展式收敛半径的求法。

二、重点之二是由幂级数和函数解析性与泰勒定理总结出解析函数充要条件（级数形式） 第五节 解析函数零点孤立性与唯一性定理

一、应要求学生掌握解析函数零点的概念及零点阶的判定方法，特别要注意m阶零点的解析函数的表达式。

二、重点是解析函数零点孤立性及唯一性定理，要求学生全面掌握定理的逆命题及各个推

论。

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第五章 解析函数罗朗展式与孤立奇点 第一节 解析函数的罗朗展式

重点是求解析函数罗朗展式的间接方法。 第二节 孤立奇点

重点是孤立奇点的类型及分类方法 第三节 解析函数在无穷远点的性质 本节是要求学生“了解”的内容，可略讲。 第四节 整函数与亚纯函数的概念

本节也是要求学生“了解”的内容，可略讲

第六章 留数

第一节 留数与留数定理

重点是留数概念，留数定理及函数在有限孤立奇点处留数的计算。 第二节 留数对计算积分的应用 第三节 辐角原理及儒歇定理

重点是儒歇定理及其应用，但也要求学生理解对数留数定理及辐角原理。

第七章 保形映照

第一节 解析映照的特性

重点之一是映照旋转角，保角性与保形映照的概念。

重点之二是解析映照保区域性，导数几何意义，单叶解析函数的映照特性。 第二节 公式线性函数及其映照特征 一、充分掌握分式线性映照的分解

二、掌握分式线性映照的四个特性及其在求象中的作用，特别注意圆变为直线的条件及求象方法。

三、掌握三个典型区域间保形映照的分式线性映照公式及应用 四、掌握将月牙形区域映照为角域的线性映照 第三节 某些初等函数所构成的保形映照

一、充分掌握指数函数及幂函数的保形映照区域及在保形映照的作用 二、掌握对数函数在保形映照中的作用

第四节 解析函数最大模原理与许瓦兹引理 掌握最大模原理及其证明，理解许瓦兹引理 第五节 黎曼定理及边界对应原理 理解定理内容

第六节 用初等映照迭合法求简单区域间保形映照举例。

掌握求简单区域间保形映照方法

主要参考目录：

1．钟玉泉《复变函数论》（第二版）高等教育出版社，1988 2．庄圻泰、张南岳《复变函数》，北京大学出版社，1984

3．陈方权、蒋绍惠《解析函数论基础》，北京师范大学出版社，1987

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常微分方程课程教学大纲

（Ordinary Differential Equation）

课程编号：041011 课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学

先修课程：数学分析、高等代数、大学物理 后继课程：数学物理方程 总学时：48 总学分：3 教学目的与要求：

微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景。通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。

通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法。并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后继课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。

教学内容与学时安排

序 号 1 2 3 章目名称 绪论 一阶微分方程的初等解法 一阶微分方程解的存在定理 学时 序分配 号 2 12 4 4 5 6 章目名称 高阶微分方程 线性微分方程组 非线性微分方程和稳定性 学时 分配 10 10 10

第一章 绪论

第一节 微分方程的产生

第二节 基本概念

本章重点：介绍微分方程的产生与发展，微分方程的基本概念。 难点：建立数学模型。

第二章 一阶微分方程的初等解法 第一节 变量分离方程与变量变换 第二节 线性方程与常数变易法 第三节 恰当方程与积分因子 第四节 一阶隐方程与参数表示

本章重点：若干类可求解的一阶微分方程。

难点：判定微分方程的类型，变量代换化解方程。

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实变函数课程教学大纲

（Real Function Theory）

课程编号：041013

课程性质：专业选修课（专业主要课程） 适用专业：数学与应用数学 先修课程：数学分析 后继课程：泛函分析 总学时：48 总学分：3 教学目的与要求：

本课程是数学系的一门主要基础课，在数学系本科生教学中具有承上启下的作用，通过本课程的系统学习，使学生掌握集合的基数测度，可测函数（L）积分等基本概念和基础理论，通过对（R）积分和（L）积分的比较，更深入了解（R）积分的本质和（L）积分的优越，以及微分与积分的联系，为学生进一步学习近代数学，近代物理打下基础。

教学内容与学时安排

序 号 1 2 3

章目名称 集合 点集 测度论 学时 分配 6 6 8 序 号 4 5 章目名称 可测函数 积分论 学时 分配 10 18 第一章 集合

§1§2 集合及其运算 §3 对等与基数 §4 可数集合 §5 不可数集合

第二章 点集

§1 度量空间与n维欧氏空间 §2 聚点、内点、界点

§3 开集、闭集、完备集

§4 R中开集、闭集、完备集的构造

第三章 测度论 §2 外测度 §3 可测集 （1）内测度 （2）可测集及其性质 §4 可测集类

（1）区间、开集、闭集的可测性

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（2）Borel集 （3）不可测集

第四章 可测函数 §1 可测函数及其性质

（1）可测函数的定义及等价形式 （2）可测函数的性质 （3）可测函数与简单函数 §2 叶果洛夫（EropoB）定理 §3 可测函数的结构 （1）相对连续 （2）Лузин定理 §4 依测度收敛

（1）依测度收敛的概念

（2）Riesz定理与Lebesgue定理

第五章 积分论 §1 Riemann积分

§2 Lebesgue积分的定义 §3 Lebesgue积分的性质 §4 一般可积函数

§5 积分的极限定理

（1）Lebesgue控制收敛定理 （2）Levi定理 （3）Fatou定理

§6 Lebesgue积分的几何意义，Fubini定理 （1）乘积测度 （2）Fubini定理 §7 有界变差函数 §8 不定积分

（1）绝对连续函数、不定积分的概念 （2）牛顿——莱布尼兹公式

教材：

《实变函数与泛函分析基础》,程其襄等编，高等教育出版社，1983年。 《实变函数》，胡适耕编，高等教育出版社，1999年。 主要参考书目：

1．《实变函数》,周民强编,北京大学出版社，1985

2．《实变函数与泛函分析概要》, 郑维行，王声望，高等教育出版社，1989。 3．《实变函数论》（中译本）,HД.那汤松,高等教育出版社。

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微分几何课程教学大纲

（Differential Geometry）

课程编号：041014

课程性质：专业选修课（专业主要课程） 适用专业：数学与应用数学 先修课程：数学分析，常微分方程 后续课程：微分几何续论 总学时：48 总学分：3 教学目的与要求：

微分几何是以数学分析为主要工具研究空间形成的一门学科。主要讨论三维欧氏空间中光滑曲线和曲面的局部性质，它在生产实践以及数学、物理等理论中具有重要价值。本课程的目的在于培养学生具有厚实的几何基础知识，透彻理解分析、代数与几何这三者构成一个不可分割的有机体；培养学生运用几何思想、几何方法解决问题的能力；培养学生以三维欧氏空间中曲线、曲面等为模型，了解现代数学中微分流形的基本概念，为进一步学习现代数学理论打下扎实的基础。

教学内容与学时安排

序 号 1 2 第一章 曲线论

章目名称 曲线论 曲面论 学时序 分配 号 18 30 章目名称 学时分配 §1 曲线的概念

1．1 曲线的概念

1．2 光滑曲线，曲线的正常点 1．3 曲线的切线和法平面 1．4 曲线的弧长，自然参数

§2 空间曲线

2．1 空间曲线的密切平面 2．2 空间曲线的基本三棱形

2．3 空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式 2．4 空间曲线在一点邻近的结构 2．5 空间曲线论的基本定理

§3 特殊曲线

3．1 平面曲线 3．2 一般螺线 3．3 Bertrand曲线

本章重点：曲线的弧长、曲率和挠率，Frenet标架和Frenet公式 本章难点：曲线论基本定理

第二章 曲面论

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§1 曲面的概念

1．1 简单曲面及其参数表示

1．2 光滑曲面，曲面的切平面和法线 1．3 曲面上的曲线族和曲线网

§2 曲面的第一基本形式

2．1 曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长 2．2 曲面上两方向的交角 2．3 正交曲线族和正交轨线 2．4 曲面域的面积 2．5 等距变换 2．6 保角变换

§3 曲面的第二基本形式

3．1 曲面的第二基本形式 3．2 曲面上曲线的曲率

3．3 杜邦指标线

3．4 曲面的渐近方向和共轭方向

3．5 曲面的主方向和曲率线

3．6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 3．7 曲面在一点邻近的结构 3．8 高斯曲率的几何意义

§4 直纹面和可展曲面

4．1 直纹面 4．2 可展曲面

§5 曲面论的基本定理

5．1 曲面的Gauss-Weigarten公式 5．2 曲面的Gauss-Codazzi方程 5．3 曲面论的基本定理

§6 曲面上的测地线

6．1 曲面上曲线的测地曲率 6．2 曲面上的测地线

6．3 曲面上的半测地坐标网

6．4 曲面上的测地曲率的短程性 6．5 Gauss-Bonnet公式 6．6 曲面上的平行移动 6．7 极小曲面

§7 常曲率曲面

7．1 常曲率曲面

7．2 伪球面

本章重点：曲面的第一、第二基本形式，曲面的高斯曲率和平均曲率

本章难点：曲面的Gauss-Weigarten公式和Gauss-Codazzi方程，曲面论的基本定理 教材：

《微分几何》，梅向明 黄敬之编 ， 高等教育出版社，2003年。

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计算方法课程教学大纲

（Numerical Methods）

课程编号：041017

课程性质：专业选修课（专业主要课程） 适用专业：数学与应用数学

先修课程：数学分析、高等代数、常微分方程、程序设计语言 总学时：48 总学分：3 教学目的与要求：

本课程是数学系数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门重要专业基础课，在解决实际问题的长期过程中，形成了计算方法这门学科，电子计算机的快速发展，为科学技术中提出的各种数学问题求得数值解答提供了有力的工具，随着计算机广泛地用于大型的科学计算，数值计算方法的地位及重要性日益突出。我们开设这门课程，就是要介绍计算机中常用的数值计算方法和一些现代的数值方法思想，使学生能够掌握对于科研和生产实际中经常碰到的数值计算问题如何选择和使用适当的数值方法，了解这些方法的理论根据，本课程还对各类基本方法简介了便于编程的算法描述，所有书面作业都可在计算机上完成（条件许可）。

教学内容与学时安排

序 号 1 2 3 4

第一章 误差分析 （一）浮点数 （二）误差问题

（三）设计算法的注意事项

第二章 非线性方程的数值解法 （一）对分法

（二）弦截法 （三）切线法

（四）不动点迭代的原则

第三章 插值与逼近 （一）Lagrange插值法 （二）分段插值

（三）样条插值

（四）差商与Newton插值法 （五）最小二乘法

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章目名称 误差分析 非线性方程的数值解法 插值与逼近 数值积分法 学时序 分配 号 4 6 6 6 5 6 7 8 章目名称 解线性方程组的直接方法 解线性方程组的迭代法 矩阵的特征值问题 常微分方程初值问题的数值解法 学时分配 8 6 6 6

第四章 数值积分法 （一）内插求积公式

（二）等距节点求积公式 （三）复合求积公式 （四）Romberg积分法

第五章 解线性方程组的直接方法 （一）Gauss消去法 （二）矩阵的三角分解 （三）紧凑格式与追赶法 （四）矩阵求逆

（五）矩阵的范数和方程组的状态

第六章 解线性方程组的迭代法 （一）两种常用的迭代法

（二）一般迭代法的收敛条件

（三）逐次超松驰迭代法（SOR方法）

第七章 矩阵的特征值问题 （一）乘幂法

（二）求实对称矩阵特征值的对分法 （三）QR方法

第八章 常微分方程初值问题的数值解法 （一）折线法

（二）预估——校正法 （三）Runge——Kutta法 （四）线性多步法 主要参考书目：

1．《计算方法与算法语言》（第二版）张德荣等，人民教育出版社，1989 2．《数值计算方法》，林成森编著，科学出版社，1998年。 3．《计算方法》（自编教材），袁东锦编。

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数学教学论课程教学大纲

（Curriculum analysis and teaching method of middle school

mathematics）

课程编号：041018

课程性质：专业必修课（专业主要课程） 适用专业：数学与应用数学

先修课程：教育学，心理学，初等数学研究等 后续课程：解题方法研究与数学竞赛，数学史等 总学时：48 总学分：3学分 教学目的与要求：

数学教学论是继教育学，心理学、初等数学研究等课程开设之后，为数学系本科生开设的数学教育类专业选修课。通过本课程的开设，应使学生掌握关于数学教育的基本概念、基本原理和基本方法，了解数学教学的基本规律，从而建立符合科技发展形势，适应基础教育改革需要的全新的数学教育观念。在这基础上，帮助学生掌握数学教学论的基本思想与框架结构，形成进行数学教学的基本技能，掌握初步进行教学研究的方法。

由于数学教学论是一门实践性很强的理论学科，所以本课程拟采用理论与实践相结合，讲授、自学、讨论相结合的教学方法。在必要的时候，采用观摩公开课、看教学录象片，学生试讲的方法，以丰富学生对数学教实践活动的感性认识。 课程教学内容:

本课程的内容包含6大部分。即数学教学的目的和任务，数学课程与教学内容，数学学习理论，数学教学原则与方法，数学教学技能，数学教学评价。具体内容如下：

教学内容与学时安排

序 号 1 2 3

章目名称 数学教学目的和任务 数学课程与教学内容 数学学习理论 学时分配 6 序号 4 章目名称 数学教学原则与方法 学时分配 6 6 5 6 数学教学技能 数学教学评价 18 4 8 第一章 数学教学目的和任务

第一节 制定数学教学目的的依据 1．1 社会发展对培养人才的需求 1．2 数学学科的特点及其教育价值

1．3 学生的年龄特征 第二节 我国数学教学目的的内容的演变 第三节 中学数学教学目的的结构体系 3．1 知识教养性目标

32

3．2 智能发展性目标

3．3 情意教育性目标

3．4 认知与情意目标的结构层次

第二章 数学课程与教学内容

第一节 1．1 1．2

数学课程的设计 数学课程内容的选择 数学课程内容的编排

第二节 我国中学数学课程的基本内容 2．1 初中数学结构体系及特点分析 2．2 高中数学结构体系及特点分析 第三节 数学课程改革简介 3．1 国际数学教育近代化与现代化运动 3．2 回到基础后的数学教育热点问题分析 3．3 新世纪数学课程改革简介

第三章 数学学习理论

第一节 1．1 1．2 1．3

数学学习理论简介 行为主义学习理论及其教学观 认知主义学习理论及其教学观 建构主义学习理论及其教学观

数学思维方法及基本形式

第二节

2． 1 数学思维方法

2． 2 数学思维基本形式 第三节 数学能力及其培养 3． 1 数学运算能力及其培养 3．2 逻辑推理能力及其培养

3．3 空间观念及想象能力及其培养 3．4 解决问题能力及其培养

第四章 数学教学原则与方法

第一节 数学教学过程

1．1 数学教学过程的基本要素 1．2 数学教学过程的动态结构 第二节 数学教学原则 第三节 数学教学模式 3．1 传递接受模式 3．2 师生谈话模式 3．3 课堂讨论模式 3．4 引导发现模式 3．5 程序学习模式

第五章 数学教学技能（其中包括教学实践8课时）

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第一节 备课与编制教案

第二节 数学学习活动的设计 2．1 数学课的基本类型 2．2 数学学习活动的设计

第三节 数学语言及课堂提问 3．1 数学语言

3．2 课堂提问的艺术 第四节 数学概念及其教学 4．1 数学概念的逻辑知识 4．2 数学概念的教学 第五节

数学原理及其教学

5．1 数学原理的逻辑知识 5．2 数学公式的教学 5．3 数学定理的教学 第六节 数学问题及其教学 6．1 数学问题概述

6．2 数学问题体系的更新

第七节 数学课的述课基本要求

第六章 数学教学评价

第一节 1．1 1．2

数学教学评价概述 教育评价的功能 教育评价的类型

1．3 教育评价的复杂性 第二节 数学学习质量的测量与评价 2．1 数学试题的题型及编制 2．2 数学试卷的编排

2．3 测试分数的统计分析

2．4 测试分数的解释与评定 第三节 数学课堂教学质量的评价 3．1 课堂教学质量评价指标体系 3．2 课堂教学评价的项目记分法 3．3 课堂教学质量的模糊综合评判 教材：

《数学教学概论》，季素月编，东南大学出版社，2000年。 主要参考书目：

1．《数学教育学概论》，周学海编，东北师范大学出版社。 2．《数学教育学》，张奠宙编，江西教育出版社。

3．《数学典型课示例》，季素月编，东北师范大学出版社。 4．《中学数学教学技能训练》，朱家生编，东北师范大学出版社。

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图论课程教学大纲

（Graph Theory）

课程编号：041019 课程性质：专业选修课

适用专业：数学与应用数学 先修课程：中学数学、计算机语言 总学时：48 总学分：3 教学目的与要求：

图论是数学中一个既古老又年轻的分支。欧拉1736年关于哥尼斯堡七桥问题的论文标志着图论的诞生。近几十年来，由于运筹学、计算机科学等学科的促进，图论正经历着一个蓬勃发展的时期。由于图论所研究的问题既有很强的实际背景，又有重要的应用价值，所以人们对图论的兴趣越来越浓。通过本课程的教学，要求学生获得路和圈、树、平面图、匹配理论，遍历问题、网络流问题和图的着色等方面的基本概念、基本理论和基本技巧，并通过对图论中的一些著名问题的几个重要算法的了解，加强学生的感性与理性认识，培养学生理论联系实际，分析和解决问题的能力。

本课程选用的教材为宋增民主编的《图论及其应用》（东南大学出版社），教学以讲授为主，辅以计算机编程，用来解决一、二个实际问题（如求最小树与最短路）。

序 号 1 2 3 4

章目名称 基本概念 树 平面图 匹配理论 教学内容与学时安排

学时 序 分配 6 8 8 8 号 5 6 7 章目名称 学时 分配 6 8 4 Euler环游与Hamilton圈 着色问题 网络流问题 第一章 基本概念

第一节 几个实际问题

了解几个实际问题向图论问题的转化过程。

第二节 图与子图

一、理解图与子图的概念，掌握有关图的常用术语，掌握生成子图、简单图与完全图的

概念。

二、理解图同构的概念

三、理解导出子图和边导出子图的概念 第三节 顶点的度

一、掌握度与正则图的定义 二、掌握度和与边数的关系 第四节 路、圈和连通

一、理解途径、迹、路和圈的概念 二、理解邻域的概念

三、理解连通与分支的概念

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四、掌握二部图的定义与特征 第五节 有向图

一、了解有向图的概念

二、了解网络与有向网络的概念 第六节 图的矩阵表示 掌握图与网络的矩阵表示 第七节 计算复杂性问题 一、了解什么是有效算法 二、了解NP—完备问题

第二章 树

第一节 连通度

一、理解连通度与边连通度的概念

二、掌握连通度、边连通度与最小度之间的关系 第二节 割点、割边和块

一、理解割点和割边的概念，掌握它们的判别方法 二、理解块与图的块的概念，掌握块的性质 第三节 树及其基本性质 一、理解树与森林的概念

二、理解 根树与二叉树的概念，掌握二叉树的遍历问题 三、掌握树的基本性质

四、理解生成树的概念 第四节 最小树与最短路

一、理解最小树和最短路的概念

二、理解Kruskal算法和Dijkstra算法，掌握它们的迭代方法 三、编程解决一、两个实际问题

第三章 平面图

第一节 平面图的概念

一、理解平面图与非平面图的概念 二、掌握平面嵌入与球面嵌入的关系 第二节 Euler公式 一、理解面的概念 二、掌握Euler公式

第三节 对偶图

一、掌握面的度的定义以及与边数的关系

二、理解对偶图的概念，掌握对偶图的性质与画法 三、掌握平面图的一些必要条件 第四节 Kuratowski定理

一、理解缩并与剖分图的概念

二、掌握Kuratowski定理和Wagner定理

第四章 匹配理论

第一节 对集

36

一、理解对集、最大对集和完美对集的概念 二、理解交错路、交错圈和增长路的概念

三、掌握判别最大对集和完美对集的充要条件 第二节 二部图中的对集与覆盖 一、掌握Hall定理

二、理解覆盖与覆盖数的概念

三、掌握边独立数与覆盖数的关系，掌握Konig定理 四、了解寻找二部图中最大对集的匈牙利方法 第三节 独立集和Ramsey数 一、理解独立集与独立数的概念 二、掌握独立数与覆盖数的关系 三、了解边独立数与边覆盖数的关系 四、理解Ramsey数的概念 五、掌握Ramsey数的上界

第五章：Euler环游与Hamilton圈

第一节 Euler环游

一、理解Euler环游与Euler 图的概念 二、掌握Euler图和半Euler图的特征 三、掌握一笔画问题及其判别方法 第二节 Hamilton圈

一、理解Hamilton图与半Hamilton图的概念 二、掌握Hamilton图的必要条件 三、掌握Dirac定理和Ore定理

四、理解闭包的概念，掌握闭包的求法 五、了解Hamilton问题的发展状况

第六章 着色问题

第一节 顶点着色

一、了解着色问题的由来，理解点着色与色数的概念 二、了解贪婪算法

三、掌握色数的上界及Brooks定理 第二节 边着色

一、理解边着色和边色数的概念 二、了解边着色的应用 三、掌握Vizing定理

四、掌握第一类图与第二类图的概念

第三节 四色问题

一、了解四色问题的由来，并能用图论的语言叙述 二、了解颜色互换技巧 三、了解五色定理

第四节 颜色多项式

一、理解颜色多项式的概念，了解颜色多项式与色数的关系 二、掌握用加边法和减边法求颜色多项式的方法

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第七章 网络流问题

第一节 基本概念和基本定理

一、了解可行流、最大流、截集和最小截集的概念 二、了解最大流最小截集定理 三、了解求最大流的标号算法 第二节 最小费用流问题

一、了解最小费用流的概念及其判别准则 二、了解最小费用最大流算法

教材：

《图论及其应用》，宋增民主编，东南大学出版社

主要参考目录：

（1）Graph theory with applications, J. A. Bondy and U. S. R. Murty, The Maclmillan Press Ltd(1976)

（2）图与网络流理论 田丰、马仲蕃，科学出版社（1987） （3）图论 陈子岐等，高等教育出版社（1990）

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点集拓扑课程教学大纲

（Topology）

课程编号：041021 课程性质：专业选修课

适用专业：数学与应用数学

先修课程：近世代数，实变函数 后续课程：泛函分析 总学时：48 总学分：3学分

教学目的和要求：

点集拓扑学是数学专业的一门重要的基础课，它的许多概念、理论和方法在数学的其它分支中有着广泛的应用。通过本课程的教学，要使学生基本掌握点集拓扑的基础知识、基本理论；要让学生对数学的公理化方法受到较严格的训练，以提高数学素养和抽象思维能力，为学习近代数学的各分支奠定基础。在教学方法上，注意讲清灵活的拓扑思想，具体的数学背景和潜在的应用，以淡化拓扑概念的枯燥和抽象。

教学内容与学时安排

序 号 1 2 3 4 章目名称 集合论初步 拓扑空间与连续映射 子空间，（有限）积空间，商空间 连通性 学时 分配 10 18 6 9 序 号 5 章目名称 有关可数性的公理 学时 分配 5 第一章 集合论初步

第一节：集合的基本概念 第二节：集合的基本运算 *第三节：关系 第四节：等价关系 第五节：映射

第六节：集族及其运算

第七节：可数集，不可数集，基数 *第八节：选择公理

第二章 拓扑空间与连续映射

第一节：度量空间与连续映射 第二节：拓扑空间与连续映射 第三节：邻域与邻域系 第四节：导集，闭集，闭包 第五节：内部，边界 第六节：基与子基

*第七节：拓扑空间中的序列

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第三章 子空间，（有限）积空间，商空间

第一节：子空间 第二节：（有限）积空间 *第三节：商空间

第四章：连通性

第一节：连通空间

第二节：连通性的某些应用 第三节：连通分支

*第四节：局部连通空间 第五节：道路连通空间

第五章 有关可数性的公理

第一节：第一与第二可数性公理 第二节：可分空间

*第三节：Lindeloff空间

*第六章:分离性公理

第一节: T0 ,T1 , Hausdorff空间

第二节: 正则,正规,T3 ,T4 空间

*第三节: Urysohn引理和Tietze扩张定理 *第四节: 完全正则空间,Tychonoff空间

*第五节: 分离性公理与子空间,(有限)积空间和商空间 *第六节: 可度量化空间

*第七章:紧致性

第一节:紧致空间

第二节:紧致性与分离性公理

第三节:n维欧氏空间R中的紧致子集 *第四节:几种紧致性以及其间的关系 *第五节:度量空间中的紧致性 *第六节:局部紧致空间,仿紧致空间 教材：

《点集拓扑讲义》，熊金城编，高等教育教育出版社（第三版），2003 主要参考书目：

１．［美］Ｊohn D.Baum著，蒲思立译《点集拓扑学原理》，人民教育出版社，１９８１。 ２．蒲保明等编《拓扑学》，高等教育出版社，１９８５。 ３．J.R.Munkres, Topology-A First Course, New Jersey, 1975（中译本：拓扑学基本教程， 罗嵩龄等译，科学出版社，１９８７）。 说明：

１．由于本课程高度抽象以及学生对公理化方法不太熟悉，适当指导解题是需要的。教师必

须把培养学生的抽象思维能力放在首位并注意基本技能的训练。 ２．对有“＊”的章节内容仅作简要介绍，或略去不讲。对有“△”的章节内容，因学生已

多次接触，可提要介绍。

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