概率论与数理统计习题及答案-山西大同大学

1

习题四

1.设随机变量X 的分布律为

求E （X ），E （X ），E （2X +3）.

【解】(1) 11111()(1)012;82842

E X =-?+?+?+?= (2) 2222211115()(1)012;82844

E X =-?+?+?+?= (3) 1(23)2()32342

E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =?

+?+?+?+?+? 0.501,=

5

2

0()[

()]i i

i D X x E X P ==-∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-?+-?+

+-?=

3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3.

【解】因1231P P P ++=……①,

2 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,

222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=

……

由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===

4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白

球的概率是多少？

【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则

0(){|}{}N

k P A P A X k P X k ===∑全概率公式

01{}{}1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N

========∑∑

5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=??

???≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）.

【解】12201

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞

-∞==+-??? 21332011 1.33x x x ????=+-=???????

? 122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=?

?? 故 221()()[()].6

D X

E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1） U =2X +3Y +1；

（2） V =YZ -4X .

【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++

25311144.=?+?+=

(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=-

,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立

3 1184568.=?-?=

7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），

D （2X -3Y ）.

【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=?-?=

(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?=

8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=???<<<<.,0,

0,10,其他x y x k

试确定常数k ，并求E （XY ）.

【解】因1001(,)d d d d 1,2x

f x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===????故k =2

100()(,)d d d 2d 0.25x

E XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===????.

9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

f X （x

）=???≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,

0,.y y --?>??其他

求E （XY ）.

【解】方法一：先求X 与Y 的均值

1

02()2d ,

3E X x x x ==? 5

(5)500()e d 5e d e d 51 6.

z y y z z E Y y y z z z +∞+∞+∞=-----=+=+=???令 由X 与Y 的独立性，得 2()()()6 4.3E XY E X E Y ==?=

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为

(5)2e ,01,5,

(,)()()0,,

y X Y x x y f x y f x f y --?≤≤>==??其他

于是

11(5)2(5)

50052()2e d d 2d e d 6 4.3y y E XY xy x x y x x y y +∞+∞----===?=????

10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为

f X （x ）=???≤>-;0,0,0,22x x x

e f Y （y ）=???≤>-.0,0,

0,44y y y e

求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）.

【解】22-2000()()d 2e d [e ]e d x x x X X xf x x x x x x +∞+∞

+∞

--+∞-∞==-???

4

20

1

e d .2x x +∞

-==?

401()()d 4e d y .

4

y

Y E Y y f y y

y +∞

+∞

--∞=

=?

?

2

2242021()()d 4e d .48

y Y E Y y f y y y y +∞

+∞

--∞=

==

=??

从而(1)113

()()().244

E X Y E X E Y +=+=+=

(2)22

115(23)2()3()23288

E X Y E X E Y -=-=?-?=

11.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=????

?<≥-.

0,

0,

0,

2

2x x cx x

k

e

求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由

22

2

()d e d 12k x c f x x cx x k

+∞

+∞

--∞

==

=?

?得2

2c k =. (2) 22

20

()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞

+∞

--∞

=

=?

?

22

2

20

2e d k x k

x x +∞

-==

?

(3) 22

2

22220

1()()d()2e .k

x

E X x f x x x k x k

+∞

+∞

--∞

=

=?

?

故

2

222214π

()()[()].24D X E X E X k k k

?-=-=-= ?? 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取

出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，

3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

9{0}

0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==?= 329{2}0.041,121110P X ==??= 3219{3}0.005.1211109P X ==???= 于是，得到X 的概率分布表如下：

由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =?+?+?+?=

222222

2

2

()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.

E X D X E X E X =?+?+?+?==-=-=

13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为

5 f （x ）=?????≤>-.0,

0,0,414x x x e

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.

【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200

元

/41/411{100}{1}e d e

4x P Y P X x +∞

--==≥==? 1/4{200}{1}1e .

P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=?+-?-=-= (元).

14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，

n ，记

∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 1

2)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n

2

σ； （2） 验证S 2=)(11122∑=--n i i X n X n ； （3） 验证E （S 2）=σ2.

【证】(1) 11

11111()()().n n n i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===??===== ???∑∑∑ 22111111()()n n n i i i i i i i D X D X D X X DX

n n n ===??== ???∑∑∑之间相互独立

2

221.n n n

σσ== (2) 因

222221111()(2)2n n n n

i i i i i i i i i X

X X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑ 22

22112n n i i i i X

nX X nX X nX ===+-=-∑∑ 故22

211()1n i i S X nX n ==--∑.

6 (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2

2

22()()().i i i E X D X EX u σ=+=+ 同理因2

(),()E X u D X n σ==,故2

22()E X u n σ=+.

从而

22

22211

11()()[()()]11n

n i i i i E s E X nX E X nE X n n ==??=-=-??--??∑∑

2212

2222

1[()()]11().

1n

i i E X nE X n n u n u n n σσσ==

--????=+-+=?? ?-????∑

15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,

计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3

）

【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=?+?--?=-

(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似).

16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=221

,1,π0,.

x y ?

+≤????其他

试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.

【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.

221

1()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞

-∞-∞+≤==????

2π1

001=cos d d 0.πr r r θθ=??

同理E (Y )=0.

而 C o v (,)[()][()](,X Y x E x y E Y f x y x y

+∞+∞

-∞-∞=--?? 222π12

0011

1d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===????,

由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关.

7 下面讨论独立性，当|x |≤1

时，1()

X f x y 当|y |≤1

时，1()Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠

故X 和Y 不是相互独立的.

17.

验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.

【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的

分布律，其分布律如下表

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