自招必备 - 华师大二附中高中物理自主招生内部讲义

第一讲 平衡问题 （一）

这部分内容虽然是第一章，但变化多端，不可轻视！

【高考部分】

1．如图，两长度均为5m的轻杆AB、BC，处在同一竖直平面内，A、B、C三处均用铰链连接，其中A、C两点在同一水平面上且相距6m。现在BC杆的中点处施加一水平作用力F＝36N，整个装置仍保持静止不动，则AB杆对B处铰链的作用力大小为________N。若持续增大力F，整个装置仍保持静止，则在此过程中，BC杆对C处铰链的作用力的方向的变化情况为_____________（选填“顺时针转动”、“保持不变”或“逆时针转动”）。

B F

A C 2．如图，OA是一根长为L＝0.3m的轻质硬杆，其一端通过光滑铰链与竖直光滑墙面连接，另一端A固定一质量均匀分布的球B，O′点为球心，O、A、O′三点在一条直线上，B球半径为r＝0.2m，质量为M＝3.0kg。矩形物块C的厚度为d＝0.1m，质量为m＝2.0kg，物块与球面间的动摩擦因数为μ＝0.4。现在物块下端施加一个竖直向上、大小为30N的力F，使物块保持静止。g＝10m/s2。求：

（1）B球对物块C的摩擦力和压力的大小； （2）撤去力F后，B球对物块C的摩擦力大小。

O A C B O′ F

3.在一些重型机械和起重设备上，常用双块式电磁制动器，它的简化示意图如图所示，O1和O2为固定铰链.在电源接通时，A杆被往下压，通过铰链C1、C2、C3使弹簧S被拉伸，制动块B1、B2与转动轮D脱离接触，机械得以正常运转.当电源被切断后，A杆不再有向下的压力(A杆及图中所有连杆及制动块所受重力皆忽略不计)，于是弹簧回缩，使制动块产生制动效果.此时O1C1和O2C2处于竖直位置.已知欲使正在匀速转动的D轮减速从而实现制动，至少需要M=1100N·m的制动力矩，制动块与转动轮之间的摩擦因数μ=0.40，弹簧不发生形变时的长度为L=0.300m，转动轮直径d=0.400m，图示尺寸a=0.065m，h1=0.245m，h2=0.340m，问选用的弹簧的劲度系数k最小要多大?(第十三届全国中学生物理竞赛预赛试题)

4.如图所示，均匀木板AB长12 m，重200 N，在距A端3 m处有一 端被绳拴住，绳与AB的夹角为30°，板AB水平.已知绳能承受的最大拉力为200 N，那么重为600 N的人在该板上安全行走，离A端的距离应在什么范围？

5.如图所示，梯与墙之间的摩擦因数为μ1，梯与地之间的摩擦因

固定转动轴O，B

数为μ2，梯子重心在中央，梯长为L.当梯子靠在墙上而不倾倒时，梯与地面的最小夹角θ由下式决定：tanθ=

1??1?2，试证之. 2?2

整体法隔离体法

1．如图所示，光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？

2．用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示。今对小球a持续施加一个向左偏下30°角的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上300角的大小相等的恒力，最后达到平衡状态。表示平衡状态的图可能是右图中的（ ）

3.如图所示，水平放置的两固定光滑硬杆OA、OB成θ角，在两杆上各套一轻环P、Q，两环用细绳相连.现用一大小为F的恒力沿OB方向拉圆环Q，当两环处于平衡状态时，绳子的拉力大小为______.

4．有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示，现将P环向左移一小

段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，光滑 AO杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是（ ）

A．FN不变，F变大 B．FN不变，F变小 C．FN变大，F变小 D．FN变大，F变大

5．如图所示，相互垂直的光滑挡板PO、OQ被竖直固定放置在重力场中，a、b为质量相同的小颗粒（可看成质点），相互间存在大小与距离平方成反比的斥力作用，方向沿a、b连线。当力F水平向左作用于b时，a、b处于静止状态。现若稍增大力F，且使b稍有移动，则当则a、b重新处于静止状态时重新（

）

（A）a对b的作用力大小增大， （B）a对b的作用力大小减小 （C）OQ面板对b的支持力大小不变 （D）OQ面板对b的支持力大小增大

6．如图，一容器两端是直径不同的两个圆筒，里面各有一个活塞，活塞横截面积分别是SA＝8cm2，SB＝24cm2，质量分别为MA＝8kg，MB＝12kg，它们之间用一轻杆相连并保持平衡，活塞与圆筒壁间无摩擦，活塞B的下

面和大气相通，活塞A的上面是真空。若大气压强p0＝1×105Pa，重力加 p 速度g＝10m/s2，则被封闭气体的压强为_____________Pa；若略微降低桶 B 内气体的温度，重新平衡后，桶内气体压强将__________（选填“变大”、“不 p0 变”或“变小”）。

A P a b F O Q 粗糙

摩擦力压力相关的平衡

1．在水平地面上放一木板B，重力为G2=100N，再在木板上放一货箱A，重力为G1=500N，设货箱与木板、木板与地面的动摩擦因数μ均为0.5，先用绳子把货箱与墙拉紧，如图所示，已知tgθ=3/4，然后在木板上施一水平力F，想把木板从货箱下抽出来，F至少应为多大？（Fmin= 413.6N）

2．如图所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求：⑴物体A所受到的重力；⑵物体B与地面间的摩擦力；⑶细绳CO受到的拉力。

3．如图所示，在水平地面上放着两物体，质量分别为M与m，且M>m，它们与地面的动摩擦因数分别为μA与μB，一轻细线连接A和B。线与水平方向成α角，在物上加一水平力F，使它们做匀速直线运动，则（ ）

A．若μA=μB，则α角越大，F越大 B．若μA<μB，则α角越小，F越大 C．若μA=μB，则F与α无关 D．若μA>μB，则α越大，F越大

4 如图，半径为R的光滑球，重为G，光滑木块厚为h，重为G1，用至少多大的水平力F推木块才能使球离开地面？

【自招拓展题目】

1．重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？

2.如图所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为

3，想用大3小为F的力推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平面的夹角在什么范围内都是可能的? 答案:???3?arcsinmg 2F

3.如图所示，物块置于倾角为θ的斜面上，重为G，与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，与斜面的动摩擦因数为μ=3/3，用水平外力F推物体，问当斜面的倾角变为多大时，无论外力怎样增大都不能使物体沿斜面向上运动?

4．有三个质量相等，半径为r的圆柱体，同置于一块光滑圆弧曲面上，为了使下面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？

5.在地面放置两个相互紧靠在一起的相同的圆柱形木头，在它们上面放置同样的圆木，如图所示。问圆木之间的摩擦因数μ最小值为多少时，它们才不会滚开?设圆木与地面间无滑动现象发生。

第二讲 物体的平衡（二）

高考部分

相似问题

1．光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图。现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小如何变化？

2．如图所示，竖直墙壁上固定一点电荷Q，一个带同种电荷q的小球P，用绝缘细线悬挂，由于两电荷之间的库仑斥力悬线偏离竖直方向θ角，现因小球所带电荷缓慢减少，试分析悬线拉力的大小如何变化?

3．如图所示，重为P和q的两个小圆环A和B，都套在一个竖直光滑的大圆环上，大圆环固定不动，长为L，质量不计的绳两端拴住A和B，然后挂在光滑的钉子o′上，在圆环中心o的正上方，整个系统平衡时，A和B到钉子距离分别为R和r，试证明：RrL?? qPP?q 4．一球重为G，固定的竖直大圆环半径为R，轻弹簧原长为L(L＜2R)，其劲度系数为k，一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角θ为多少？

滑轮绳子

1．如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。

2.如图所示，跨过两个定滑轮的轻绳上系着三个质量分别为m1、m2和M

的重物，两滑轮的悬挂点在同一高度，不计摩擦.求当整个系统处于平衡状态时，三个重物质量之间的关系.

3．如图所示，重为G的均匀链条。两端用等长的细线连接，挂在等高的地方，绳与水平方向成θ角。试求：⑴绳子的张力。⑵链条最低点的张力。

4．如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一光滑的挂钩悬挂一重物，AO段中张力大小为T1，BO段张力大小为T2。现将右固定端由B沿杆慢移到B′点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为（ ）

A．T1变大，T2减小 B．T1减小，T2变大 C．T1、T2均变大 D．T1、T2均不变

力矩问题

1.如图所示，A、B是两个完全相同的长方形木块，长为l，叠放在一起，放在水平桌面上，端面与桌边平行.A木块放在B上，右端有出，为保证两木块不翻倒，木块B伸出桌边的长度不能超过( ). (A)

l伸4l 2 (B)

3l 8(C)

l 4 (D)

l 8

2.如图所示，一个质量为m、半径为R的球，用长为R的绳悬挂在L形的直角支架上，支架的重力不计，AB长为2R，BC长为23R，为使支架不会在水平桌面上绕B点翻倒，应在A端至少加多大的力？ 答案:

mg 23.棒AB的一端A固定于地面，可绕A点无摩擦地转动，B端靠在物C上，物C靠在光滑的竖直墙上，如图所示.若在C物上再放上一个小物体，整个装置仍保持平衡，则B端与C物之间的弹力大小将( ). (A)变大 (B)变小 (C)不变 (D)无法确定 答案:A

4.如图所示，质量为m的运动员站在质量为m的均匀长板AB的中点，板位于水平地面上，可绕通过A点的水平轴无摩擦转动.板的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中.当运动员用力拉绳子

时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直方向，则要使板的B端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是______.

答案:

2mg 35.如图3-3所示，长为L质量为m的均匀木棒，上端用绞链固定在物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当：

（1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力； （2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力； （3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力.

6.两个所受重力大小分别为GA和GB的小球A和B，用细杆连接起来，放置在光滑的半球形碗内.小球A、B与碗的球心O在同一竖直平面内，如图所示.若碗的半径为R，细杆的长度为2R，GA>GB，则连接两小球的AB细杆静止时与竖直方向的夹角为多大? 答案:arctan图3-3

GB?? GA47.如图所示，一根重为G的均匀硬杆AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端B作用一水平力F，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、杆与竖直方向的夹角分别为α、β求证:tanβ=2tanα. 答案:略

【自招拓展版块】

1如图所示，有一长为L，重为G0的粗细均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙的墙壁上，杆端和墙壁间的摩擦因数为μ，B端用一强度足够大且不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C点，木杆处于水平，绳和杆夹角为θ。

（1）求杆能保持水平时，μ和θ应满足的条件；

（2）若杆保持平衡状态时，在杆上某一范围内，悬挂任意重的重物，都不能破坏杆的平衡状态而在这个范围以外，则当重物足够重时，总可以使平衡破坏，求出这个范围来。

C

2如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱体放上去之前，A、B两柱θ B 体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因A

数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？

B A C 3、如图所示，方桌重100N，前后脚与地面的动摩擦因数为0.20，桌的宽与高相等。求：（1）要使方桌匀速前进，则拉力F、地面对前、后脚的支持力和摩擦力各是多大？（2）若前、后脚与地面间的静摩擦因数为0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌子可使桌子以前脚为轴向前翻倒？

F

h

h

B A

4、如图所示，重30N的均匀球放在斜面上，球面上C点以绳系住，绳与地面平行，求绳的拉力，斜面对球的支持力和摩擦力。

C A

O

B 37°

5.两个所受重力大小分别为GA和GB的小球A和B，用细杆连接起来，放置在光滑的半球形碗内.小球A、B与碗的球心O在同一竖直平面内，如图所示.若碗的半径为R，细杆的长度为2R，GA>GB，则连接两小球的

AB细杆静止时与竖直方向的夹角为多大?

6.如图所示，一根重为G的均匀硬杆AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端B作用一水平力F，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、杆与竖直方向的夹角分别为α、β求证:tanβ=2tanα.

7. 三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d?a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向，（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A A B C杆顶端所受作用力的大小和方向又如何？

4R

8、如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O的距离a＝ ，其中R为圆柱体半径，如

3π果半圆柱体与水平面间的摩擦因数为μ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ。

9、如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数．

F

α

10、如图所示，一张桌子长为L＝1 m、高为H＝0.8 m，重为G＝200 N，重心在桌面正中之下方，离桌底高为h＝0.6 m，桌放在倾角为?＝37?的斜面上，可绕过桌腿A端的水平轴转动，现在桌面上施一平行于桌面的力F，为使桌子能翻转，求力F的大小。

F

G A 37?

图2-4-7

11、如图所示，┏型均匀杆总长为3L，在竖直平面内

L L 可绕水平轴O转动，若在杆的右端A点加一方向竖直

B 向下的力F，使杆顺时针缓慢转动。在AB杆由水平转A

O 过90°的过程中，以下说法正确的是：（ ）

L (A)力F不变 F

C (B)力F变大

(C)力F的力矩变小

(D)力F的力矩先变大后变小。

?O F

12如图所示，重为G的圆盘与一轻杆相连，杆与盘恰相切，支于杆上的O点，用力F竖直向下拉杆的另一端，使该端缓慢向下转动，则杆转到竖直之前，拉力F及其力矩M的变化

是（ ）。

（A）M变小，F不变 （B）M、F均变小

（C）M先变大再变小，F始终变大 （D）M变小，F变大

13、一均匀直角三角形木板a b c，可绕垂直纸面通过c点的水平轴无摩擦转动，如图2-4-10所示，现用一始终沿直角边ba且作用于a点的力F，使bc边缓慢地由水平位置转至竖直位置，在此过程中，力F的大小随?角变化的图线是（ ）。

(B) F (C) F (D) F ? ? ? ? b ? c 0 90? 0 90? 0 90? 0 90? 图2-4-10

14.图中是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴过图中O点垂直于纸面，AB是一长度l=0.60m、质量m1=0.50kg的均匀刚性细杆，可绕A端的固定轴在竖直面（图中纸面）内无摩擦地转动，工件C固定在AB杆上，其质量m2=1.50kg ，工件的重心、工件与

砂轮的接触点P以及O点都在过AB中点的竖直线上，P到AB杆的垂直距离d=0.10m，AB杆始终处于水平位置，砂轮与工件之间的动摩擦因数?=0.60。 （1）当砂轮静止时，要使工件对砂轮的压力F0=100N，则施于B端竖直向下的力FB应是多大？

（2）当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为F0=100N ，则施于B端竖直向下的力FB应是多大？

15、有一质量为m=50kg的杆，竖立在水平地面上，杆与地面间的最大静摩擦因数为μ=0.3，杆的上端被固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=30°。

①若以水平力F作用于杆上，作用点到地面的距离h为杆长L的2/5，要使杆不滑到，则力F最大不能超过多少？

②若将作用点移到h为杆长L的4/5处，情况又如何？

a (A) F

所示，若将质量为m的质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6的距离，则薄片A6B6中点所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）压力。

。

25. 图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB 和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度?转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度ac的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）

第四讲 运动的基本概念、运动的合成与分解 【自招板块】

【知识要点】 平均速度：v?x?x0s? tts

?t?0?t?v平均加速度：a?

?t?v瞬时加速度：a?lim

?t?0?t瞬时速度：v?lim【运动的合成与分解】

一个物体同时参与几个运动时，各个分运动可以看作是独立进行的，它们互不影响，

物体的实际运动可以看成是这几个运动迭加而成的，这一原理叫运动的独立性原理。它是运动的合成与分解的依据。在进行运动的分解时，理论上，只要遵从平行四边形法则，分解是任意的，而实际中既要注意分速度有无实际意义，又要注意某一分速度能否代表所要求解的分运动的速度。分运动与分运动、分运动与合运动之间除遵从矢量运动算法则外，运动的同时性也是联系各个方向上的分运动和合运动的桥梁。

【例题1】一物体以大小为v1的初速度竖直上抛，假设它受到大小不变的恒定的空气阻力的作用，上升的最大高度为H，到最高点所用时间为t，从抛出到回到抛出点所用时间为T，回到抛出点速度大小为v2，求下列两个过程中物体运动的平均速度、平均速率、平均加速度。 （1）在上升过程中。 （2）整个运动过程中。

【例题2】高为H的灯柱顶部有一小灯，灯下有一高为h的行人由灯柱所在位置出发，沿直线方向在水平面上背离灯柱而去。设某时刻该人的行走速度为v0，试求此时行人头顶在地面的投影的前进速度v。

H

h v v 0

O x0 x

【例题3】如图所示，绳AB拉着物体m在水平面上运动，A端以速度v做匀速运动，问m做什么运动？

v A

B

m

【例题4】如图所示，两个相同的小球A、B通过轻绳绕过定滑轮带动C球上升，某时刻连接C球的两绳夹角为60°，A、B速度均为v，求此时C球的速度。

60°

v C v B A

【例题5】如图所示，一刚性杆两端各拴一小球A、B，A球在水平地面上，B球靠在竖直墙上，在两球发生滑动过程中，当杆与竖直夹角为θ时，A球速度为v，求此时B球的速度。

B

θ A

【练习】1、如图所示，细绳绕过定滑轮将重物m和小车连在一起，车以恒定速度v向右运动，当细绳与水平方向间的夹为θ时，重物上升的速度是多大？重物上升的速度和加速度如何变化？

2、甲乙两船在静水中划行速度分别为v甲、v乙，两船从同一渡口过河，若甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船在同一地点到岸，求两船过河时间之比θ t甲t乙v 。

3、如图所示，一个不透光的球壳内有一发光点，球壳可绕垂直于纸面的水平轴以角速度ω匀速转动，由于球壳上开一小孔，因而有一细束光线在竖直面内转动，在离转轴距离为d处有一竖直墙，当光线与屏幕夹角为θ时，屏上光斑速度为多大？

θ ω

d

4、如图所示，滑轮组中的小物体1、2向下的加速度分别为a1、a2，求物体3向上运动的加速度。

2 1

3

5、如图所示，有一河面宽L=1km，河水由北向南流动，流速v=2m/s，一人相对于河水以u=1m/s的速率将船从西岸划向东岸。

（1）若船头与正北方向成α=30°角，船到达对岸要用多少时间？到达对岸时，船在下游何处？

（2）若要使船到达对岸的时间最短，船头应与岸成多大的角度？最短时间等于多少？到达对岸时，船在下游何处？

（3）若要使船相对于岸划行的路程最短，船头应与岸成多大的角度？到达对岸时，船在下游何处？要用多少时间？

北

L 东

相对运动与相关速度

【相对运动】

运动的合成包括位移、速度和加速度的合成。一般情况下把质点对地面上静止的物体的运动称为绝对运动，质点对运动参照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动，由坐标系的变换公式 vA对B?vA对C?vC对B 可得到 v绝对?v相对?v牵连。

位移、加速度也存在类似关系。

运动的合成与分解，一般来说包含两种类型，一类是质点只有绝对运动，如平抛物体的运动；另一类则是质点除了绝对运动外，还有牵连运动，如小船过河的运动。解题中难度较大的是后一类运动。求解这类运动，关键是列出联系各速度矢量的关系式，准确地作出速度矢量图。

【例题1】如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A有向左的速度v，B有向右的速度2v，求交点P的速度。

P

A B v 2v

【例题2】一人以7m/s的速度向北奔跑时，感觉风从正西北方向吹来，当他转弯向东以1m/s的速度行走时，感觉风从正西南方向吹来，求风速。

【例题3】 一人站在到离平直公路距离为d=50m的B处，公路上有一汽车以v1=10m/s的速度行驶，如图所示。当汽车在与人相距L=200m的A处时，人立即以v2=3m/s的速率奔跑。为了使人跑到公路上时，能与车相遇。问：（1）人奔跑的方向与AB连线的夹角θ为多少？（2）经多长时间人赶上汽车？（3）若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度为多少？

v1

A β

d

B

【练习】1、一艘船在河中逆流而上，突然一只救生圈掉入水中顺流而下。经过t0时间后，船员发现救生圈掉了，立即掉转船头去寻找丢失的救生圈。问船掉头后要多长时间才能追上救生圈？

2、平面上有两直线夹角为θ（θ<90°），若它们各以垂直于自身大小为v1和v2的速度在该平面上作如图所示的匀速运动，试求交点相对于纸面的速率和相对于每一直线的速率。

v2

1 θ O v1

2

3、如图所示，一辆汽车以速度v1在雨中行驶，雨滴落下的速率v2与竖直方向偏前θ角，求车后一捆行李不会被雨淋湿的条件。

v2 v1 L H θ 行李

4、如图所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并排固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠子C穿过绳及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升，当图中角度为α时，珠子D上升的速度v2是多大？

A B

C α v1 D

A1 B1 5、有A、B两艘船在大海中航行，A船航向正东，船速15km/h，B船航向正北，船速

20km/h。A船正午通过某一灯塔，B船下午两点也通过同一灯塔。问：什么时候A、B两船相距最近？最近距离是多少？

6、一个半径为R的半圆柱体沿体沿水平方向向右做匀加速运动，在半圆柱体上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（沿图所示），当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心连线（竖直方向）的夹角为θ，求此时竖直杆的速度和加速度。

R θ P v

6．如图所示，小球从高为h的斜面上的A点由静止滑下，经B点在水平面上滑到C点而停止，现在要使小球由C点沿原路回到A点时速度为0，那么必须给它以多大的初速度？（设小球经过B点时无能量损失）

A

h C B

7．一块质量为m的滑块由倾角为θ的斜面上的A点滑下，初速度为v0，滑块与斜面之间的动摩擦因数为μ，如图所示，已知滑块从A点滑到弹簧形变最大的C点处的距离为L，求滑块能反弹到的最高点离C点的距离x．

A

C

8．起重机以恒定功率5kw从地面上提升质量250kg的物体，上升到5m高处物体开始做匀速运动，那么起重机已经工作了多长时间？已知g=10m/s2。

9．如图所示，把一物体系在轻绳的一端，轻绳另一端穿过光滑水平板的小孔且受到竖直向下的拉力，当拉力为F时，物体在板上做圆周运动的半径为R，在拉力由F增大到4F的过程中，物体做圆周运动的半径减为R/2，求该过程中拉力做的功。

m

F

10．如图所示，质量为m的小物体，放在半径为R的光滑半球顶端，开始它们相对静止。现使半球以加速度a=g/4匀加速向右运动，求物体离开球面时，离半球底面的距离。

m R

第十讲 机械能守恒

与圆周运动的结合【高考版块】

1.长l的线的一端系住质量为,的小球,另一端固定,使小球在竖直平面内以绳的固定点为圆心恰能作完整的圆周运动,卜列说法中正确的是( ).

(A)小球、地球组成的系统机械能守恒 (B)小球作匀速圆周运动

(C)小球对绳拉力的最大值与最小值相差6mg (D)以最低点为参考平面,小球机械能的最小值为2mgl

2.如图所示,质量相同的两个小球,分别用长l和2l的细绳悬挂在天花板上,分别拉起小球使线伸直呈水平状态,然后轻轻释放.当小球到达最低位置时( ).

(A)两球运动的线速度相等 (B)两球运动的角速度相等 (C)两球的向心加速度相等 (D)细绳对两球的拉力相等

3.如图所示,一根长l的细线,一端固定在顶板上,另一端拴一个质量为m的小球.现使细线偏离竖直方向α=60Δ°角后,从A点处无初速地释放小球.试问: (1)小球摆到最低点O时的速度多大?

(2)小球摆到左方最高点的高度(相对最低点)多高?

(3)若在悬点正下方处有一钉子,O′P=l/3,不计悬线与钉碰撞时的能量损失,则小球碰钉后向左摆动过程中能达到的最大高度有何变化?

4_如图所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架,在A处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕过O点并与支架所在平面相垂直的同定轴转动.开始时OB与地面相垂直,放手后支架开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法中正确的是( ).

(A)A球到达最低点时速度为零 (B)A球机械能减少量等于B球机械能增加量

(C)B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度 (D)当支架从左向右返回摆动时,A球一定能回到起始高度

5.如图所示,小球质量为m,用长为l的细绳悬挂在一枚细钉上,用一大小

为F的水平恒力拉球,至细绳偏转角度为θ(θ＜90°)时撤去F,如在运动中绳子始终处于伸直状态.求:(1)小球能上升的最大高度.(2)小球又回到最低点时,细绳上张力的大小.

6.如图所示,半径为r、质量不计的圆盘盘面与地面相垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O,在盘的最右边缘固定有一个质量为m的小球A,在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B.放开盘让其自由转动,问: (1)当A球转到最低点时,两小球的重力势能之和减少了多少? (2)A球转到最低点时的线速度是多大?

(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少?

7.如图所示,光滑圆管形轨道AB部分平直,BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆,圆管截面半径r＜＜R.有一质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度v0射入圆管,问:

(1)若要使小球能从C端出来,初速度v0,多大?

(2)在小球从C端出来的瞬间,对管壁压力有哪几种典型情况？初速v0各应满足什么条件?

8.如图所示,一根轻的刚性杆长为2l,中点A和右端点B各固定一个质量为m,的小球,左端O为水平转轴.开始时杆静止在水平位置,释放后将向下摆动.问杆从开始释放到摆到竖直位置的过程中,杆对B球做了多少功?

9.如图所示,一根可伸长的细绳,两端各拴有物体A和B(两物体可视为质点).跨在一横截面为半圆形的、半径为R的光滑圆柱面上,由图示位置从静止开始释放.若物体A能到达半圆柱的顶点C,则物体A和B的质量之比须满足什么条件?

10.如图所示,质量为M的圆环,用一根细线悬挂着.另有两个质量为m的带孔小球.可穿在环上兀摩擦地滑动.当两球同时由圆环顶部放开,并沿相反方向滑下时,小球与圆心连线与竖直方向的夹角为θ0.(1)在圆环不动的条件下.求悬线的张力T随θ的变化规律.(2)小球与圆环的质量比m/M至少为多大时圆环才可能上升?

机械能守恒与抛体结合

1.如图所示,一小球从倾角为30°的固定斜面上的A点水平抛出,初动能为6J,问球落到斜面上的B点时动能有多大?答案:14J

2.将物体以60J的初动能竖直向上抛出,当它上升到某点P时,动能减为10J,机械能损失10J,若空气阻力大小不变,则物体落回到抛出点时的动能为( ). (A)36J (B)40J (C)48J (D)50J

3.玩具火箭在发射的时候利用火箭内的火药爆炸射出箭身,而使火箭头向前飞行.假设火箭放在地面上,在竖直向上发射的时候,箭头能上升的高度h=16m.现改为另一种方式发射:首先让火箭沿半径为R=5m的半圆形轨道滑行,如图所示,在到达轨道的最低点A时,再开动发动机发射火箭.试问,按这种方式发射的火箭能上升多高?已知箭身的质量为9m,火箭头的质量为m,不计摩擦和空气阻力（.答案：34.2m）

第十一讲 机械能、功能关系【自招班块】

【知识要点】

势能：由相互作用的物体之间的相对位置或物体内部各部分间相对位置决定的能。 势能属于一个系统的，系统能够具有势能的条件是，系统内存在一种保守力，该力做功只与系统内部物体始末相对位置有关，而与位置变化的途径无关，故势能总与一种力相对应。

重力势能：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。其表达式为EP=mgh。

EP的大小是相对的，式中h是物体重心离零势能面的高度，EP由物体和地球组成的系统共同决定。

重力的功与重力势能变化的关系：重力的功可量度重力势能的变化，且WG???EP

12kx 2弹性势能：物体因内部发生弹性形变具有的势能叫弹性势能。其表达式为EP?机械能：系统内各物体的动能和势能的总和叫机械能。机械能是宏观物体由于机械运动而具有的能量。它属于一个系统。

机械能守恒定律：在只有重力（或弹力）做功的条件下，系统的动能和势能可以互相转换，但总的机械能保持不变。

定律的两种表述形式：（1） E=常量 或 EP1?EK1?EP2?EK2

（2） ?E?0或?EP???EK 定律的适用条件是：既没有外力做功，又没有耗散内力做功，即只有重力或（弹簧的）弹力做功。系统可以受到别的力，也可以有保守内力做功。

定律的研究对象是一个系统，该系统一般包括地球，在该系统内重力实质上是内力。 功能关系：除重力或弹力外别的力（包括外力和耗散内力）对系统做的功等于系统机械能的变化量。

【例题1】如图所示，露天娱乐场的空中列车由多节质量均为m的相同车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长L=4πR，R远大于每一节车厢的长度和高度，整个列车刚好能通过光滑圆轨道，两节车厢间的相互作用力远小于一节车厢的重力，求第一节车厢到达最高点时对轨道的压力。

【例题2】空间固定点O处连接一根倔强系数为k的轻弹簧，弹簧另一端连接质量为m的小球。开始弹簧水平且处于自由长度状态，小球由静止开始自由摆下。假设小球运动轨道为一光滑曲线，且到图中最低点P时速度v恰好水平，而后小球将向上O m 方拐弯，试证明小球在P点时弹簧长度L必定超过mg/2k。

v P

【例题3】跳水运动员从高于水面H=10m的跳台落下，假如运动员质量为m=60kg，其体形可等效为长度为L=1.0m，直径d=0.3m圆柱体，不计空气阻力，运动员入水后，水的等效阻力F作用于圆柱体的下端面，F的数值入水深度y变化的函数图像如图所示，该曲线可近似地看作椭圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与两坐标轴重合，椭圆与y轴交于y=h处，与F轴交于F=5mg/2处。为确保运动员的安全，试计算池水至少应有多深？（水的密度=1.0×103kg/m3） F 5mg/2

O y h

【例题4】在光滑水平地面上放一质量为m1、高为a的光滑长方体木块，长L>a的光滑轻杆斜靠在木块右上侧上，轻杆上端固定一个质量为m2的小重物，下端O点用光滑小铰链

m2 L

7、在宽度为d的街上，有一连串汽车以速度u鱼贯驶过，已知汽车的宽度为b，相邻两车间的间距为a。如图所示，一行人想用尽可能小的速度沿一直线穿过此街，试求此人过街所需的时间。

a d b

8、一架飞机以相对于空气为v的速率从A向正北方向飞向B，A与B相距为L。假定空气相对于地速率为u，且方向偏离南北方向有一角度θ，求飞机在A、B间往返一次所需时间为多少？并就所得结果，对u和θ进行讨论。

第五讲 匀变速直线运动【自招板块】

【知识要点】

速度公式：vt?v0?at ① 位移公式：s?v0t?12at ② 222推论公式：vt?v0?2as ③

平均速度：v?sv0?vt? ④ t2上述各式，要注意用正、负号表示矢量的方向。一般情况下规定初速度v0方向为正方向，a、vt、s等矢量与正方向相同则为正，与正方向相反则为负。

利用匀变速直线运动规律求解运动学问题，在熟悉题意的基础上，首先要分清物体的运动过程及各过程的运动性质，要注意每一个过程加速度必须恒定。找出各过程的共同点及两过程转折点的速度、再根据已知量和待求量选择合适的规律、公式求解，尽管公式都是现成的，但选择最简单的公式却有很多技巧，解题中要注意一题多解，举一反三，以达到熟练运用运动学规律的目的。

【例题1】一小球自屋檐自由下落，在△t=0.2s内通过窗口，窗高h=2m，g=10m/s2，不计空气阻力，求窗顶到屋檐的距离。

【例题2】一气球从地面以10m/s的速度匀速竖直上升，4s末一小石块从气球上吊篮的底部自由落下，不计空气阻力，取g=10m/s2，求石块离开气球后在空气中运行的平均速度和平均速率。

【例题3】一物体由静止开始以加速度a1匀加速运动，经过一段时间后加速度突然反向，且大小变为a2，经过相同时间恰好回到出发点，速度大小为5m/s，求物体加速度改变时速度的大小和

【例题4】一架直升飞机，从地面匀加速飞行到高H的天空，若加速度a与每秒钟耗油量的关系式为Y=ka+β（k>0，β>0），求飞机上升到H高空的最小耗油量Q和所对应的加速度。

【练习】1、一物体做匀加速度直线运动，在某时刻的前t1（s）内的位移大小为s1（m），在此时刻的后t2（s）内的位移大小为s2（m），求物体加速度的大小。

2、一皮球自h高处自由落下，落地后立即又竖直跳起，若每次跳起的速度是落地速度的一半，皮球从开始下落到最后停止运动，行驶的路程和运动的时间各是多少？（不计空气阻力，不计与地面碰撞的时间）

3、一固定的直线轨道上A、B两点相距L，将L分成n等分，令质点从A点出发由静止

a1的值 a2开始以恒定的加速度a向B点运动，当质点到达每一等分段时它的加速度增加

a，试求质n点到达B点时的速度vB

4、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，与此同时在斜面底部有一质点B自静止开始以加速度a背向斜面在光滑的水平面上向左运动。设A下滑到斜面底部能沿光滑的小弯曲部分平稳地向B追去，为使A不能追上B，试求a的取值范围。

A

B

θ

5、地面上一点有物体甲，在甲的正上方距地面H高处有物体乙，在从静止开始释放乙的同时，给甲一个初速度竖直上抛，问（1）为使甲在上升阶段与乙相遇，初速度v0为多大？（2）为使甲在下落阶段与乙相遇，初速度v0又为多大？

抛物的运动

【知识要点】

抛物运动——物体在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动。 平抛运动——物体水平抛出后的运动。

斜抛运动——物体斜向上或斜向下抛出后的运动。 平抛和斜抛运动的物体只受恒定的重力作用，故物体作匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g。

抛体运动的求解必须将运动进行分解，一般情况下是分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动，则有：

s， X?v0cos??t 在水平方向 vx?v0co?在竖直方向 vy?v0sin??gt， Y?v0sin??t?12gt 2上式中，当θ=0°时，物体的运动为平抛运动。 求解抛物运动，还可以采用其它的分解方法，比如将斜抛运动分解为初速度方向的匀速运动和竖直方向上的自由落体运动。

抛物运动是一般匀变速曲线运动的一个特例，其求解方法也是求解一般匀变速曲线运动

的基本方法。尽管物体速度方向是在不断变化的，但其速度变化的方向只能在合力即重力的方向上，因此其速度变化的方向总是竖直向下的。

抛物运动的共同特点是加速度相同，因此，当研究多个抛体的运动规律时，以自由落体为参照物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这种选择参照物的方法，能大大简化各物体运动学量之间的联系，使许多看似复杂的问题简单、直观。

【例题1】如图所示，A、B两球之间用长L=6m的柔软细绳相连，将两绳相隔t0=0.8s先后从同一地点抛出，初速均为v0=4.5m/s，求A球抛出多长时间后，连线被拉直，在这段时间内A球离抛出点的水平距离多大？（g=10m/s2）

B

A

【例题2】在与水平成θ角的斜坡上的A点，以初速度v0水平抛出一物体，物体落在同一坡上的B点，如图所示，不计空气阻力，求：（1）物体的飞行时间及A、B间距离； （2）抛出后经多长时间物体离开斜面的距离最大，最大距离多大？

v0

B

θ 【例题3】如图所示，树上有一只小猴子，远处一个猎人持枪瞄准猴子，当猎枪击发时猴子看到枪口的火光后立即落下，不考虑空气阻力，已知猴子开始离枪口的水平距离为s，竖直

高度为h，试求当子弹初速度满足什么条件时，子弹总能击中猴子。

v0 h θ

s

【练习】 1、飞机以恒定的速度沿水平方向飞行，距地面高度为H。在飞行过程中释放一个炸弹，经过时间t，飞行员听到炸弹着地后的爆炸声。设炸弹着地即刻爆炸，声速为v0，不计空气阻力，求飞机的飞行速度v。

2、如图所示，在离竖直墙壁30m的地面，向墙壁抛出一个皮球，皮球在高10m处刚好与墙壁垂直碰撞，反弹后落到离墙20m的地面，取g=10m/s2，求皮球斜抛初速度和落回地面时的速度。

20m 30m

3、某同学在平抛运动实验中，得出如图所示轨迹，并量出轨迹上a、b两点到实验开始前所画竖直线的距离aa??X1，bb??X2，以及ab间竖直高度h，求平抛小球的初速度。

a/ a X1

h

b/ b X2

4、地面上的水龙头按如图所示的方式向上喷水，所有水珠喷出的初速度v0的大小相同，但喷射角在0°到90°范围内不等。若喷出后水束的最高位置距地面5m，试求水束落地时的圆半径。

5、从高H的一点O先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板A落到水平地面上的B点，球2与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板并落在B点，如图所示。设球2与地面碰撞遵循的规律类似反射定律，且反弹速度大小与碰撞前相同，求竖直挡板的高度h。

v O

A

H h B

6、如图所示，排球场总长为18m，设球网高2m，运动员站在离网3m的线上（如图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出，球飞行中阻力不计，取g=10m/s2。（1）设击球点在3m线正上方且高度为2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？（2）若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。 3m 18m

7、在掷铅球时，铅球出手时离地面高度为h，若出手时速度为v0，求以何角度掷铅球时，铅球水平射程最远，最远射程多少？

练习5.如图所示，一条轻绳两端各系着质量为m1和m2的两个物体，通过定滑轮悬挂在车厢顶上，m1>m2，绳与滑轮的摩擦忽略不计.若车以加速度a向右运动,m1仍然与车厢地板相对静止，试问:(1)此时绳上的张力T.(2)m1与地板之间的摩擦因数μ至少要多大?

Eg3 传送带问题

练习1.如图所示，传送带与水平面夹角θ＝37°，并以v0＝10m/s速度运行，在传送带的A端轻轻地放一个小物体，若已知该物体和传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，AB＝16m；则小物体从传送带A端到B端所需时间可能是(g取10m/s2)( )。 (A)1.8s (B)2.0s (C)2.1s (D)4.0s

练习2.如图所示，倾角为α的传送带，以一定的速度将送料机送来的料——货物，传送到仓库里.送料漏斗出口P距传送带的竖直高度为H.送料管PQ的内壁光滑且有一定的伸缩性(即，在PQ管与竖直夹角θ取不同值时，通过伸缩其长度总能保持其出口Q很贴近传送带).为使被送料能尽快地从漏斗出口P点通过送料直管运送到管的出口Q点，送料直管与竖直方向夹角应取何值，料从P到Q所用时间最短，最短时间是多少?

练习3.如图所示，倾角为α=30°的传送带以恒定速率v=2m／s运动，皮带始终是绷紧的，皮带AB长为L=5m，将质量为m=1kg的物体放在A点，经t=2.9s到达B点，求物体和皮带间的摩擦力.

Eg4超重失重问题

如图所示，一密度为ρ0、重力为W1的铁块悬挂于弹簧秤S1上，并全部浸入密度为ρ的液体中，若液体及杯共重W2，全部置于磅秤S2上.(1)铁块平衡时，两秤示数各为多少?(2)若撤去弹簧秤，铁块在该液体中“自由下落”时，磅秤的示数是多少?

Eg5 临界问题

练习1.如图所示，光滑的圆球恰好放存木块的圆弧槽内，它们的左边接触点为A，槽半径为R，且OA与水平面成α角.球的质量为m，木块的质量为M，M所处的平面是水平的，各种摩擦及绳、滑轮的质量都不计.则释放悬挂物P后，要使球和木块保持相对静止，P物的质量的最大值是多少?

【自招拓展版块】

【例题1】如图所示，质量为M=10kg的木楔ABC静止于粗糙的水平地面上，动摩擦因数μ=0.02。在木楔的倾角θ为30°的斜面上，有一质量m=1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑。当滑行路程s=1.4m时，其速度v=1.4m/s。在此过程中木楔没有动。求地面对木楔的摩擦力的大小和方向。（g=10m/s2）

A

m

M

B C θ

【例题2】如图所示，质量均为m的两物块A、B叠放水平桌面上，B与桌面之间的动摩擦因数为μ1，一根轻绳绕过一动滑轮和两个定滑轮水平拉动A、B。动滑轮下面挂一个质量为2m，的物体C，滑轮的质量和摩擦都可忽略。

（1）如果A、B之间的摩擦力足以保证它们不发生相对滑动，

A m 那么它们之间的摩擦力为多在？

B m （2）如果A、B之间的动摩擦因数为μ2，且μ2无法维持A、B

相对静止，那A、B的加速度各为多大？

2m C

【例题3】如图所示，两斜面重合的木楔ABC和ADC的质量均为M，AD、BC两面成水平，E为质量等于m的小滑块，楔块的倾角为α，各接触面之间的摩擦均不计，系统放在水平台角上从静止开始释放，求两斜面未分离前小滑块E的加速度。

E

A D

α

B α C

【练习】

1、如图所示，一轻绳两端各系重物m1和m2，挂在车厢内的定滑轮上，滑轮摩擦不计，m2＞m1，m2静止在车厢地板上，当车厢以加速度a向右作匀加速运动时，m2仍在原处不动。求此时m2对地板的压力为多大？这时m2与地板间的动摩擦因数至少为多大才能维持这种状态？

m1

m2

2、如图所示，尖劈A的质量为mA，一面靠在光滑的竖直墙上，另一面与A 质量为mB的光滑棱柱B接触，B可沿光滑水平面C滑动，求A、B的加速

B α 度aA和aB的大小及A对B的压力。

3、如图所示，A、B的质量分别为m1=1kg，m2=2kg，A与小车壁的静摩擦因数μ=0.5，B与小车间的摩擦不计，要使B与小车相对静止，小车的加速度应为多大？

A

4、如图所示，A、B两个楔子的质量都是8.0kg，C物体的质量为384kg，C和A、B的接触面与水平的夹角均为45°。水平推力F=2920N，所有摩擦均忽略不计。求： （1）A和C的加速度。

C （2）B对C的作用力的大小和方向。

A B 45° 45°

5、如图所示，质量为M的光滑圆形滑块平放在桌面上，一细轻绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，物体质量分别为m1和 m2，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块的加速度。 m2 m1

惯性力问题：

B 第七讲 力和直线运动【自招版块】

【知识要点】

1、直线运动的特点：

物体的s、v、a、F合在同一直线上，当F合与V同向时，V逐渐增大，物体做加速运

Fx?max 动；当F合与V反向时，V逐渐减小，物体做减速运动。2、恒力与直线运动：

（1）单个物体牛顿第二定律的分量式：

Fy?may

Fx?m1a1x?m2a2x????mnanx

Fy?m1a1y?m2ay????mnany

（2）物体系牛顿第二定律的分量式：

3、变力与直线运动： （1）分段运动： 在实际问题中，有时由于制约物体运动的条件发生变化而导致物体在不同阶段的受力情况不同，这时我们可以将物体的运动分为几个阶段，虽然在物体运动的整个过程中受力的情况发生变化，但每一阶段的运动中物体却是受到恒力的作用，是做匀变速运动。 （2）变力作用下物体的运动情况分析：

将弹簧与物体相连时，在物体运动过程中，弹簧的弹力大小往往发生变化，这时我们要结合物体的受力及其速度来分析物体的运动情况，尤其要抓住合外力、速度的最小和最大的状态，及合外力、速度即将反向的状态进行分析。 （例题2） （3）特殊变力作用下的直线运动：

中学阶段主要研究的特殊变力有：与时间成正比的变力；与位移成正比的变力。 4、临界状态分析法：

如果问题中涉及到临界状态，分析时要抓住物体运动状态变化的临界点，分析在临界点的规律和满足的条件。一般来说，当物体处于临界状态时，往往具有双重特征。如在某两个物体即将分离的临界状态，一方面相互作用的弹力为零（分离的特征），另一方面又具有相同的加速度（没有分离的特征）。 （练习2） 【解题思路和技巧】

物体做直线运动时，其速度、加速度、位移及物体所受到的合外力都在同一直线上。竞赛中经常出现物体运动过程中受力的变化，这时要抓住物体受力变化的特点，从而分析出物体运动情况的变化。同时，注重数学归纳法、数列等数学知识在物理解题中的应用。 【例题1】水平传送带长度为20m，以2m/s的速度作匀速运动，已知某物体与传送带间动摩擦因数为0.1，如图所示，求物体轻轻放到传送带一端开始到达另一端所需的时间（取g=10m/s2）

v

【例题2】如图所示，质量可以不计的弹簧，平行于水平面，左端固定，右端自由；物块停放在弹簧右端的位置O（接触但不相挤压）。现用水平力把物块从位置O推到位置A，然后由静止释放，物块滑到位置B静止。下列说法中正确的有（ ）

A、物块由A到B，速度先增大后减小，通过位置O的瞬时速度最大，加速度为零 B、物块由A到B，速度先增大后减小，通过A、O之

A B O 间某个位置时速度最大，加速度为零

C、物块通过位置O以后作匀减速直线运动

D、物块通过A、O之间某个位置时，速度最大，随后作匀减速直线运动

【例题3】如图所示，A、B两木块质量分别为mA和mB紧挨着并排放在水平桌面上，A、B间的接触面是光滑的，且与水平面成θ角。A、B和水平桌面之间的静摩擦因数和动摩擦因数均为μ。开始时A、B均静止，现施一水平推力F作用于A，要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动，则（1）μ的数值应满足什么条件？ （2）推力F的最大值不能超过多少？（不考虑转动）

F A B θ

【例题4】一固定的斜面，倾角θ=45°，斜面长L=2.00m。斜面下端有一与斜面垂直的挡板，一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零。质点沿斜面下滑到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ=0.20。试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。

【练习】

1、有一个同学用如下方法测定动摩擦因数：用同种材料做成的AB、BD平面（如图所示），AB面为一斜面，高为h、长为L1。BD是一足够长的水平面，两面在B点接触良好且为弧形，现让质量为m的小物块从A点由静止下滑，到达B点后顺利进入水平面，最后滑到C点停止，并测量出BC=L2，小物块与两平面的动摩擦因数相

A 同，由以上数据可以求出物块与平面间的动摩擦因数μ= 。 h B C D 2、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧的质量都不计，盘

F 内放一个质量m=12kg并处于静止的物体P，弹簧的劲度系数为k=300N/m，现P 给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始始终向上作匀加速直线运动，在这过程中，头0.2s内F是变力，在0.2s以后的F是恒力，取g=10m/s2，则物体P做匀加速运动的加速度a的大小为 m/s2，F的最小值是 N，最大值是 N。

3、光滑水平桌面上的厚木板质量为M，它的上面有一个半径为R的球穴，如图所示，槽穴的深度为R/2；一个半径为R，质量为m的小球放在球穴中，A、B点是通过球心的竖直剖面中板面与球的接触点。试分析

F A B 计算，沿水平方向作用于木板的力F至少多大，球才会从球穴中翻出

来？

4、如图所示，质量M=8kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车右端加一水平恒力F=8N。当小车向右运动的速度达到1.5m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长。求从小物块放上小车开始，经过t=1.5s小物块相对地通过的位移大小为多少？（g=10m/s2）

m M F

5、如图所示，小滑块A叠放在长为L=0.52m的平板B左端，B放在光滑水平桌面上。A、B两物体通过一个动滑轮和一个定滑轮和C物体相连，滑轮的摩擦和质量均不计。A、B、C三个物体的质量都是1kg，A、B之间的动摩擦因数为0.25。A F B C

现用一个水平向左的恒力F拉B，经0.2s后A滑离B，求力F的大小。

6、10个相同的扁木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图所示。每个木块的质量为m=0.4kg，长为L=0.50m。木块原来都静止，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数都为μ1=0.10。左边第一块木块的最左端放一块质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数都为μ2=0.20。现突然给铅块一个向右的速度v0=4.3m/s，使其在木块上滑行，试确定它最后是落在地面上还是停地哪一块木块上？（设铅块的大小可以忽略） v0 L

7、如图所示，物体A质量为m，吊索拖着A沿光滑的竖直杆上升，吊索跨过定滑轮B绕过定滑轮B绕在匀速转动的鼓轮上，吊索运动速度为v0，滑轮B到竖直杆的水平距离为L0，求当物体A到B所在水平面的距离为x时，绳子的张力大小是多少？ B L0 x

A v0

8、如图所示，一个厚度不计的圆环A，紧套在长度为L的圆柱体B的上端，A、B两者的质量均为m。A与B之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，其大小为kmg（k＞1）。B从离地H高处由静止开始落下，触地后能竖直向上弹起，触地时间极短，且无动能损失。B与地碰撞n次后，A与B分离。

（1）B与地第一次碰撞后，当A与B刚相对静止时，B下端离地面的高度为多少？ （2）如果H、n、k为已知，那么L应满足什么条件？

A

L B

H 力和曲线运动

【知识要点】

1、物体做曲线运动的条件：

合外力F的方向与物体速度v的方向不在同一直线上。 2、恒力作用下的曲线运动

物体在恒力的作用下做曲线运动时，往往将这种曲线运动分解为两个方向上的直线运动。一种分解方法是沿初速度方向和合外力方向进行分解，可以分解为初速度方向的匀速直线运动和合外力方向的匀加速直线运动；另一种分解方法是沿着两个互相垂直的方向进行分解。

3、力和圆周运动

力是使物体的速度发生改变的原因，速度有大小和方向的变化，在速度方向上的外力改

变速度的大小，而与速度方向垂直的外力改变速度的方向。在圆周运动中，是将物体所受的外力沿切向和法向进行分解，在切向上的外力改变速度的大小，而法向上的外力改变速度的方向（即向心力）。高中阶段对圆周运动的分析关键是找出向心力的来源。向心力是做圆周运动的物体在指向圆心方向外力的合力，它是以力的作用效果来命名的，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或这些力的合力。匀速圆周运动的向

v24?22?mR??m2R?m?4?2n2R 心力的计算公式是：F合?ma向?mRT对于变速圆周运动，上述计算向心力的公式也适用，只是使用公式时必须用物体的瞬时

速度代入计算。 4、天体运动

（1）天体的运动遵循开普勒三定律

第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。

第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。即：vrsin??常数 式中r为太阳和行星连线的距离，θ为行星的速度与太阳和行星连线之间的夹角。

第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相

r3GM等。即：2? 式中M为太阳质量，G为引力常量。

T4?2实际上，在某一中心天体的引力作用下，绕中心天体运动的物体，都遵循以上三定律，

只需将太阳变为中心天体即可。

（2）天体运动的向心力是靠万有引力提供的

m1m2 2r注意：万有引力定律公式只适用于两个质点或者是两个质量均匀分布的球体之间的万有引力的计算。但当两个物体之间的距离远大于它们自身的线度时，可以将这两个物体当作两个质点。另外，质量均匀分布的球面对球面外质点的引力等同于把球面的质量集中于球心处的质点与球外质点的引力，而质量均匀分布的球面对球面内质点的引力等于零。 【例题1】 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。

万有引力定律：①（内容略）；②公式：F?G

【例题2】 如图所示，一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为R、角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，小球和水平面之间有摩擦，求：（1）小球做匀速度圆周运动的线速度大小。（2）手对细绳做功的功率。（3）小球

在运动过程中所受到的摩擦阻力的大小。

ω R O

L m

【例题3】 某行星A自转周期为T，绕恒星B公转周期为3T，自转和公转方向如图所示，若在行星A表面看恒星B，看到B绕A转动的周期为多少？

A

B

【练习】1、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球质量为m1，B球质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R，v0应满足什么关系？

2、长为L=0.4m的细绳，一端连接在O点的光滑轴上，另一端系一质量为m=0.5kg的小球，小球在竖直面内做圆周运动，如图所示，求：

A （1）若球刚好能做圆周运动，在最高点A的速度为多大？

（2）将图中细绳换成不计重力的细杆，小球能做圆周运动，在A点的速度应满足什么条件？ O （3）在上问中，小球在A点时，若杆对小球的作用力是拉力或推力，则在A点的速度分别满足什么条件？

B （4）若小球以0.4m/s的速度绕O点做匀速圆周运动，那么小球在最高点A和最低点B时杆对小球的作用力各是多大？（取g=10m/s2）

3、在光滑的水平面内，一质量m=1kg的质点以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向的恒力F=5N作用，直线OA与x轴成37°角，如图所示，求：（1）如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，则质点从O到P点所经历的时间以及P点的坐标。（2）质点经过P点时的速度。 y P F O 37° v0 A x

4、如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17/18，已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。（g为地面附近的重力加速度）

5、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°，如图所示，一条长度为L的细绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可视为质点）。物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平面上的匀速圆周运动。（1）当v?（2）当v?3gLgL6时，求绳对物体的拉力。

O 2时，求绳对物体的拉力。

L θ

6、如图所示，在光滑水平面上放着一个质量为M=3kg的木块（可视为质点），在木块正上方1m处有一固定的悬点O，在悬点和木块之间用一根长2m，不可伸长的轻绳连接。现给木块一水平推力F=24N，作用0.5秒后撤去，最后木块将绕O点在竖直平面内做圆周运动。（g=10m/s2）求：（1）木块以多大速度脱离水平面？（2）当木块运动到最高点时，它对轻绳的拉力为多大？

O 7、长为2L的轻质杆AB，在其中点固定一个质量为m的小球C，现使A端不脱离墙面，B

端在地面上以速度v向右匀速运动，如图所示，试求当杆与墙面成α角时，杆对小球的作用力。

A

α C

v

B

第八讲 功和功率【自招板块】

【知识要点】

功的定义式：W=FScosθ

公式只适用于求恒力的功，且式中的F、S均指矢量的大小，S是力的作用点的位移，一般情况下力的作用点的位移与物体位移相同。如果F为变力，一般用微元法把变力的功转化为恒力的功处理，也可以根据F—S图像，利用图线与位移轴所围面积表示相应的力的功。

一个力始终与物体速度方向垂直，则该力不做功，物体做曲线运动时，若力的大小不变，且力的方向始终与速度共线，该力的功等于力乘以物体的路程，如机车牵引力的功和摩擦力的功。

在给定的运动过程中，由于位移与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中，功可以有不同的数值，但一对作用力与反作用力做功之和却与参照系的选择无关。因为作用力与反作用力大小相等，方向相反，在计算作用力与反作用力的总功时，所用的相对位移是和参照系的选择无关的，故在计算一对作用力与反作用力做功之和时，可以选择一个方便的参照系来计算，即使是非惯性系也行。

功率（定义式）：P?W(W) t功率、力、速度的关系：P?Fvcos?

功率的定义式一般用于求t时间内的平均功率，只有当t→0时，求得的才是瞬时功率。而公式P?Fvcos?反映的是力F的功率P与F和速度v之间的关系。当F恒定时，若v为瞬时速度，求得的是瞬时功率，若v为平均速度时，求得的是平均功率；当F为变力时，该式只能用于求瞬时功率，实际中该式较多地用于确定机动车辆的发动机的功率与车辆的牵引力、速度之间的关系，要注意，F不是受到的合外力，它的变化不能反映加速度的变化特征。

【例题1】如图所示，一斜面体倾角θ=30°、长为L，放在光滑的水平面上，一质量为m的木块，自斜面顶部匀速滑到底部，斜面体同时向右移动了x?L3的距离。求在这一过程中，作用在木块上的各个力所做的功。

30

【例题2】在航天飞机上，如图所示，有一长度为L的圆筒，绕着与筒的长度方向垂直的轴OO′以恒定的转速ω=100rad/min旋转。筒的近轴端离轴线OO′的距离为d=10cm，筒内装着非常粘稠、密度为ρ=1.2g/cm3的液体。有一质量为m′=1.0mg、密度为ρ′=1.5g/cm3的粒子从圆筒的正中部释放（释放时粒子相对于圆筒静止），试求该粒子在到达筒端的过程中克服液体的粘滞阻力所做的功。又问，如果这个粒子的密度是ρ″=1.0g/cm3，其他条件均不变，则粒子在到达筒端的过程中克服粘滞阻力所做的功又是多少？

L O d

ω

O′

【例题3】如图所示，绳一端固定于O点，另一端穿过物体A上的小动滑轮后，用竖直向上的恒力F拉着，在物体沿倾角为α的斜面上运动L位移的过程中，恒力F做了多少

F O α

质点的圆周运动、刚体的定轴转动

【知识要点】

1、质点的圆周运动：

做圆周运动的质点，速度不仅大小可以变化，方向也在不断变化，如图所示，质点在沿圆周由A到B的过程中，其速度的增量

△v △v2 △v1 ?v??v1??v2。其瞬时加速度：

?v?v???a?lim1?lim2?an?a?

?t?0?t?t?0?tB A v2上式中，an为法向加速度，它描述速度方向的变化快慢，大小为an?；a?为切向

R加速度，它描述速度大小的变化快慢。对匀速圆周运动而言，a?=0，而对一般曲线运动，

an?v2?，式中?为质点所在位置的曲线的曲率半径。

2、刚体的定轴转动

刚体定轴转动时，其上各点都绕转轴做圆周运动，且各点的角位移θ、角速度ω、角加速度β都相同。

??lim?t?0????，??lim ?t?t?t?0 当β为常量时，刚体做匀变速转动，其运动规律可类比于匀变速直线运动，因而有：

???0??t

???0??0t??t2

2?2??0?2?????0?

12做定轴转动的刚体，其上一点（到转轴的距离为R）的线速度v、切向加速度a?、向心加速度an与刚体的角速度ω和角加速度β的关系是：

v2?R?2?v? v??R， a???R， an?R匀速圆周运动是一种周期性运动，其规律的描述不同于匀变速运动。在圆周运动中，位移、速度与时间的关系再不是研究的重点，其重点是研究周期、角速度、速率、半径等物理量与加速度的联系。从而进一步研究运动和力的关系。在一般圆周运动中，要注意加速度一

方面描述了速度大小的变化快慢，另一方面又描述了速度方向的变化快慢。

【例题1】如图所示，小球P与穿过光滑水平板中央小孔的轻绳相连，用手拉着绳子另一端使P在水平板内绕O作半径为a、角速度为ω的匀速圆周运动，求：（1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉直，使P绕O作半径为b的圆周运动，从放松到拉直经过多少时间？（2）P作半径为b的圆周运动的角速度为多大？ O P

F

【例题2】某飞轮转速为600r/min，制动后转过10圈而静止。设制动过程中飞轮做匀变速转动。试求制动过程中飞轮角加速度及经过的时间。

【例题3】如图所示，有一个绕着线的线轴放在水平桌面上，线轴可在桌面上做无滑动的滚动。线轴轮和轴的半径分别为R和r，如果以不变的速度v水平向右拉动线头，求线轴运动的速度。

R

O

v

【练习】

1、在平直轨道上匀速行驶的火车，机车主动轮的转速是车厢从动轮转速的3/5，主动轮轮缘上的各点的向心加速度与从动轮轮缘上各点的向心加速度分别为a1，a2，求a1/a2的值。

2、机械手表中分针与秒针可视为匀速转动，两针从重合到再次重合，中间经历的时间为多少分钟？

3、如图所示，定滑轮半径为r=2cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物的加速度a=2m/s2，在重物下落1m瞬间，滑轮边缘上的点角速度为多大？向心加速度为多大？

4、边长为a的正三角形板的水平面内朝一个方向不停地作无滑动的翻滚，每次翻滚都是绕着一个顶点（如图中的A点）转动，转动角速度为ω常量。当一条边（例如AB边）触地时又会立即绕着另一个顶点（如B点）继续作上述转动。

（1）写出（不必写推导过程，以下各问相同）三角板每顶点的平均速率； （2）画出图中三角板的顶点C在T=2π/ω时间内的运动轨道。

B

ω

A C

5、如图所示，AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为L的A、B两固定轴沿图示方向在同一竖直面上转动。小环M套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求在以后的任意时刻（M未落地前的时刻）M运动的速度大小和加速度大小。

D C

M

ω

ω

A B

6、xy平面上有一圆心在坐标原点、半径为R的圆，在y轴上放有一细杆。从t=0开始，整根杆朝x轴正方向以v0的速度匀速运动，试求在细杆尚未离开圆周前它与圆周在第Ⅰ象限的交点沿圆周移动的向心加速度与时间的关系。 y

O x

7、如图所示，细杆长为L，它的端点A被约束在竖垂轴y上运动，端点B被约束在水平轴x上运动。 （1）试求杆上与A端相距aL（0＜a＜1)的P点的运动轨迹；

（2）若AB杆处于圆中θ角方位时，A端竖直向下的速度为vA，试确定P点的分运动的速度vPx和vPy. y A vA P θ

L B x O

8、在暗室里，一台双叶电扇（如图A）绕O轴顺时针方向转动，转速为50r/min，在闪光照射下。 （1）出现了稳定的如图B所示的图象，

则闪光灯的频率（每秒闪光次数）的最大值是 次/秒。 （2）若出现了如图C所示的图象，即双

叶片缓慢地逆时针转动，这时闪光灯的频率略大于 次/秒。

（a） （c） （b

第六讲 牛顿运动定律（动力学）

【知识要点】

1、牛顿运动定律的内容： 牛顿第一定律：内容（略）；它反映了物体不受力时的运动状态：静止或匀速直线运动 质量是惯性大小的唯一量度。 牛顿第二定律：内容（略）；数学表达式：F合=ma。 适用范围：惯性系。

三性：矢量性；瞬时性；独立性。 牛顿第三定律：内容（略）；表达式：F??F?；适用于惯性系，也适用于非惯性系。 牛顿运动定律只适用于宏观、低速的机械运动。 2、物体初始条件对物体运动情况的影响

在受力相同的情况下，物体的初始条件不同，物体的运动情况也不同。如抛体运动，均只受重力作用，但初速度方向不同，运动情况就不同（平抛、斜抛、竖直上抛）；受力情况只决定物体的加速度。物体的运动情况必须将物体的受力情况和初速度结合一起加以考虑。 3、联接体

联接体是指在某一种力的作用下一起运动的两个或两个以上的物体。解题中要根据它们的运动情况来找出它们的加速度的关系，寻找的方法一般有两种，一种方法是从相对运动的角度通过寻找各物体运动的制约条件，从而找出各物体运动的相对加速度间的关系；另一种方法是通过分析极短时间内的位移关系，利用做匀变速运动的物体在相同时间内位移正比于加速度这个结论，找到物体运动的加速度之间的关系。 【解题思路与技巧】

牛顿运动定律建立了物体的受力和物体运动的加速度之间的关系。因此，应用时分析物体的受力情况和运动情况尤为重要。同时，要注重矢量的合成和分解。相对运动等知识的灵活运用，从而找出各物体的受力与它的加速度之间的关系。

高考版块 Eg1.瞬时问题

如图所示，质量为M的木箱放在水平地面上，一轻质弹簧上端固定在木箱的顶板上，下端拴一个质量为m的小球，今使小球上下振动，振动过程中木箱始终未离开地面，当小球的加速度大小为时，木箱对地面的压力恰好为零。

练习1.如图所示，物块A、B、c质量分别为m、2m、3m，A与天花板间、B与C之间用轻弹簧相连，当系统平衡后，突然将AB间绳烧断，在绳断瞬间，A、B、C的加速度(以向下为正方向)分别为( )。 (A)g，g，g (B)－5g，2.5g，0 (C)－5g，2g，0 (D)－g，2g，3g

练习2.如图所示，一个轻弹簧，B端固定，另一端C与细绳一端共同拉着一个质量为m的小球，细绳的另一端A也固定，且AC、BC与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，则烧断细绳的瞬间，小球的加速度a1=______，弹簧在C处与小球脱开时小球的加速度a2=_____.

Eg2 整体局部问题

练习1.质量为m1、m2的两个物体用细绳相连，在力F作用下竖直向上加速提起，如图所示，则物体之间细绳受到的拉力大小为( ) (A)F－m1g (B)F－(m1+m2)g (C)

m1Fm2F (D)

m1?m2m1?m2

练习2.质量为M的不光滑的三角形木块ABC放在水平粗糙地面上，∠BAC＝θ1，∠BCA＝θ2，在BA和BC上分别有质量为m1和m2的两个滑块，它们分别以加速度a1和a2滑下，而三角形木块保持静止不动，如图所示。求：(1)地面对三角形木块的静摩擦力的大小和方向。(2)地面对三角形木块的支持力的大小。

练习3.如图所示，两上下底面平行的滑块重叠在一起，置于固定的、倾角为θ的斜面上，滑块A、B的质量分别为M、m，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2.已知两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块上B受到的摩擦力( ) (A)等于零 (B)方向沿斜面向上 (C)大小等于μ1mgcosθ (D)大小等于μ2mgcosθ

练习4.如图所示，在光滑水平而上有一质量为M的斜劈，其斜面倾角为α，一质量为m的物体放在其光滑斜面上，现用一水平力F推斜劈，恰使物体m与斜劈间无相对滑动，则斜劈对物块m的弹力大小为( ). (A)mgcosα (B)

mg cos?(C)

mFmF(D)

(M?m)cos?(M?m)sin?

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