小学六年级奥数 第十五章 最值问题

第十五章 最值问题

知识要点

1.如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，它们的乘积越大。当两个数相等时，它们的乘积最大。

2.两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。 3.把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2的个数不超过2个。 典例巧解

例1 两个自然数的和是13，要使两个整数的乘积最大，这两个整数是多少？ 点拨 将两个自然数的和为13的所有情况都列出来，有以下7种情况： 13＝0＋13， 0×13＝0； 13＝1＋12， 1×12＝12； 13＝2＋11， 11×2＝22； 13＝3＋10， 3×10＝30； 13＝4＋9， 4×9＝36； 13＝5＋8， 5×8＝40； 13＝6＋7， 6×7＝42。

由此可见，两个整数的和一定时，两个整数的差越小，它们的乘积越大。 解 13÷2＝6??1， 6×(6＋1)＝42。 答：这两个整数分别为6和7。 例2 比较下面两个乘积的大小。

A＝57128463×87596512 B＝57128470×87596505

点拨 要比较A与B的大小，用计算的方法求积会很麻烦。仔细观察两组对应因数的大小，我们不难发现，两个因数的和是一定的，只要比较每组两个因数差的大小就可以了，差大的积反而小，差小的积反而大。

解 A组两个因数的差：87596512－57128463＝30468049， B组两个因数的差：87596505－57128470＝30468035。 因为30468049＞30468035，所以B＞A。

例3 两个自然数的积是50，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？ 点拨 两个自然数乘积是50的，共有三种情况： 50＝50×1，50＋1＝51； 50＝25×2，25＋2＝27； 50＝10×5，10＋5＝15。

从上面的分析我们不难看出：当两个自然数的积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和越小。

解 50＝10×5，此时两数的差最小，所以两个因数之和最小为10＋5＝15。 答：当这两个自然数是10和5时，它们的和最小，是15。

例4 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中，选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7和13整除，这个数最大是多少？

点拨 要使这个五位数能被3，5，7和13整除，可知这个五位数是3，5，7，13的公倍数，

而3，5，7，13的最小公倍是3×5×7×13＝1365。在五位数中，1365的最大倍数是1365×73＝99645，但99645中有两个9重复，不符合题意。因而99645可逐个减少1365，直至找出符合题意的五位数。

解 3，5，7和13的最小公倍数是3×5×7×13＝1365，在五位数中1365的最大公倍数是1365×73＝99645。

99645－1365＝98280(不符合题意)， 98280－1365＝96915(不符合题意)， 96915－1365＝95550(不符合题意)， 95550－1365＝94185(符合题意)。 答：这个最大的五位数是94185。

例5 要砌一个面积为144平方米的猪圈，这个猪圈的围墙最少长多少米？ 点拨 要想使猪圈的围墙最少，两个边的差越小越好。 解 144＝12×12，所以围墙最少长：(12＋12)×2＝48(米)。 答：这个猪圈的围墙最少长48米。 说明 面积一定的长方形中，正方形的周长最短。

例6 把17拆分成若干个自然数的和，怎样拆分才能使它们的乘积最大？

点拨 显然，拆分的数中不能有0。假设分成的自然数有1，x是分成的另一个自然数，因为1×x＜1＋x，也就是说，将1＋x作为分成的一个自然数要比分成1和1两个自然数好，所以分成的自然数不应有1。

如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5＝2＋3＜2×3，8＝3＋5＜3×5，也就是说只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应有大于4的数。

如果分成的自然数有4，因为4＝2×2，所以可以将4分成两个2，那么把17分解时只能有2和3。因为6＝2＋2＋2，2×2×2＝8，6＝3＋3，3×3＝9，说明虽然3个2与2个3的和都是6，但2个3的乘积大于3个2的乘积，所以分成的自然数中最多有2个2，其余都是3。

解 17＝3＋3＋3＋3＋3＋2，

乘积最大时为3×3×3×3×3×2＝486。

例7 已知长方体的长、宽、高均为整厘米数，相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米。求表面积最小的长方体的体积。

点拨 设长方体的长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米，依题意列关于长方体的表面积和体积的表达式，并对其进行最值问题的讨论，问题易解。

解 设长方体的长为以厘米，宽为6厘米，高为c厘米，依题意有： ab＝180，bc＝84。

由此可知b是180和84的公约数，而长方体的表面积为： (ab＋bc＋ac)×2＝(180＋84＋ac)×2.

可以看出，ac越小，表面积越小，因而应使b尽可能的大，180和84的最大公约数是12，此时，长方体体积为：

abc＝

(ab)?(bc)180?84＝＝1260(立方厘米)。 b12 答：表面积最小的长方体的体积是1260立方厘米。

例8 某市发出的车牌号码均由6个数字(从0到9这10个数中选择)组成，该市规定：任意两个车牌至少要有两对同一数位上的数字不同(如车牌号038471和030471不能同时使用)。求该市最多能发出多少个不同车牌。

点拨 如果发出了100001个车牌，则由抽屉原理可知：至少有2个车牌的前5个数字相同，则此2个号码违反规定。因此，该市发出的车牌不能超过100000个。

解 可发出100000个车牌并符合规定：号码前5位任意填写(100000种填法)，个位则填写前五位数字之和的个位数字。

对这样得到的两个牌号a1a2a3a4a5a6和b1b2b3b4b5b6；若a1a2a3a4a5a6与b1b2b3b4b5b6中有两个或两个以上表示不同，则符合规定；

若a1a2a3a4a5与b1b2b3b4b5中只有一个数字不同，不妨设a1≠b2，则a6－b6＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)的末位数－(b1＋b2＋b3＋b4＋b5)的末位数≠0。 即a1a2a3a4a5和b1b2b3b4b5有两个数码不同也符合规定。 综上所述，该市最多能发出100000个不同车牌。 解题技巧

最值问题的各类题型较多，题目复杂，涉及的知识面广，而且大多数这样的问题并没有固定的解题模式，因此，分析和处理都比较复杂，问题的解答需要结合具体的题目，选择针对性强的方法和采取恰当的手段。一般涉及的方法有试验、枚举、估计、归纳、构造等，做题时一定要仔细研究，反复思考，真正把握各种题型的内在规律，达到举一反三、触类旁通的效果。

竞赛能级训练

A 级

1.用1～9这九个数字组成三个三位数，使这三个三位数的乘积尽可能的大，这三个数分别是几？

2.把546分解成四个不同的自然数之积，这四个自然数的和最大是多少？

3.一个三位数的各位数字都不是0，这个三位数与组成它的各位数字之积的比是a，如432，a＝432÷(4×3×2)＝18。求以的最大值。 4.一张圆纸能被多少条直线分成821部分？

5.甲、乙两项工作，单独做，张需10小时做完甲工作，15小时做完乙工作；李需8小时做完甲工作，20小时做完乙工作。两人合作完成这两项工作，最少需要多少小时？ 6.用

5151，，1分别去除某一个分数所得的商都是整数，这个分数最小是几？

2028367.18乘一个自然数所得的积，可以分解为四个连续自然数的乘积。那么18乘的这个自然数最小是多少？

8.有三个数字，用它们可以组成六个不同的三位数，这六个三位数的和是4662。这样的三

位数中最大的是几？

9.三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数。要使这三个分数的和尽可能大，这三个分数分别是多少？

10.(第五届“从小爱数学”邀请赛试题)把20以内的质数分别填入□中，每个质数只能用一次。 A＝

□+□?□?□?□?□+□，使A是整数，A最大是多少？

□11.如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足等式a＋b＝c＋d。那么a＋b最小是多少？

12.(《小学生数学报》第九届竞赛试题)某种产品由A、B、C三个部件组成，一名工人每天可生产5个A，或者生产3个B，或者生产6个C。要使工厂每天生产的产品尽量多，该厂的210名工人应如何分工？该厂一天最多生产多少个这种产品？

13.某班有学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2岁。已知班上任意两人的年龄差都不超过3岁，那么这班学生中年龄最大的可能是多少岁？如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人？

14.一个数分别除以刍，磊，1去，所得的商都是非零自然数，这个自然数最小是多少？

B 级

1.用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字各一次写出能被9整除的三个三位数，这三个数的和最大是多少？

2.冰雪节期间小冬去太阳岛看雪雕，有两种“走法”：一是步行；二是乘马爬犁。乘马爬犁比步行的速度快，但是每次必须等候，且等候时间相同。小冬三次去看雪雕都从防洪纪念塔出发，他采用了花时间最少的“走法”过江，如下表。如果上岛地点在A点，江上路程8千米，小冬过江最少用多少分钟？ 上岛地点 第一次：船站 第二次：水榭 第三次：江上之家

3.如右图所示，在一块木板上有16个钉子，横竖行相邻两个钉子之间的距离都相等，用皮筋能套出许多正方形。最少拔掉多少个钉子就再也套不成正方形了？

路程(千米) 时间(分钟) 3 4 5 30 38 45

4.用1，3，5，7，9五个数字组成一个三位数和一个两位数，这两个数的乘积记为a；用0，2，4，6，8五个数字也组成一个三位数和一个两位数，这两个数的乘积记为b。那么(a－b)最大是多少？(b－a)最大是多少？

5.将前100个自然数依次无间隔地写成一个多位数12345678910?9899100，从中画去170个数字，剩下的数字形成了一个22位数，这个22位数最大是多少？最小是多少？如果画掉100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？

6.有一堆围棋子，先数出50枚棋子，其中有49枚是白色棋子，此后每数出8枚棋子中都有7枚白棋子，直到数完为止，总计已数出的棋子中白棋子的枚数不少于90%。这堆棋子最多是多少枚？

7.已知A＝2×3×3×3×3×5×5×7，在A的两位数的因数中最大的是多少？

8.今有一队学生(300人以内)，如果每9人排成一列，最后余下4人；如果每7人排成一列，最后余下3人。问这队学生最少有多少人？最多有多少人？

9.设1×2×3×4×?×1991＝21×A，其中n与A为自然数，那么n的最大值是多少？ 10.将2001拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数乘积最大，该乘积是多少？

11.用铁丝扎一个长方体模型，为了使长方体的体积恰好等于216立方厘米，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝最短？这根铁丝最短是多少厘米？ 能力测试

一、填空题(每题4分，共20分)

1.两个自然数的和是31，要使这两个整数的乘积最大，这两个整数分别是( )和( )。

2.比较A与B的大小。A＝74521×34284，B＝74520×34285，( )＞( )。 3.农民张大伯要靠自家的土墙(土墙足够长)建一个长方形猪圈，另外三边(三边均为整数)砌成长36米的砖墙(如右图)。砌成的猪圈的面积最大是( )平方米。

n

4.在修建一栋房屋时，一个木工在修建窗口时犯了难，如果窗口的周长相等，应修成( )(填“长方形”、“正方形”、“圆形”)。

5.把410分拆成几个自然数的和，要想使乘积最大，乘积最大是( )。 二、选择题(每题5分，共20分)

1.37×75×42×76×( )，要想使这个连乘积的最后四位都是0，括号里最小填( )。 A.10000 ( )。

A.88969543 C.89669543 3.要使

B.89699543 D.前面的答案都不对

B.1000

C.100

D.50

2.在8969543这个数的某一位数字的后面再插入一个该数字，能得到的八位数最小是

294337＜＜成立，式中A最多可能取( )个不同的自然数。 37A43B.3

C 4

D.5

E.无数多

A.1

4.一张饼最少切( )刀就可以切成29块。 A 6

B.7

C.8

D.9

三、解答题(每题12分，共60分)

1.在下左图空方格内各填入一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大；同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的六个数字互不相同。如下右图为一种填法，那么最多有多少种不同填法？

2.某班共有48人，其中25人会滑冰，35人会打排球，40人会打乒乓球。那么这个班最少有多少人这三项都会？

3.等式A÷126＝14??B中，B应是什么数时才能使A最大？

4.把19拆成几个自然数的和，才能使这些自然数的乘积最大？最大乘积是多少？

5.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数的每相邻两数之间填上一个加号或一个减号，组成一个算式，并满足以下两个要求：(1)算式的结果等于37；(2)这个算式中的所有减数(前面填了减号的数)的乘积尽可能大。那么这些减数的最大乘积是多少？

4.一张饼最少切( )刀就可以切成29块。 A 6

B.7

C.8

D.9

三、解答题(每题12分，共60分)

1.在下左图空方格内各填入一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大；同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的六个数字互不相同。如下右图为一种填法，那么最多有多少种不同填法？

2.某班共有48人，其中25人会滑冰，35人会打排球，40人会打乒乓球。那么这个班最少有多少人这三项都会？

3.等式A÷126＝14??B中，B应是什么数时才能使A最大？

4.把19拆成几个自然数的和，才能使这些自然数的乘积最大？最大乘积是多少？

5.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数的每相邻两数之间填上一个加号或一个减号，组成一个算式，并满足以下两个要求：(1)算式的结果等于37；(2)这个算式中的所有减数(前面填了减号的数)的乘积尽可能大。那么这些减数的最大乘积是多少？

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