三湘名校教育联盟2018届高三第三次大联考理科数学试题 含答案

三湘名校教育联盟·2018届高三第三次大联考

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A?{x|3n?3?1}，B?{x|x2?4x?12?0}，则(CRA)A．[?3,?2) B．(??,?3] C．[?3,?2)D．(?3,?2)B?（ ）

(6,??)

(6,??)

2.已知命题p:?ABC中，若A?B，则cosA?cosB，则下列命题为真命题的是（ ） A．p的逆命题 B．p的否命题 C．p的逆否命题 D．p的否定 3.已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，当0?x?2时，f(x)?log3x，则

7f(2)?f()?（ ）

2A．1 B．-1 C．0 D．2

4.执行如图所示的程序框图，如输入x的值为1，输出n的值为N，则在区间[?1,4]上随机选取一个数M，M?N?1的概率为（ ）

A．

1234 B． C. D． 5555ix5.欧拉公式e?cosx?isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指

数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e表示的复数在复平面中位于（ ）

ix

A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 6.函数y??cosx的图象大致是（ ）

ln|x|

A． B． C. D．

2937.若(x?4)(x?)的展开式中x的系数为（ ）

1xA．36 B．-144 C.60 D．-60

8.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（ ）

A．343? B．43? C.? D．83? 239.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p?0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)?1.75，则p的取值范围是（ ） A．(0,7711) B．(,1) C. (0,) D．(,1) 12122210.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是（ ）

A．13 B．12 C.11 D．10

11.如图，抛物线y?2px(p?0)和圆x?y?px?0，直线l经过抛物线的焦点，依次

222

交抛物线与圆于A，B，C，D四点，|AB|?|CD|?2，则p的值为（ ）

A．

2 B．1 C.2 D．22 212.已知函数f(x)?ax3?(3?a)x在[?1,1]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（ ） A．[?33,3] B．[?,12] C.[?3,3] D．[?3,12] 22第Ⅱ卷：非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10?40，则a3?a5的最大值为 ．

?x?y?2?14.已知实数x，y满足?2x?y?2，则z?ax?y的最小值为1，则a? ．

?y?0?15.以40km/h向北偏东30?航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3min后祈求上升到1km处，从探测船上观察气球，仰角为30?，求气球的水平飘移速度是 km/h．

16.已知平面向量a，b满足a?b?2，存在单位向量e，使得(a?e)?(b?e)?0，则

a?b的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知函数f(x)?sin?x?sin(?x??3)(??0).

（1）若f(x)在[0,?]上的值域为[?（2）若f(x)在[0,3,1]，求?的取值范围； 2?]上单调，且f(0)?f()?0，求?的值. 33?

18. 为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y?C1x2?C2与模型②：y?e来建立两个变量之间的关系. 温度x/?C 产卵数y/个 20 6 400 1.79 22 10 484 2.30 24 21 576 3.04 26 24 676 3.18 28 64 784 4.16 30 113 900 4.73 32 322 1024 5.77 C1x?C2作为产卵数y和温度x的回归方程

t?x2 x?lny

x 26 t 692 y 80 z 3.57 ?(x?x)(y?y)iii?1n?(t i?1ni?t)(yi?y) 2i?(zi?1nni?z)(xi?x) 2i?(z?z)(t?t)iii?1n?(x?x)ii?1n2?(t?t)i?1n?(x?x)i?1?(t?t)ii?1n 21157.54 其中ti?xi，t?20.43 0.32 n0.00012 ?t，zii?1ni?lnyi，u??zi，

i?1附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),n,(un,vn)，其回归直线v??u??的斜率和截距的最

小二乘估计分别为：???(u?u)(v?v)iii?1?(u?u)ii?1n，??v??u.

2

（1）在答题卡中分别画出y关于t的散点图、z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个

模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.

（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30?C时的产卵数.（C1,C2,C3,C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：

e4.65?104.58，e4.85?127.74，e5.05?156.02）

（3）若模型①、②的相关指数计算得分分别为R12?0.82，R22?0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.

19. 已知三棱台ABC?A1B1C1中，AB?BC?4,AC?2AC1?CC1?1，11?22，AA平面AA1B1B?平面AAC11C，

（1）求证：BB1?平面AAC11C；

（2）点D为AB上一点，二面角D?CC1?B的大小为30?，求BC与平面DCC1所成角的正弦值.

20. 一张半径为4的圆形纸片的圆心为F1，F2是圆内一个定点，且F1F2?2，P是圆上一个动点，把纸片折叠使得F2与P重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与半径PF1的交点为Q，当P在圆上运动时，则Q点的轨迹为曲线E，以F1F2所在直线x为轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图.

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