华理概率论06-01-B-试卷答案

华东理工大学2005–2006学年第一学期

《概率论与数理统计》课程期末考试试卷 B 2006.1.

开课学院： 理学院 ， 考试形式： 闭卷 ， 所需时间： 120 分钟 姓名： 学号： 班级： 任课教师

三 题序 一 二 1 得分 评卷人

总分 2 3 4 5 6 一、填空题（每小题4分，共20分）

1． 从一装有3个红球2个白球的盒子中取出两球，取得一红一白的概率为

0. 6 ；若已知其中至少有一个是白球，则另一球也是白球的概率为 1 / 7 。 2．设A、B是两个事件，P(A)?0.5，P(B)?0.2，P(A|B)?P(A|B)，则

P(A?B)?0.6。

3．若某人射击的命中率为0.2，则他命中目标时已经射击的次数X为k的概率

P{X?k}?0.2(0.8)k?1，EX?5。

4．设随机变量X与Y相互独立，且E(X)?E(Y)?1，D(X)?D(Y)?2，则

D(XY)?8。

5．已知随机变量X~E(2)，则Y?eX的分布密度函数为?Y(y)?

?2y?3,y?1??0,y?1。

二、选择题（每小题4分，共20分）

1．设总体 X～P(?), (X1,X2,X3,X4)是来自总体X的样本，则下列?的无偏

估计中最有效的是 （ D ）

1

X1?2X2?2X3?2X4X?2X2； B．17X?X2?X3?2X4X?X2C．1； D． 15A．

?2X3?X4；

6?X3?X4。

42．对于任意两事件A和B，则下列结论正确的是（ C ）

A．若AB??，则A，B一定不独立； B．若AB??，则A，B一定独立； C．若AB??，则A，B有可能独立； D．若AB??，则A，B一定独立。 3．已知二维随机变量(X,Y)的边缘分布都是正态分布，则下列不正确的结论是

（ A ）

A．(X,Y)一定服从二维正态分布； B．X与Y独立时服从正态分布； C．(X,Y)可能服从二维正态分布； D． 以上结论不都正确。 4．对任意两事件A和B，有P(A?B)?（ B ）

A．P(A)?P(B)； B．P(A)?P(AB)；

C．P(A)?P(B)?P(AB)； D．P(A)?P(B)?P(AB)。 5．设总体 X～N(0,?2),(X1,X2,X3,X4,X5,X6) 是来自总体 X 的样本，

(X1?X2?X3)2则统计量服从的分布为（ C ） 2X4?X52?X62A．F(3,3) B．F(3,1) C．F(1,3) D．F(1,1)

三、解答题（共60分）

1．（8分）某选择题有4个选项，已知考生知道正确解法的概率为

生因粗心犯错的概率为

2，此时该考31；如果该考生不知道正确解法时只能随机乱猜。 41）求该考生答对选择题的概率?；

2）已知该考生答对了，求该考生确实知道正确答案的概率?？

21解：设A表示“知道正确解法”，“答对选择题”。据题意： P(A)?，P(B|A)?，B341P(B|A)?

412127 （1）??P(B)?P(B|A)P(A)?P(B|A)P(A)?(1?)???(1?)?

434312 （5分）

32?P(AB)P(B|A)P(A)436（2）??P(A|B)?（3分） ???

7P(B)P(B)712 2．（10分）某厂知道自己产品的不合格率比较高，因此打算在每盒（100只）中

2

多装几只产品。假定不合格率为0.2，试问：

（1）如果在每盒中多装21只，则消费者不吃亏的概率是多少？

（2）要使消费者不吃亏的概率达到0.99，每盒中至少要多装多少只？ （?(0.727)?0.7664,?(2.326)?0.99） 解：设每盒中的不合格品有X个，

（1）X~B(121,0.2)，“消费者不吃亏”?{X?21}，则

?21?121?0.2?P(X?21)???????1??(0.727)?1?0.7664?0.2336

?121?0.2?0.8?（ 5分）

（2）设每盒中至少要多装n只，则X~B(100?n,0.2)

?n?(100?n)?0.2?2n?50?????P(X?n)????????0.99??(2.326)， ?(100?n)?0.2?0.8??100?n???2n?50?2.326，n?38.7。

100?n所以，要使消费者不吃亏的概率达到0.99，每盒中至少要多装39只 。

（5分）

3．（10分）设X与Y是两个独立的随机变量，且均服从(?2,2)上的均匀分布，试求（1）未知量t的方程t2?Xt?Y?0有实根的概率p；（2）Z?X?Y的

概率密度函数fZ(z)。

?2?x?2?1/4,解：X的概率密度函数为?X(x)??，

其他?0,

?2?y?2?1/4, Y的概率密度函数为?Y(y)??，

0,其他?（1）方程t2?Xt?Y?0有实根的概率

p?P(X?4Y?0)?2x2?4y?0???X(x)?Y(y)dxdy??dx??2212x4?217dy? 4?412

（4分）

?21??1z?2（2）fZ(z)???X(x)?Y(z?x)dx???Y(z?x)dx???Y(u)du

?24??4z?2 当z??4时，?Y(y)?0，fZ(z)?0；

1z?211 当?4?z?0时，fZ(z)??dx?(z?4)；

4?24161211 当0?z?4时， fZ(z)??dx?(4?z)；

4z?2416 当z?4时，?Y(y)?0，fZ(z)?0.

3

?1?(4?z),?4?z?0?16?1?fZ(z)??(4?z),0?z?4。 （6分）

?16?0，其他??

1314．（10分）设随机变量X~B(1,)，Y~B(1,)，且X与Y的相关系数??，

423（1）试求随机变量X与Y的联合分布；（2）令Z?max(X,Y)，求DZ。

3311解：（1）EX?，DX?，EY?，DY?，

4162411 Cov(X,Y)??DXDY?，E(XY)?EX?EY?Cov(X,Y)?

82 ?E(XY)?1?P{XY?1}?0?P{XY?0}?P{X?1,Y?1}

?P{X?1,Y?1}?0.5，

由边缘分布与联合分布的关系得X与Y的联合分布为 YPX 0 1 X 0 0.25 0 0.25 1 0.25 0.5 0.75 PY 0.5 0.5 1 （6分）

（2）Z?max(X,Y)的分布为B(1,0.75)，即分布律为

Z 0 1 P 0.25 0.75 ?DZ?0.25?0.75?0.1875 （4分） 5．（10分）设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个简单随机样本，X的概率密度

?(??1)x?,0?x?1函数为f(x;?)??，其中???1，求参数?的极大似然估计

其他0,?与矩估计。

解：L(?)??f(xi;?)??(??1)xi?(??1)?i?1nnn

lnL(?)?nln(??1)???lnxi

i?1ndlnLn令???lnxi?0，

d???1i?1i?1n?x?

ii?1n???1?得?的极大似然估计为：?Ln?lnXi?1n （5分）

i 4

EX??????xf(x)dx??10??1??2x(??1)xdx?x??2?10???1 ??2???11n2X?1??X得?的矩估计为：??由（其中，X??Xi） （5分） ?ni?11?X??2

6．（12分）随机地挑选20位失眠者，平分成两组，分别服用甲、乙两种安眠药，

记录下他们睡眠的延长时间（单位：小时），测得甲药的平均延长时间为

*?2.02；样本的修正标准差为s1乙药的平均延长时间为x2?0.75，x1?2.34，

*?1.79。假定甲、乙两种安眠药的睡眠延长时间分别样本的修正标准差为s22)，取??0.05。试问： 服从N(?1,?12)和N(?2,?2（1）求?1的95%的置信区间；

2（2）假设?12??2，则能否认为甲药与乙药的疗效有显著差异？

（t0.95(18)?1.7341，t0.975(18)?2.1009，t0.975(9)?2.2622，t0.975(10)?2.2281） 解：（1）置信下限：x1?t0.975(9)置信上限：x1?t0.975(9)s*1n1s*1n1?2.34?2.2622?2.0210?0.895

?2.34?2.2622?2.0210?3.785

则?1的95%的置信区间为(0.895,3.785)。 （6分） （2）H0:?1??2，H1:?1??2

统计量T?swx1?x211?n1n2H0真~t(18)，临界值t0.975(18)?2.1009

n1?n2?10，sw?1.91

计算T?2.34?0.751.91?11?1010即认为甲药与乙药的疗效无显著差异。 （6分）

?1.86?t0.975(18)?2.1009，故接受原假设，

5

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