第八章 实数的完备性

第八章 实数的完备性

1 实数连续性的等价描述

1．求数列{Jn}的上、下确界： (1) xn?1?1; n (2) xn?n[2?(?2)n];

1knn?1; (4) xn?[1?(?1)]n(5) xn?1?2(6) xn?nn(?1n) (3) x2k?k,?x2k?1?1???(k?1,2,3,?);

;n?12n?cos. n?13 2．设f(x)在D上定义，求证： (1) sup{?f(x)}??inff(x);

x?Dx?D (2) inf{?f(x)}??supf(x).

x?Dx?Dsp 3．设??uE，且??E，试证自E中可选取数列{xn}且xn互不相同，使limxn??；

x??又若??E，则情形如何?

4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于??的数列必有下确界，趋于??的数列

必有上确界．

5．试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列；

(2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列；

(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．

2 实数闭区间的紧致性

1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．

4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件

[a1,b1]?[a2,b2]??去掉或将条件bn?an?0去掉，结果怎样?试举例说明．

5．若{xn}无界，且非无穷大量，则必存在两个子列xnk??,xmk?a (a为有限数)． 6．有界数列{xn}若不收敛，则必存在两个子列xnk?a,xmk?b?????b)．

7．求证：数列{an}有界的充要条件是，{an}的任何子数列{ank}都有收敛的子数列．

8．设f(x)在[a,b]上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：f(x)在[a,b]上有界．

9．设f(x)在[a,b]无界，求证：存在c?[a,b]，对任给??0，函数f(x)在

(c??,c??)?[a,b]上无界．

f(x),?lim?f(x)存在． 10．设f(x)是(a,b)上的凸函数，且有上界，求证：lim?x?ax?b11．设f(x)在[a,b]上只有第一类间断点，定义

?(x)?|f(x?0)?f(x?0)|.

求证：任意??0,??(x)??的点x只有有限多个．

12．设f(x)在[0,??)上连续且有界，对任意a?(??,??)，

f(x)?a在[0,??)上只有有限个根或无根，求证：limf(x)存在．

x???

3 实数的完备性

1，设f(x)在(a,b)连续，求证：f(x)在(a,b)一致连续的充要条件是

x?a?limf(x)与limf(x)都存在， ?x?b2．求证数列xn?1?11???当n??时的极限不存在． 2n3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) xn?a0?a1q?a2q???anq(|q|?1,|ak|?M);

nsin1sin2sinn?2???n; 22211n?11. (3) xn?1?????(?1)23n(2) xn?1?(存)在的充要条件是：对任意给定??0，存在??0，当 4．证明limfxx?x00?|x'?x0|??,?0?|x''?x0|??时，恒有

|f(x')?f(x'')|??.

5．证明f(x)在x0点连续的充要条件是：任给??0，存在??0，当

0?|x'?x0|??,?0?|x''?x0|??时，恒有

|f(x')?f(x'')|??.

6．证明下列极限不存在： (1) x1n?n?n?1cos2n?3; (2) xnn(?1)nn?1?2;

(3) x2n?sin(?n?n);

(4) xn?cosn; (5) xn?tann . 7．设f(x)在(a,??)上可导，|f'x()单|调下降，且xlim???f(x)存在，xlim???xf'(x)?0．

8．设f(x)在(??,??)可导，且|f'(x)|?k?1，任给x0，令

xn?1?f(xn)??(n?0,1,2,?),

求证，

(1) limx??xn存在；

(2) 上述极限为x?f(x)的根，且是唯一的． 9．设f(x)在[a,b]满足条件：

(1) |f(x)?f(y)|?k|x?y|,??x,y?[a,b],???k?1; (2) f(x)的值域包含在[a,b]内．

则对任意x0?[a,b]，令xn?1?f(xn)(n?0,1,2,?)，有 (1) limx??xn存在；

求证(2)方程x?f(x)的解在[a,b]上是唯一的，这个解就是上述极限值．

4 再论闭区间上连续函数的性质

1．设f(x)在[a,b]上连续，并且最大值点x0是唯一的，又设x0?[a,b]，使

limf(xn)?f(x) 0，求证

x??limxn?x0

x?? 2．设f(x)在[a,b]上连续，可微，又设 (1) minf(x)?p?maxf(x);

a?x?ba?x?b (2) 如果f(x)?p，则有f'(x)?0， 求证：f(x)?p的根只有有限多个．

3．设f(x)在[a,b]连续，f(a)?0，f(b)?0，求证：存在??(a,b)，使f(?)?0，且f(x)?0(??x?b)．

4．设f(x)是[a,b]上的连续函数，其最大值和最小值分别为M和m(m?M)，求证：必存在区间[?,?]，满足条件：

(1)f(?)?M,?f(?)?m或f(?)?m,?f(?)?M； (2) m?f(x)?M，当x?(?,?)．

x)?f(xa?)． 5．f(x)在[0,2a]连续，且f(0)?f(2a)，求证：存在x?[0,a]，使f(

6．设f(x)在[a,b]上连续，且取值为整数，求证：f(x)?常数． 7．设f(x)在(a,b)上一致连续，a,b???，证明f(x)在(a,b)上有界； 8．若函数f(x)在(a,b)上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数K，使得

|f(x')?f(x'')|?K|x'?x''|,??x',x''?(a,b).

证明：f(x)在(a,b)上一致连续．

9．试用一致连续的定义证明：若函数f(x)在[a,c]和[c,b]上都一致连续，则f(x)在

[a,b]上也一致连续．

10．设f(x)在(??,??)上连续，且limf(x)与limf(x)存在．证明；f(x)在

x???x???(??,??)上一致连续．

11．若f(x)在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即|f'(x)|?M,??x?X，则

f(x)在X中一致连续．

12．求证：f(x)?xlnx在(0,??)上一致连续．

x??? 13．设f(x)在(a,??)上可导，且limf'(x)???，求证：f(x)在(a,??)上不一致连续．

14．求证：f(x)?xlnx在(0,??)上不一致连续．

5 可积性

1．判断下列函数在区间[0,1]上的可积性：

(1) f(x)在[0,1]上有界，不连续点为x???(n?1,2,?)；

1n??sgn(sin),??x?(0,1],?(2) f(x)?? x??0,????????????????x?0;?1?1?????,??x?(0,1],(3) f(x)??x?x?

?0,?????????????x?0;??1,??x?(0,1],???1?(4) f(x)????

x?????0,???????x?0. 2．讨论f(x),?f(x),|?f(x)|三者间可积性的关系． 3．设f(x),?g(x)都在[a,b]上可积，证明：

2

M(x)?max(f(x),g(x)),?m(x)?min(f(x),g(x))

在[a,b]上也是可积的．

4．设f(x)在[a,b]上可积，且f(x)?r?0，求证：

(1)

1在[a,b]可积； f(x) (2) lnf(x)在[a,b]可积．

5．设f(x)在[a,b]可积，求证：任给??0，存在逐段为常数的函数?(x)，使

?ba|f(x)??(x)|dx?? . 6．设f(x)在[a,b]上有界，定义

?f[a,b]?supf(x)?inff(x),

x?[a,b]x?[a,b] 求证

?f[a,b]?sup|f(x')?f(x'')|.

x',x''?[a,b] 7．设f(x)在x0附近有定义且有界，定义

?f(x0)?lim?x0?,x0??.

n???nn? 求证：f(x)在x0连续的充分必要条件为?f(x0)?0． 8．若函数f(x)在[A,B]可积，证明：

??11?lim?|f(x?h)?f(x)|dx?0,

h?0ab 其中A?a?b?B (这一性质称为积分的连续性)．

9．f(x)?0,?f''(x)?0,对任意省仨x?[a,b]成立，求证：

f(x)?2bf(x)dx. ?ab?a 10．设f(x)在[a,b]有连续的导函数，求证：

b1bmax|f(x)|?|f(x)dx|??|f'(x)|dx.

aa?x?bb?a?a 11．设f(x)在[a,b]可积，求证；存在连续函数序列?n(x),??n?1,2,?，使

lim??n(x)dx??f(x)dx.

n??aabb 12．设f(x)在[a,b]黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列{[a,b]}使

[an?1,bn?1]?(an,bn)?(a,b),

且?f([an,bn])?1； n (2) 存在c??[a,b]，使得f(x)在c点连续；

nnn?1? (3) f(x)在[a,b]上有无穷多个连续点．

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