89、向量在立体几何中的应用（理）（一）

第88课时 空间向量在立体几何中的应用（一）（理）

【教学目标】

1．把平面向量的有关概念及其运算推广到空间，理解空间向量的意义．

2．建立空间直角坐标系，会用坐标表示空间向量，会把空间向量的线性运算化为坐标运算． 3．掌握空间中直线的方向向量与平面的法向量，会把空间线面的平行及垂直关系为向量关系，掌握三个基础命题．

4．会在简单的空间图形中用向量方法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系．

5．在解决空间向量线性运算及线面关系问题的过程中，领悟类比推广和转化的数学思想．

【教学重点】

1．空间向量线性运算的坐标表示．

2．用空间向量方法探究空间中的线面平行与垂直关系．

【教学难点】

用三个基础命题证明与探究空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直．

【教学过程】

一．知识整理

1．空间两点的距离：在空间直角坐标系O?xyz中，点A、B的坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)，则|AB|?(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2)．

2222．空间点的位置向量及其坐标：在空间直角坐标系O?xyz中，O为原点，A是空间一点，则向量a?OA叫做点A的位置向量，取与Ox轴、Oy轴、Oz轴正半轴方向相同的三个单??????位向量i、j、k，若点A的坐标为(x,y,z)，则OA可以用i、j、k表示为

????OA?xi?yj?zk．

??3．空间向量运算的坐标表示：两个向量a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则它们的运算

有：

??a?b?(x1?x2,y1?y2,z1?z2)，

??a?b?(x1?x2,y1?y2,z1?z2)，

??a?b?x1x2?y1y2?z1z2．

??4．空间向量的夹角：两个非零向量a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)的夹角为?，则

???????a?bcos????，所以两个非零向量a、b垂直的充要条件是a?b?0，两个非零向量a、

|a||b|?????b平行的充要条件是a?b??|a|?|b|．

?5．直线的方向向量与平面的法向量：空间中与直线l平行的非零向量d叫做直线l的方向向

?量，与平面?垂直的非零向量n叫做平面?的法向量．于是我们可以得到以下三个结论（三个基础命题）：

（1）两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量平行；

（2）一条直线与一个平面平行或一条直线在一个平面内的率要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行；

（3）两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量平行． 6．两个平面垂直的充要条件：它们的法向量垂直．

二．例题解析

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，解答题，中，逻辑思维

【题目】

已知ABCD?A1B1C1D1是平行六面体，

??且AB?a，BC?b，CC1D1

A1 B1 D A

M

B

C1 N C

??c．

???acb（1）用，，表示向量AC1；

（2）设M是底面ABCD的对称中心，N在侧 面BCC1B1的对角线BC1上，且BN?

34???BC1，用a，b，c表示向量MN．

【解答】

?????AC?AB?BC?a?b解：（1），故AC1?AC?CC1?a?b?c．

（2）MN?MB?BN?12421??3??1?1?3??(a?b)?(b?c)?a?b?c． 24244DB?3BC1?1(AB?AD)?34(BC?CC1)

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的坐标表示及运算，解答题，中，分析问题解决问题

【题目】

??已知空间三点A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，设a?AB，b?AC．

??（1）求a和b的夹角?的值（结果用反三角函数值表示）； ????（2）若向量ka?b与ka?2b互相垂直，求k的值．

【解答】

??解：（1）a?AB?(1,1,0)，b?AC?(?1,0,2)，故cos????a?b10?， ???10|a||b|所以??arccos?????10??． 10?????????2?22（2）由题意得(ka?b)?(ka?2b)?0，即ka?ka?b?2b?0，

化简得2k2?k?10?0，解得k?2或k??

52．

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算及应用，证明题，中，分析问题解决问题

【题目】

如图，已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD?底面ABCD，且PD?2．求证：EF?平面PBC． P

E A

D

B F

C

【解答】

证法一：

如图建立空间直角坐标系，则B(2,2,0)，C(0,2,0)， P(0,0,2)，E(1,0,0)，F(1,1,1)，

z P F 所以BC?(?2,0,0)，PB?(2,2,?2)，

E EF?(0,1,1)．因为EF?BC?0，EF?PB?0，

D C y A B x 所以EF?BC，EF?PB，即EF?BC，EF?PB，所以EF?平面PBC．

证法二：如图建立空间直角坐标系，则B(2,2,0)，C(0,2,0)，

P(0,0,2)，E(1,0,0)，F(1,1,1)，

所以BC?(?2,0,0)，PB?(2,2,?2)，

设平面PBC的一个法向量为n?(x,y,z)，则由n?BC，n?PB，得n?BC?0，

??2x?0,??得x?0，取y?1，则z?1，所以n?(0,1,1)，而 n?PB?0，即??2x?2y?2z?0,????EF?(0,1,1)，即EF就是平面PBC的一个法向量，所以EF?平面PBC．

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算及应用，解答题，中，分析问题解决问题

【题目】

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?1，?ACB?90?，AA1?2，M、N分别是A1B1、AA1的中点． （1）求BN的长；

（2）求向量BA1与CB1的夹角?的余弦值；

N （3）求证：A1B?C1M．

A C

B

A1 C1 M

B1

【解答】

解：以C为原点，射线CA、CB、CC1分别为x轴、

y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．

z C1 A1 M B1 则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0,2)，

?11?B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，M?,,2?，N(1,0,1)．

?22?N C x A B y （1）BN?(1,?1,1)，故|BN|?所以BN的长为3．

3，

（2）BA1?(1,?1,2)，CB1?(0,1,2)，故cos???1?21BA1?CB1|BA1|?|CB1|?36?30510．

（2）C1M??

,?,0?，因为BA1?C1M?0，所以BA1?A1M，即A1B?C1M． 2?三．课堂反馈

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，填空题，易，运算

【题目】

????已知向量a?(0,?1,1)，b?(4,1,0)，|?a?b|?29，则??________．

【解答】

答案：3

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的概念，填空题，易，逻辑思维

【题目】

??x1y1z1????若a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则是a和b平行的________条件． x2y2z2

【解答】

答案：充分非必要

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，填空题，中，运算

【题目】

??????已知a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，且|a|?5，|b|?6，a?b?30，则a1?a2?a3b1?b2?b3?_____________．

【解答】

答案：

56

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的应用，填空题，中，运算

【题目】

O是空间直角坐标系的原点，向量OC?(3,4,5)，点A的坐标是(3,0,0)，点B的坐标

是(0,4,0)，则OC与AB的夹角是________________．

【解答】

答案：arccos

7250

四．课堂小结

1．空间向量的坐标表示及其运算，以及向量的平行，垂直，夹角的计算等，都可以由平面向量类比推广过来．

2．三个基础命题是把空间线面关系问题转化成向量问题的依据．

五．课后作业

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的概念，解答题，易，运算

【题目】

????已知P1(2,5,4)P2(6,4,7)，设a?P1P2，求a、?a和与a同方向的单位向量a0的坐标．

【解答】

答案：a?(4,?1,3)，?a?(?4,1,?3)，a0???????426,?126,3??? 26?

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，填空题，易，运算

【题目】

??????已知a?(1,?5,4)，b?(2,1,7)，则3a?2b?__________，|a?b|?_____．

【解答】

答案：(7,?13,26)，146

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，填空题，易，运算

【题目】

A1B1C1D1中，AC1?xAB?2yBC?3zC1C在平行六面体ABC?D，则

x?y?z?_____________．

【解答】

答案：

76

【属性】高三，空间图形与简单几何体，平面的法向量，填空题，易，运算

【题目】

已知直线l过点A(1,?2,1)和B(3,2,4)，平面?的一个法向量n?(k,t,6)．若l??，则k?_______，t?__________．

?【解答】

答案：4，?8

【属性】高三，空间图形与简单几何体，平面的法向量，解答题，易，运算

【题目】

??已知直线l的一个方向向量d?(4,3,1)，平面?的一个法向量n?(m,3,?5)，且l∥

?，求m的值．

【解答】

答案：m??1

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，解答题，易，运算

【题目】

??设a?(1,5,?1)，b?(?2,3,5)．

????（1）当?a?b与a?3b平行时，求?的值； ????（2）当?a?b与a?3b垂直时，求?的值．

【解答】

答案：（1）???

13，（2）??1063

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，解答题，中，分析问题解决问题

【题目】

??????已知向量a?(3,1,1)，向量c?a?tb，当t在实数范围内变化时，求|c|b?(1,2,?1)，

的最小值，并求此时实数t的值．

【解答】

2????2???225??解：|c|?|a?tb|2?a2?2ta?b?t2b2?6t2?8t?11?6?t???，

3?3?所以，当t??

23时，|c|取最小值

?533．

【属性】高三，空间图形与简单几何体，平面的法向量，解答题，中，运算

【题目】

已知空间直角坐标系O?xyz中三点A、B、C的坐标分别为(1,2,1)、(3,4,2)、

(5,7,4)，求平面ABC的单位法向量．

【解答】

解：由已知，AB?(2,2,1)，AC?(4,5,3)，设平面ABC的一个法向量为

?2x?2y?z?0,?????则由n?AB，n?AC得n?AB?0，n?AC?0，即? n?(x,y,z)，

4x?5y?3z?0,?取z?1，则x?12，y??1，所以n????1?,?1,1?． ?2?232??． 3?所求平面ABC单位法向量为n0???

?1?3,?,【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，解答题，中，分析问题解决问题

【题目】

设空间两个不相等的单位向量OA?(m,n,0)和OB?(p,q,0)都与OC?(1,1,1)成

45?角．

（1）求m?n及m?n的值； （2）求?AOB的大小．

【解答】

解：（1）由题设知，m2?n2?1，|OC|?所以2mn?(m?n)2?(m2?n2)?623213，所以cos45??14m?n3，m?n?62，

?1?142，所以mn?．

6214（2）由（1）知，m?n?，mn?，所以m、n是关于x的方程x2?x??0的两根，同理可得p、q也是方程x2?62x?14?0的两根．

若m?p，n?q则OA?OB与已知矛盾，所以m?q，n?p，所以

co?sAOB?OA?OB?mp?nq?2mn?12，故?AOB??3．

【题目资源】

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，填空题，易，运算

【题目】

????已知a?(1,?1,2)，b?(?2,1,x)，且a?b，则x?_________．

【解答】

答案：

32

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，填空题，易，运算

【题目】

????与向量a?(2,?1,2)平行且a?b??18的向量b的坐标是________________．

【解答】

答案：(?4,2，?4)

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，填空题，易，运算

【题目】

???????????已知a、b、c两两垂直，|a|?1，|b|?2，|c|?3，s?a?2b?3c，则|s|?______．

【解答】

答案：72

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，填空题，易，运算

【题目】

??????i??cos?，已知a?(cos?,1,sin?)，b?(sin?,1,cos?)，且sn则向量a?b与a?b的夹角大小是_______________．

【解答】

答案：

?2

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，选择题，易，运算

【题目】

正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则向量AF与CE夹角的大小是（ ） A．arccos

13 B．??arccos13 C．arccos23 D．??arccos23

【解答】

答案：D

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，解答题，易，运算

【题目】

已知a?(2,1,?2)，b?(5,?4,3)，c?(?8,4,1)． ??（1）求证：a?b；

??（2）求a与c的夹角?的余弦值．

???

【解答】

答案：（1）略． （2）cos???

1427．

【属性】高三，空间图形与简单几何体，平面的法向量，解答题，易，运算

【题目】

已知点A(0,?7,0)、B(2,?1,1)、C(2,2,2)，求平面ABC的一个法向量．

【解答】

答案：(3,?2,6)

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，解答题，易，运算

【题目】

已知点A(3,2,1)，B(1,0,4)，求：

（1）线段AB的中点坐标和A、B两点间的距离；

（2）到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的关系式．

【解答】

解：（1）线段AB的中点坐标为?2,1,??5??， 2?22A、B两点间的距离|AB|?(3?1)?(2?0)?(1?4)2?217．

2（2）由题意，(x?3)2?(y?2)2?(z?1)2?(x?1)?y?(z?4)，化简得

2所以到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的关系式为4x?4y?6z?3?0．

4x?4y?6z?3?0．

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，选择题，中，运算

【题目】

在四面体O?ABC中，M在OA上，且OM?2MA，N为BC中点，则MN?（ ）

A．

12OA?23OB?12OC B．

1223OA?1223OB?2312OC

C．?

23OA?12OB?12OC D．

OA?OB?OC

【解答】

答案：C

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算性质，填空题，中，逻辑思维

【题目】

????????设有三个空间向量a、b、c，已知a与b不平行，?、?是两个常数，则a、b、c三

???个向量共面是c??a??b的_______________条件．

【解答】

答案：充分必要

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算性质，填空题，中，逻辑思维

【题目】

C、设A、B、且满足AB?AC?0，AC?AD?0，AB?AD?0，D是空间不共面的四点，

则B、C、D三点构成的三角形是（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定

【解答】

答案：B

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算性质，填空题，中，逻辑思维

【题目】

已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，侧面CC1D1D的中心是FAF?AD?mAB?nAA1，则mn?_______________．

，若

【解答】

答案：

14

【属性】高三，空间图形与简单几何体，平面的法向量，解答题，中，运算

【题目】

已知平面?经过点A(3,1,?1)、B(1,?1,0)，且平行于向量a?(?1,0,2)，求平面?的一个法向量．

?【解答】

答案：(4,?3,2)（答案不唯一）

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，解答题，中，运算

【题目】

已知空间直角坐标系中，点A(?1,7,6)，B(3,?2,4)，C(0,5,?1)．

23（1）求点D的坐标，使OD?BC；

（2）求向量EF，使EF?2AB?3AC．

【解答】

答案：（1）D??2,??143,?10??． （2）EF?(5,?12,17) 3?

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的应用，解答题，中，运算

【题目】

已知A(0,2,3)，B(?2,1,6)，C(1,?1,5)为空间直角坐标系内三点． （1）求以AB、AC为邻边的平行四边形的面积； （2）若a是平面ABC的法向量，且|a|?

???3，求a的坐标．

【解答】

解：（1）AB?(?2,?1,3)，AC?(1,?3,2)，设AB与AC的夹角为?，则

AB?AC|AB||AC|1232cos???，所以sin??，所以所求平行四边形的面积为

S?|AB|?|AC|?sin??73．

222（2）设a?(x,y,z)，则x?y?z?3，因为a是平面ABC的法向量，故a?AB?0，

????x2?y2?z2?3,?x?1,?x??1,????a?AC?0，于是可得到方程组??2x?y?3z?0,解得?y?1,或?y??1,

?z?1，?z??1.?x?3y?2z?0,???所以a?(1,1,1)或a?(?1,?1,?1)．

??

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的应用，证明题，中，逻辑思维

【题目】

在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?aAB?b，AA1?c，E、F分别是A1D、B1D1上的点，且A1E?

13A1D，B1F?13B1D1，求证：直线EF平行于平面CC1D1D．

【解答】

解析：以D1为原点，射线D1A1、D1C1、D1D分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系，求得平面CC1D1D的一个法向量为n?(1,0,0)，而EF??0,?????2b3,?c??，3?可得EF?n?0，从而EF?n，故直线EF平行于平面CC1D1D．

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的应用，证明题，中，逻辑思维

【题目】

已知长方体ABCD?A1B1C1D1的棱AD?4，AB?2，AA1?3，求证：平面A1BD平行于平面CD1B1．

【解答】

解析：以D1为原点，射线D1A1、D1C1、D1D分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面A1BD和平面CD1B1的法向量为n1?(?3,6,?4)， n2?(3,?6,4)，由n1∥n2，得平面A1BD平行于平面CD1B1．

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，解答题，难，分析问题解决问题

【题目】

已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，在直线OC上取一点P，使PA?PB最小，求PA?PB的最小值，并求此时OP的坐标．

【解答】

解：设P(t,t,2t)为直线OC上一点，则PA?(1?t,2?t,3?2t)，

PB?(2?t,1?t,2?2t)，所以PA?PB?(1?t)(2?t)?(2?t)(1?t)?(3?2t)(2?2t)

424?2?448??当，PA?PB取最小值?，此时OP??,,?．?6t?16t?10?6?t???，

3333333????22

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的运算，解答题，难，分析

问题解决问题

【题目】

设空间两个不相等的单位向量OA?(m,n,0)和OB?(p,q,0)都与OC?(1,1,1)成

45?角．

（1）求m?n及m?n的值； （2）求?AOB的大小．

【解答】

解：（1）因为|OA|?1，所以m2?n2?1，又|OC|?则cos45??3，

OA?OC|OA||OC|?m?n3，

故m?n?62，而2mn?(m?n)?(m?n)?22212，得mn?14．

（2）由m?n?6262，mn?14，得m、n是方程x?262x?14?0的两个根，同理p、

q也是方程x?2x?14?0的两个根，若m?p，n?q，则OA?OB，不合题意，故

12m?q，n?p，从而有mp?nq?2mn?，而|OA|?|OB|?1，则

cos?AOB?OA?OB|OA||OB|?mp?nq?12，所以?AOB?60?

【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间向量的应用，解答题，难，数学探究

【题目】

如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，AA1?ka（k?0），E、G、Q分别为棱BB1、DD1、AD的中点． （1）求证：AE∥平面BGQ；

（2）是否存在实数k，使AE?AD，AE?D1E时成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Q A

D

A1 G D1

B1 E

C B

C1

【解答】

解：（1）如图建立空间直角坐标系．则A(a,0,0)，

ka?E?a,a,2?ka??a??，，，Q,0,0G0,0,B(a,a,0)????2??2????， ?z D1 B1 E C1 ka??所以直线AE的一个方向向量为AE??0,a,?，

2??A1 G D 又BG???a,?a,??B x A ???设平面BGQ的一个法向量为n?(x,y,z)，由n?BG?0，n?BQ?0， ka??ax?ay?z?0,??2x?2y?kz?0,2?2得?即?取y??1，则x?2，，

k?x?2y?0,??ax?ay?0,??2ka??a??，BQ???,?a,0?， 2??2?Q C y 所以n??2,?1,?????2??，于是AE?n?0，即AE?n， k?因为A在平面BGQ外，所以AE∥平面BGQ． （2）因为AD?平面ABB1A1，故AE?AD成立． 因为D1E??a,a,???122ka?2?，若AE?D1E，则AE?D1E?0，即a?ka?0，

42?所以k?2．因此存在实数k?2，使AE?AD，AE?D1E时成立．

（k?0），E、G、Q分别为棱BB1、DD1、AD的中点． （1）求证：AE∥平面BGQ；

（2）是否存在实数k，使AE?AD，AE?D1E时成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Q A

D

A1 G D1

B1 E

C B

C1

【解答】

解：（1）如图建立空间直角坐标系．则A(a,0,0)，

ka?E?a,a,2?ka??a??，，，Q,0,0G0,0,B(a,a,0)????2??2????， ?z D1 B1 E C1 ka??所以直线AE的一个方向向量为AE??0,a,?，

2??A1 G D 又BG???a,?a,??B x A ???设平面BGQ的一个法向量为n?(x,y,z)，由n?BG?0，n?BQ?0， ka??ax?ay?z?0,??2x?2y?kz?0,2?2得?即?取y??1，则x?2，，

k?x?2y?0,??ax?ay?0,??2ka??a??，BQ???,?a,0?， 2??2?Q C y 所以n??2,?1,?????2??，于是AE?n?0，即AE?n， k?因为A在平面BGQ外，所以AE∥平面BGQ． （2）因为AD?平面ABB1A1，故AE?AD成立． 因为D1E??a,a,???122ka?2?，若AE?D1E，则AE?D1E?0，即a?ka?0，

42?所以k?2．因此存在实数k?2，使AE?AD，AE?D1E时成立．

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