第一章量子论基础

第三章 矩阵力学基础(?)――力学量和算符

一、概念与名词解释

1. 希尔伯特空间

2. 希尔伯特空间中矢量的内积

3. 转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符、幺正算符 4. 不确定性定理 5. 维里定理

二、计算

?,?]，其中μ、ν =x,y,z. 1. 计算对易关系[L????B?)?1按λ的幂展开式. 2. 设λ是一个小量，求算符(A??13. 求在x表象中的算符??p?x????1?.以及在px表象中的算符??. ??x????4. 利用不确定性原理估算氢原子基态能量.

?Axe??x(x?0)2

5. 一维运动的粒子处在?(x)??(??0),求<(Δx)>，

(x?0)?0<(Δp)2>.

6. 粒子处在Ylm态，求： (1) Lx和Ly的平均值，； (2) <(ΔLx)2>，<(ΔLy)2>. 7. 线谐振子处于基态?(x)?中????/?.

8. 设体系处于φ=C1Y11+C2Y10态，且|C1|2+|C2|2=1，求：

?的可能值和平均值； (1) 力学量Lz?1计算<(Δx)2>·<(Δp)2>，其exp(-?2x2)，

2??2的本征值； (2) 力学量L(3) 力学量Lx和Ly的可能值.

9. 设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量L2得到的值是6?2，测量力学量Lz得到的值是- ?，求测量Lx和Ly可能得到的值.

??(L?2?L?2)/2I?L?2/2I,求其能量本征值. 10. 设体系的哈密顿算符为Hxy1z2?为任意算符. ?的本征态中，对易子[H?]的平均值.A?,A11. 求在H12. 在t=0时氢原子的波函数为?(r,0)?[2?100??210?2?211?3?21-1] (1) 求体系能量的平均值；

(2) 求在t时刻体系处在l=1,m=1态的概率； (3) 求在t=0时，电子处在d=10-10cm范围内的概率；

(4) 假定做一次测量后发现L2=2?2，Lx= ?，求测量后的瞬间体系的波函数.

13. 一电子处在一维谐振子的基态，使得[x-?x?]2?10-10m,求激发该电子到第一激发态所需的能量.

?四、证明

?B??1，求证： ?、B??B?A?满足A1. 若算符A?B??2B?B??3B?2?B?2A?, A?3?B?3A?2 (1) A?B??nB?n?B?nA?n?1 (2) 用数学归纳法证明：A?、B?满足对易关系式[A?,[A?,B?]]?0，求证： 2. 若算符A?)B?)?B?,B?exp(??A???[A?]. exp(?A??L?2/(2?n/(n!)??，3. 若算符eL满足eL?1?L直接通过对易关系证！)???L???,a?,[L?,a?,[L?,[L?,a??[L?]?[L?]]/(2!)?[L?]]]/(3!)?? 明：eLae?L?a??4. 设[x,p]=i?，f(x)是x的可微函数，证明：

(1) [x,p2f(x)]?2i?pf ; (2) [x,pf(x)p]?i?(fp?pf) ;(3) [x,f(x)p2]?2i?fp ; (4) [p,p2f(x)]? -i?p2f ' ;(5) [p,pf(x)p]? -i?pf 'p ; (6) [p,fp2]? -i? f 'p2.

5. 证明：

???????????????2i?p???;L?r?r?L?2i?r;L?p?p?L???????22??Lx?xL?i?[(r?L)?(Lr)];???????p22????)].Lpx?pxL?i?[(p?L)x?(Lxxx

??是粒子的角动量，F是另一力学量，证明： 6. L???,F]??i?(?r??rF??pF?p). [L7. 设f(r)是只与空间坐标有关的力学量，证明：[f,[?2,f]]??2(?f)2

???A(P?nxm?xmP?n)/2,(An,m为实数)是厄米算符. 8. 证明算符On,mn,m?0???是幺正算符.证明??(U??U??)/2;B??(U??U??)/2i,式中算符U9. 定义算符A?、B?皆为厄米算符，并且满足A?2?B?,B?2?1;[A?]?0. A10. 证明：

???i?/2； (1) 在任意一维归一化的实束缚态φn(x)上，?xp?的本征值为En、(2) 若哈密顿算符H本征矢φn(x)为实的束缚态，则有

?(En?Ek)xnk??2/2?.

n2?的本征解为En和?(r)，对任意的线性厄米算符11. 设哈密顿算符Hn??]?(??，证明下式成立：d??*(??,Ar)[HAnr)?0 ?n?的本征态下，==0.进而证明角动量沿任意方向12. 证明在Lz??的平均值为n的分量Lnm?cosθ，其中θ为n与z轴的夹角，n为

??任意方向单位矢量.

13. 证明空间转动不变性对应角动量守恒.

?与哈密顿算符H?皆不显含时间，试证 14. 若算符Ad2?,H?],H?]? -?2?A???[[Adt215. 证明

d1?x?p?xx)? ?x2???(xpdt??、B?为守恒量，证明他们的对易子[A?,B?]也是守恒量. 16. 若算符A17. 粒子处于宽度为a的一维非对称无限深方势阱中，在其第n个本

征态下，证明?(x-?x?)2??a2(1-6/n2?2)/12

五、综合题

1. 质量为m的自由粒子作一维运动.在t=0时的归一化波函数是高斯

?1x21波包，满足?(x,0,?x?)?exp?-2(2??x2?)1/4?4?x2? ???(1) 求?(?p)2?1/2??p2?-?p?2；

(2) 证明在t>0时，粒子的概率密度满足

?(x,t)??(x,0,?x2???(?p2)?t2/m2)

22(3) 用不确定性原理解释(1)和(2)的结果.

2. 考虑一质量为m的粒子在一维势场U(x)=U0(x/a)2n中运动，其中n是正整数，U0>0，定性讨论能量本征值的分布和相应的本征函数的宇称.用不确定性原理估计基态能量的数量级，并讨论n=1和n→∞两种特殊情况.

3. 在t=0时，处在谐振子势U=kx2/2中的一粒子的波函数是

?(x,0)?Ae-(?x)2/2?cos?H(?x)?sin?H(?x)/22?

02其中β和A是实常数，?2?mk/?2,且厄米多项式归一化条件是

??-?e-?2x2[Hn(?x)]dx??2n?n!/2

2(1) 写出φ(x,t)；

(2) 求在φ(x,t)态中测量粒子的能量的可能值和相对概率； (3) 求t=0时的，并问是否随时间t变化？

4. 考虑一维对称势阱中的粒子，熟知，在这种情形下至少有一个能级.现在在给定势阱深度U0的情况下，减少势阱宽度a是使满足不等式a2<

5. 一粒子的波函数是φ=k(x+y+2z)e-αr，式中r?x2?y2?z2,k和α是实常数，求：

(1) 粒子的角动量是多少？ (2) 角动量z分量的平均值；

(3) 若角动量的z分量Lz被测量，问测得Lz=+ ?的概率是多少？ (4) 发现粒子在θ,φ方向上dΩ立体角内的概率是多少？θ,φ是通常球坐标中的方向角.

六、思考题

1. 量力力学参量与经典物理的力学量有何区别?

2. 经典物理中的理论力学、电动力学、统计力学有哪些主要物理量？

?，p?，i?3. 量子力学的算符概念和H?首先是谁引进的？ ?t

4. 量子力学的基本算符是什么?为什么? 5. 算符的定义是什么?跟数学的算子有何区别? 6. 量子力学算符的基本性质是什么? 7. 算符的对易关系有什么物理意义?为什么? 8. 量子力学算符原理是什么?

9. 量子力学的力学量取值与经典物理力学量有何区别? 10. 为什么说量子力学算符必须是厄米算符?为什么? 11. 为什么说薛定谔定态方程是能量本征方程? 12. 构造算符的基本法则是什么?[包括算符函数] 13. 算符的对易关系算式有哪几个是最重要的? 14. 为什么算符本征值有哪点跟经典力学是不同?

15. 算符本征值在宏观实验测量中有无实验意义?如果没有,那么解算

本征值还有什么意义?

16. 力学量的宏观测量值跟本征值有何联系?为什么? 17. 为什么算符本征值只能单次实验测量?

18. 量子力学算符作用在任意状态上得到的数值是唯一的么? 19. 算符本征函数性质是什么?

20. 为什么本征函数系列可以构造数学函数空间?这个函数空间是完全的么?

21. 同一个状态中的两个算符有什么关系?哪一个是量子力学的特点? 22. 写出你知道的算符表达式?

23. 量子力学力学量的测不准原理是什么?谁发现的?

24. 为什么说测不准原理是量子力学的重大发现? 25. 写出能量与时间的测不准关系,并说明原因。 26. 测不准关系与测不准原因区别在哪里？

27. 为什么测不准关系式中的两个力学量都是平均值？

28. 两个力学量的本征值都是量子化取值，是否存在测不准关系？ 29. 一个能量有确定值的状态，还存在测不准关系么？ 30. 推导测不准原理使用的初等数学方法是什么？

31. 为什么测不准关系用测量精度表示?测量精度的概念是什么? 32. 量子力学的角动量算符定义是什么?

33. 为什么?两个算符存在测不准关系的条件是什么?

34. 什么情况下动量本征值是连续的?方箱中的粒子也是自由运动为

什么是量子化的？

35. 算符本征值量子化产生的条件是什么？

36. 动量和角动量算符的对易关系是什么？两者有无差别？为什

么？

37. 初等量子力学的存在原理是什么？用什么实验验证？ 38. 自旋算符与动量、角动量和能量算符有何区别？ 39. 自旋算符是推导出来的么？为什么？

40. 为什么力学量向经典力学过渡必须计算平均值？

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