概率大数定理

生产灯泡的合格率为0.6，求10000个灯泡中合格灯泡数在5800~6200的概率。 *00001 解：由题意10000个灯泡中合格灯泡数X~B（10000，0.6），再由中心极限定理知X~N（6000，2400），则所求概率为

P{5800?X?6200}??(6200?60002400)??(5800?60002400)??(4.082)??(?4.082)?2?(4.082)?1?1#00002

已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。利用切贝雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。 *00002

解：设每毫升含白细胞X个，则E（X）=7300，σ（X）=700， 由软晓夫不寻式知，所求概率

P{|X?E(x)|?21005?1?8

D(x)21002?1?700210022?89

即所求概率约为9。 #00003

从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽率不低于0.88的概率。（注：?（0.2222）=0.5871，?（2.108）=0.9826） *00003

解：设这批种子发芽率为P?,则1000P?~B(1000,0.9)由中心极限定理得

1000P?~N(900,90)，则所求概率为

P{P??0.88}?P{1000P??880}?1??(880?900)?1??(?2.108)??(2.108)90

#00004

将一枚硬币抛1000次，试利用切贝雪夫不等式估计：在1000次中，出现正面H的次数在400至600次之间的概率。 *00004

解：设出现正面H的次数为X，其中E(X)=500,D(X)=250，则所求概率为

P{|X?500|?100}?1?D(X)1002?1?25010000?0.975即所求概率为0.975。 #00005

设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立，已知每户日用情况（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以0.99的概率保证该地区居民供应电量的需要，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？(?12.33)=0.99，(?(-2.30)=0.01) *00005

解：设1000户居民每天用电X度，则由中心极限定理，X~N（E（X），D（X）），其中E（X）

202

=1000×10=2000，D（X）=12则

P{X?L}??(?1000?100003。再设供应站需供应L度电才能满足条件，

L?2000100000/3)?0.99

L?2000100000/3即 ，则L=2426度。

#00006

已知某种步枪的命中率为0.05，问需要多少枚这样的步枪同时射击，才能以0.8的概率保证目标至少被击中步弹？（?（-0.845）=0.2, ?(0.8)=0.7881） *00006 解：设所求步枪枝数为L，命中弹数为X，则X~B（L，0.05），即X~N（0.05L,0.05×0.95L），

P{X?5}?1??(5?0.05L0.05?0.95L)?0.8?2.33则

?(5?0.05L ??0.8450.05?0.95L0.05?0.95L即 易得：L≥145。 #00007

一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少有89%的部件工作。求系统的可靠度（系统正常运行的概率），（?(3.33)=0.9995，?（0.11）=0.5438） *00007 解：设系统部件正常运行的件数为X，则X~B（10000，0.9），由中心极限定理，知X~N（9000，900），则系统的可靠度为

P?P{X?10000?89%}?P{X?8900})?0.2,则5?0.05L900

#00008

一个系统由几个相互独立的部件组成，每部件损坏的概率为0.1，而且要求至少有87%的比部件工作，才能使系统正常运行，问几至少为多大时，才能保证系统的可靠度系统正常运行的概率达到97.72%？（?（2.0）=0.9772, ?(1.2)=0.8849） *00008

解：设系统部件正常运行的件数为X，则X~B（n，0.9），即X~N（0.9n，0.09n），则 P{X≥87%×n}=97.72% 变即

1??(0.87n?0.9n0.09n)?97.72%?1??(8900?9000)?1??(?3.33)??(3.33)?0.9995

则

?(0.1n)?0.9772

0.1n?2.0， 因而 则n=400。

#00009

某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交800元的保险费。若出事故，保险公司最多赔偿5000元，求保险公司一年赚钱不小于200000元的概率（?（0.579）=0.7190，?(1.737)=0.9591） *00009

解：设X表示500辆汽车出事故的车辆数，则X~B（500，0.006），即X~N（3，2.982），则所求概率为

P{500?800?500?800?50000??200000}?P{0?X?4}?P{0?32.982?X?32.982?4?32.982}

??(12.982)??(?32.982)??(0.579)??(?1.737)?0.7190?0.9591?1?0.7781

#00010

现有一批种子，其中良种占1/6，今从其中任意选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？（?（2.078）=0.9812） *00010

解：设X表示6000粒种子中的良种数，则X~B（6000，1/6），则由拉晋拉斯积分定理，所求概率为

X600016|X?6000?|?0.01}?P{6000?16?1656|}?0.01600016?56P{|???(2.078)??(?2.078)?2?(2.078)?1?0.9624

#00011

设某种集成电路出厂时一级品率为0.7，装配一台仪器需要100只一级品集成电路，问购置多少只才能以99.9%的概率保证装配该仪器时够用？（?(3.090=0.999)） *00011

解：设购置几只，并设X表示几只中非一级品的尺数，则由中心极限定理，得

P{X?n?100}??(??(0.7n?1000.21nn?100?0.3nn?0.3?0.7))?0.999

0.7n?1000.21n查表得 ，即 2

0.49n-141.89n+1000=0 得 n=168（只） #00012

甲、乙两戏院在竞争1000名观众，假定每个观众完全随机地选择一个戏院，且观众之间的选择是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位，才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%？（?(2.33)=0.9901，?(2.32)=0.9898） *00012

1?3.090解：设应该设n个座位，并设观众数为X，则X~B（1000，2）,由中心极限定理，有 P{X>n}<1%，即

n?1000?P{X?n}?1??(12)?1??(n?500)?15111000??22

即

?(n5?100)?99%n

5查表得 ，则n=512。

#00013

某商店负责供应某地区1000人所需商品，其中一商品在一段时间每人需要一件的概率为0.6，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以

?100?2.3399.7%的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。（?(2.75)=0.9970） *00013

解：设应预备n件，并设X表示某地区1000人需要件数，则X~B（1000，0.6），则由中心极限定理得

P{X?n}??(n?1000?0.61000?0.6?0.4)??(n?600240)?99.7%

n?600

240则 ，得n=643（件）。

#00014

某单位有200架电话分机，每架分机有5%的时间要使用外线通话，假定每架分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线才能以90%以上的概率保证分机使用外线时不善待。（?（1.28）=0.9997，（?(1.29)=0.9015） *00014

解：设安装n条外线，并设使用外线数为X，则X~（200，5%），则由中心极限定理，知

P{X?n}??(n?200?5 0?5%?95%)??(n?109.5)?90%?2.75

n?10?1.28

查表得，9.5，得n=14。 #00015

一批种子中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与1/6相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？ *00015

1解：设X表示6000粒种子中的良种数，则X~B（6000，6），根据题意及中心极限定理，

1设良种比例与6相差q为所求，则

??1?|X?6000?|?X1q?6000??6P{?}?P???600061515?6000?????6666?????(207.8q)??(?207.8q)?2?(207.8q)?1?0.99,

则 ?（207.8q）=0.995，

查表得 207.8q=2.5，得q=0.0124。 则所求范围为： |X-1000|<0.0124×6000 得 X∈(925,1075)。 #00016

某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修，常需停车，设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1kw，问应供应该车间多少瓦电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。（?(3.1)=0.999） *00016

解：设应供应m瓦电力，并设X表示200台车床正在工作数，则X~B（200,0.6）

P{X?m}?P{??(??((?12048?X?12048?m?12048}m?1206.928m?1206.928m?1206.928)??(?17.32))?0.999)?0.999

则 ，因而m=142（瓦） #00017

某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，假设各台机器工作是相互独立，试求机器出故障的台数不少于2的概率。（?(2.14)=0.9838, ?(2.15)=0.9842）。 *00017

解：设机器出故障的台数为X，则X~B（400，0.02），由中心极限定理，有

P{X?2}?1?P{X?2}?1?P{x?82.8?2.82.8}?1??(?2.1429)?0.9842

#00018

设有1000人独立行动，每5人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9。以95%概率估计，在一次行动中，至少有多少人能够进入掩蔽体。（?(1.64)=0.9495, ?(1.65)=0.9505） *00018

解：设X表示1000人进入掩蔽体的人数，则X~B（1000，0.9）并设所有人数为m，则由中心极限定理，有

90

m?900m?900?()?0.05,则??1.659090即 则m≈884

#00019

一大批产品中优质品占一半，每次抽取一件，看后放回再抽，问在100次抽取中取到优质品的次数不超过45的概率约等于多少？（?(1)=0.841） *00019

解：设100次抽得优质品数为X，则X~B（100，0.5）。由中心极限定理，所求概率为

P{X?m}?1??(m?1000?0.9)?0.95

100?0.5?0.5 #00020

一加法器同时收到20个噪声电压Vk,k=1,2,…，20，设它们是相互独立的随机变量，助教最

20P{x?45}?(45?100?0.5)??(?1)?1?0.841?0.159V?大（0，10）上服从均匀分布。记?(0.39)=0.6517）。 *00020

?k?1Vk，求P{v>105}，（?（0.38）=0.6480,

100解：显然，E（V）=20E（Vk）=20×5=100,D(V)=20125003），则

?5003,由中心极限定理，V~N（100，

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