中考数学竞赛讲座及练习 第14讲 面积问题

第十四讲 面积问题

我们已经学过的面积公式有： (1)S三角形

1

aha（其中ha表示a边上的高） 2

(2)S平行四边形=ah（其中h表示a边上的高）． (3)S梯形

1

(a b)h（其中a，b表示梯形中，两条平行边的长，h表示平行边之间的距离）． 2

由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础．

等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形．

等积变形是指保持面积不变的多边形的变形．

三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实： (1)等底等高的两个三角形面积相等．

(2)两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比． (3)两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比． (4)两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．

例1 已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha=4，hb=5，hc=3． 求a∶b∶c．

说明 同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，由此获得三边之比． 例2 如图1－51，

ABCD的面积为64平方厘米(cm)，E，F分别为AB，AD的中点，求△CEF的面积．

2

说明 (1) E，F是所在边的中点启发我们添加辅助线BD，DE．

(2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是由平行四边形对边相等及平行线间的距离处处相等，从而这两个三角形的底、高相等获知的．

例3 如图1-52所示，已知 ABC的面积为1，且BD

111

DC,AF FD,CE EF,求222

DEFDE 面积。

例4 用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．

说明 (1)从证题过程看出，条件“E，F是所在边的中点”可以推广为“

S CBES BCFBES CBECFS BCFBECF AEAF

”等，事实上，则 , 或

BACA ABAC BAS CABCAS BCAS CABS BCA

从而 S△cBE=S△bCF．

这两个三角形同底BC，因此，它们的顶点E，F的连线与底边平行．

(2)同样用面积的方法可以证明如下事实：三角形ABC中，若EF∥BC且AE∶EB=m，则AF∶FC=m(请同学们自己证明)．

例5 如图1－54．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD∶DC=2∶3，BD与CE交于F， S△ABC=40，求SAEFD．

说明 在三角形中，利用平行线实行比的转移，再利用等积变形，得到相应的面积的比，从而将欲求的△DEF的面积与已知的△ABC的面积“挂上了钩”．这里取AD的中点G，得到BD的平行线EG是关键．

例6 如图1-55所示．E，F分别是

ABCD的边AD，AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于O．求

证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．

说明(1)△BCE与△CDF是两个形状及位置完全不同的三角形，它们面积相等正是通过等积变形——都等于同一平行四边形的面积之半．

(2)通过等积变形可以证明线段的相等．

练习十四

1．如图1－56所示．在△ABC中，EF∥BC，且AE∶EB=m，求证：AF∶FC=m．

2．如图 1－57所示．在梯形 ABCD中， AB∥CD．若△DCE的面积是△DCB的面积的△DCE的面积是△ABD的面积的几分之几？

1

，问：4

3．如图1－58所示．已知P为△ABC内一点，AP，BP，CP分别与对边交于D，E，F，把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．

4．如图1－59所示．P为△ABC内任意一点，三边a，b，c的高分别为ha，hb，hc，且P到a，b，c的距离分别为ta，tb，tc．

求证：

t

atbtc

1 hahbhc

5．如图1－60所示．在梯形ABCD中，两腰BA，CD的延长线相交于O，OE∥DB，OF∥AC且分别交直线BC于E，F．求证：BE=CF．

6．如图1－61所示．P是△ABC的AC边的中点，PQ⊥AC交AB延长线于Q，BR⊥AC于R．

求证：S ARQ

1

S ABC2

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