2012全国大学生数学建模竞赛A题（葡萄酒评价）

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 孟 壮 2. 瞿 琦 3. 朱超 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 谭远顺

10 日期： 2012 年 9 月 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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葡萄酒的评价

摘要

本文主要用数学建模的方法解决关于葡萄酒评价的一些问题。结合题目所给信息以及查阅大量资料，对题目所提问题做了相应解答，并验证了相关模型建立及求解的合理性。

针对问题一：

首先，我们运用Excel数据分析和SPSS软件数据分析工具，分别建立了配对样本T检验模型和单因素方差分析模型，分析了两组评酒员的评价结果是否具有显著性差异。两种方法得出的结果一致：两组评酒员的评价结果有显著性差异。

然后，通过建立权重模型，分别对评酒员与评酒员群体评价之间的“分值偏差”和“排序偏差”两方面考察，得出第二组结果可信。

针对问题二：

首先，我们运用因子分析法，建立了相关模型，分析出每种葡萄样品的主成份，并根据主成份的方差贡献率的大小给出每种葡萄的理化指标得分。

然后，结合问题一中的质量评价结果对葡萄的品质进行量化并分级，分级结果见相关模型的求解。

最后，对葡萄的两个得分取适量的权值，获得综合得分。 针对问题三：

由于酿酒葡萄和葡萄酒各自的理化指标不能相互对应，所以分两者能对应和两者不能对应两部分进行分析。我们运用二元定距变量的相关分析法和作图分析法以及

Matlab拟合法，分别对酿酒葡萄和葡萄酒各自的理化指标不能相互对应和不相互对

应的部分进行求解，得出结论（见正文）。并通过模型检验可知方法合理。

针对问题四：

分析葡萄的理化指标对葡萄酒质量的影响，我们建立了一元线性回归模型，分析葡萄理化指标对葡萄酒质量的影响，建立了多元线性回归模型，所得结果具体见模型。根据以上结果，不能用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。

关键字：因子分析 主成份 线性相关 线性回归 SPSS软件

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1.问题重述

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1.分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，并判断哪一组结果更可信。

2.根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3.分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4.分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。

2.问题分析

葡萄酒是用新鲜的葡萄或葡萄汁经发酵酿成的酒精饮料。通常分红葡萄酒和白葡

萄酒两种。前者是红葡萄带皮浸渍发酵而成；后者是葡萄汁发酵而成的。随着人们生活水平的提高，人们对葡萄酒的品质更加关注，酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。本文将根据题目所给信息并且查阅大量相关资料对各个问题进行分析讨论。具体分析过程如下： 问题一：

首先对附件1中的数据进行初步处理，剔除粗差，淘汰个别错误数据。然后分别计算两组评酒员对各个酒样品的评分，并求各评酒员对同一种酒的评分的平均值，得到四组数据，即一、二组评酒员对红葡萄酒的评分和对白葡萄酒的评分。运用Excel 数据分析法对上述数据进行单因素方差分析，为使结论更加可靠，再运用SPSS软件

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对上述数据进行配对样本T检验，将两者结果进行对比得出最终结论。然后通过对评酒员与评酒员群体评价意见之间的“分值偏差”和“排序偏差”两方面的考察，将评酒员的多次评论表现进行量化排序，两组中排名靠前的评酒员越多说明该组评价结果更可信。 问题二：

酿酒葡萄的分级主要依据酿酒葡萄的理化指标和用其酿造的葡萄酒质量，对其理化指标和酿造的酒的质量分别打分，先整体上对酿酒葡萄样品的各项指标进行因子分析，用SPSS软件实现分析过程，确定影响酿酒葡萄品质的主成份，根据主成份对酿酒葡萄品质的贡献率对其主成份进行排序，再逐样分析葡萄样品的理化指标，确定每个葡萄样品中含量最多的主成份在上述排序中的序列，并据此给出酿酒葡萄的指标得分。然后结合问题一的结论，可得质量得分。然后将两部分得分按照一定权重相加得到酿酒葡萄的综合得分，再将该得分按照一定分数段进行分级，即可得到酿酒葡萄的分级。 问题三：

题目要求分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，但是我们通过对葡萄和葡萄酒各自的理化指标种类的统计，发现两者指标数目不同，所以两者不能完全对应分析，因此分两部分进行分析。首先，对于酿酒葡萄和葡萄酒各自的理化指标不能相互对应的部分，由于第二问中已求得的能够代表、反映葡萄各项指标的几个主成份，如果能够求得几个主成份分别与葡萄酒的理化指标之间的联系，那么就能得到酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系。因此我们通过选用二元定距变量的相关分析求得两者的相关系数来解释他们的联系；其次，对于酿酒葡萄与葡萄酒各自的理化指标能够对应的理化指标，通过作图分析各样本值，发现他们存在一定线性关系，可以通过

Matlab拟合函数来拟合出他们的线性关系，最后对这些指标提出特别讨论。

问题四：

首先，本小题要求分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，而酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标不是完全相同的，若是把两者放在一块来研究对葡萄酒质量的影响，会使解题显得繁琐，数据类别太多；故选择分别研究酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。借助第三问的思想，联系也可以等同于影响，这就将本题转化为求相关性的问题了。

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其次，对于酿酒葡萄对葡萄酒质量的影响，可以用第一问中对葡萄分级的得分来表示葡萄自身的好坏，然后用一元线性回归的思想建模，用SPSS软件分析两者关系，根据判断系数R2验证能否用葡萄等级来评价葡萄质量。

最后，用类似的方法对葡萄酒理化指标讨论，但由于葡萄酒的指标不只一个，故应采用多元线性回归分析，得出相应结论。

3.模型的假设

1.假设各组评酒员给出的评价不存在造假现象； 2.假设题目所给数据真实客观；

3.假设葡萄酒的理化指标不在短时间内发生重大变化。

4.符号说明

符号 Mi符号意义 一组所有评酒员对同一酒样品的平均评分 二组所有评酒员对同一酒样品的平均评分 第i个评酒员对同一酒类酒样品Aj的评分 该组所有评酒员群体对两种酒的综合评分结果 Ni di?Aj? D?A? 注：部分符号具体见各模型。 5.模型的建立和求解 一．问题一模型的建立与求解： 1.评价结果显著性差异分析 我们采取了两钟方法对各组评价结果进行分析： （1）配对样本T检验模型 配对的概念是指两个样本的各样本值之间存在着对应关系，两组评酒员对各酒样品的评价存在对应关系，且两个样本的容量相同。配对的样本需要检验两个总体均值

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是否存在显著性差异，其原假设为H0:?显著性差异。

?0，H1:??O，即原假设为总体均值存在

设?M1,N1?,?M2,N2?,?,?Mn,Nn?为配对样本，即一、二组每位评酒员对红、白葡萄酒的各酒样品的评分均值，差值bi?Mi?Ni,i?1,2,?,n。在原假设成立的条件

下，差值来自总体b的均值为零，配对样本T检验使用t统计量，构造的t统计量为：

t?b???1??2?Sn （1） 当?1-?2=0时，t统计量服从自由度为n?1的t分布。用SPSS软件将检验值?0代入t统计量，利用原假设和样本数据计算t统计量及根据t分布的分布函数计算出概率p值，其结果如下：

表格 1.1 两种葡萄酒评分配对T检验结果 成对样本检验 成对差分 差分的 95% 置信均值的标区间 均值 标准差 准误 t 下限 上限 26 df Sig.(双侧) 0.020 VAR00013 2.56296 5.37424 1.03427 0.43699 4.68894 2.478 VAR00014 从结果表格3中可以看出，相伴概率p=0.02，比显著性水平0.05要小，拒绝T检验的零假设，即H1:??O成立，两组评酒员的评价结果具有显著性差异。 （2）单因素方差分析模型 单因素方差分析也称一维方差分析，是检验由单一因素影响的多组样本某因变量的均值是否有显著性差异的问题。如果各组之间有显著性差异，说明这个因素对因变量是有显著影响的，因素的不同水平会影响到因变量的取值。分别计算两组评酒员对各酒样品的评分，并求各评酒员对同一种酒的评分的平均值，得到四组数据，即一、二组评酒员对红葡萄酒的评分和对白葡萄酒的评分。将上述数据带入Excel数据分析工具进行单因素方差分析，得到结果如下： 5

表格 1.2 红葡萄酒评分单因素方差分析结果

表格 1.3 白葡萄酒评分单因素方差分析结

组 53.9 观测数 求和 平均 方差 26 1918.6 1842.3 73.79231 40.82 70.857 13.156 组 63.3 观测数 27 求和 平均 方差 19.391 7.041 2009 74.407 2075.6 76.874 61.6 26 67.3 27 差异源 组SS df MS 111.955 F P 差异源 组间 SS 82.14 df MS 82.14 F 6.215 P 111.间 955 1 4.147 0.04 1 0.015 其中，对Excel数据分析工具得到的部分与分析目的无关的数据略去，表格1、2中p表示置信区间，当p?0.05时，说明两组数据具有显著性差异。红葡萄酒评分单因素方差分析结果中p=0.04，白葡萄酒评分单因素方差分析结果中p=0.015，得出结论：两组评酒员对红葡萄酒评分和白葡萄酒评分的结果具有显著性差异。 以上两种不同方法结果都表明两组评酒员的评价结果具有显著性差异，由此得出结论：两组评酒员评价结果具有显著性差异。 2.两组评酒员评分结果可信性分析 假定某多属性评价活动，由n个评酒员E1,E2,?,En组成评酒员群体??E?,对酒样品集??A?中的m个评价对象A1,A2,?,Am进行多属性评价。评酒员个体按给定的属性体系给出各属性下的评价意见后，先按多属性决策理论的常用方法得出评酒员Ei对同种酒的酒样品Aj的综合评价结果di?Aj?,再根据每个评酒员的评价结果。 di?Aj?进行综合形成评酒员群体的评价结果D?A?

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评酒员个体对各评价对象的评价结果可用一下矩阵表示： ?d1?A1??d2?A1??D?A??????dn?A1??d1?A2?d2?A2??dn?A1?????d1?Am???d2?Am?????dn?Am??? （2） 式中：di?Aj?为专家评酒员Ei对酒样品Ai给出的多属性综合评价结果。按照多属性群决策理论的有关方法，得出评酒员群体的评价意见： D?A???D?A1?,D?A2?,?,D?Am?? （3） 记评酒员个体对各酒样品的分值序为xi?Aj?，评酒员群体对各酒样品的分值序为X?A?，从评酒员E与评酒员群体评价意见之间的“分值偏差”?和“排序偏差”?ji0i1i两方面考察其可信性。记评酒员Ei与评酒员群体评价意见之间的“分值偏差”?0i为 ?0i?1mm?j?1di?Aj??D?Aj?D?Aj? （4） 评酒员Ei与评酒员群体评价意见之间的“排序偏差”?1i为 ?1i取 p1i?1??1i p0i?1??0i?1mm?j?1xi?Aj??Xm?1?A?j （5） 并定义评酒员的可信性测度为： pi 式中：????p1i??p0i （6） ?0，??0，?+?=1。?表示对最终分值的关注度，综合考虑取值0.4；表示排序的关注度，取值0.6。 代入评价结果，得到可信性测度结果如下： 表格 1.4 两组评酒员可信性测度表

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排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 评酒员 16 17 20 19 11 12 1 18 13 4 15 14 10 7 6 8 2 9 3 5 P 0.85 0.84 0.84 0.84 0.84 0.84 0.83 0.83 0.83 0.83 0.82 0.82 0.81 0.81 0.8 0.8 0.8 0.8 0.79 0.78 其中，表格4中评酒员11?20是来自第二组的评酒员。从上述表格中可以看出，第二组评酒员在可信测度排名前十位中占了8位，可信测度的总体水平远高于第一组，说明第二组的评价结果更可信。 二．问题二模型的建立与求解 酿酒葡萄的分级主要依据酿酒葡萄的理化指标和用其酿造的葡萄酒质量，为解决酿酒葡萄的分级问题，我们对其理化指标和酿造的酒的质量分别打分，叫做指标得分和质量得分，将两部分得分按照一定权重相加得到酿酒葡萄的综合得分，将该得分按照一定分数间隔进行分级，即可得到酿酒葡萄的分级。 （1）求解指标得分 先整体上对酿酒葡萄样品的各项指标进行因子分析，用SPSS软件实现分析过程，确定影响酿酒葡萄品质的主成份，根据主成份对酿酒葡萄品质的贡献率对其主成份进行排序。再逐样分析葡萄样品的理化指标，确定每个葡萄样品中含量最多的主成份在上述排序中的序列，并据此给出酿酒葡萄的指标得分。 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子，以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。具体模型及求解如下： ?x1?a11F1?a12F2???a1mFm?a1?1??x2?a21F1?a22F2???a2mFm?a2?2????xp?ap1F1?ap2F2???apmFm?ap?p? （7） x1,x2,?,xp为p个原有变量，F1,F2,F3,?,Fm为m个因子变量，m小于p， 其中，表示成矩阵形式为： X?AF??? （8） 8

其中F为因子变量或公共因子，A为因子载荷矩阵，aij为因子载荷，是第i个原有变量在第j个因子变量上的负荷。 公共因子Fj的方差贡献定义为因子载荷矩阵A中第j列各元素的平方和，即： p Sj??i?1aij2 （9） 公共因子Fj的方差贡献反映了该因子对所有原始变量总方差的解释能力，其值越高说明因子重要程度越高。 主成份分析把p个原有变量x1,x2,?,xp的总方差分解为p个独立的变量y1,y2,?,yp的方差之和，那么： p ?k??k/?? （10） kk?1 就称为第k个主成份yk的方差贡献率。第一主成份贡献率最大，这表明y1综合原始变量的能力最强，而y1,y2,?,yp综合原始变量的能力依次减弱。如果只取其中m个主成份?m?p?，那么： mpk ?m???k?1?? （11） kk?1是这m个主成份的累积贡献率，累积贡献率表明这y1,y2,?,ym 综合x1,x2,?,xp的能力。通常取m使得累积贡献率达到一个较高的百分比。 将红葡萄样品和白葡萄样品各项理化指标数据分别带入上述模型，求解两次，即可得到红葡萄样品和白葡萄样品各自的指标得分。特别说明，在本模型求解中，将葡萄样品的所有的芳香物质归纳为芳香物质一类。用SPSS软件求解，红葡萄的理化指标因子分析后得到红葡萄样本的主成份，并根据其主成份的方差贡献率对主成份排序，具体结果如下表： 表格 2.1 红葡萄样品主成份及其排序 主成份

1 2 3 9

4 5 6 7

序列 主成份 主成份序列 主成份 再逐样分析葡萄样品的理化指标，确定每个葡萄样品中含量最多的主成份在上述排序中的序列，据此给出酿酒葡萄的指标得分，并将指标得分转换成百分制，各红葡萄样品的主成份排序及指标得分结果如表格6： 表格 2.2 红葡萄样品主成份序列及指标得分 花色苷 8 酪氨酸 缬氨酸 9 百粒质量 干物质含量 10 果皮质量 顺式白藜芦醇苷 11 多酚氧化酶活力 PH值 12 VC含量 多酚氧化酶活力 13 芳香物质 果梗比 红葡萄1 2 样品号 主成份4 7 排序 指标得26.6 46.6 分 红葡萄10 11 样品号 主成份10 5 排序 指标得66.6 33.3 分 红葡萄19 20 样品号 主成份12 2 排序 指标得80 13.3 分 （2）求解质量得分 3 3 20 12 3 20 21 9 60 4 12 80 13 6 40 22 2 13.3 5 9 60 14 13 6 3 20 15 13 7 13 86.6 16 11 8 6 40 17 11 9 1 6.6 18 3 20 27 11 86.6 86.6 73.3 73.3 23 1 6.6 24 12 80 25 12 80 26 7 46.6 73.3 问题一中已论证二组评酒员的评价结果可信，所以红葡萄酒的质量直接参考二组评酒员的评价结果，得到每种红葡萄样品酿制的红葡萄酒的质量如下： 表格 2.3 红葡萄样品酿制得红葡萄酒的质量

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红葡萄样品号 1 2 74 11 61.6 20 75.8 3 74.6 12 68.3 21 72.2 4 71.2 13 68.8 22 71.6 5 72.1 14 72.6 23 77.1 6 66.3 15 65.7 24 71.5 7 65.3 16 69.9 25 68.2 8 66 17 74.5 26 72 9 78.2 18 65.4 27 71.5 质量得分 68.1 红葡萄样品号 10 质量得分 68.8 红葡萄样品号 19 质量得分 72.6 提取表格6和表格7中红葡萄样品的指标得分和质量得分，计算酿酒红葡萄的综合得分，酿酒葡萄的理化指标和其酿造的葡萄酒的质量都对葡萄的综合评价很重要，指标得分和质量得分的权重都取0.5，得到红葡萄的综合得分，再将综合评分按降序排列，计算相邻样品分差值，结果如下表： 葡萄样品号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

表格 2.4 葡萄样品综合得分及其分差值 综合得分 分数排序 对应样品号 74.1 89.1 9 67.0 88.6 23 80.6 84.6 20 48.9 82.5 22 59.4 80.6 3 76.5 77.5 12 42.7 76.5 6 66.3 76.0 18 89.1 74.1 1 54.4 67.7 13 67.5 67.5 11 77.5 67.0 2 67.7 66.3 8 46.3 66.0 26 42.9 59.4 21 51.6 59.4 5 53.9 54.4 10 76.0 53.9 17 49.6 52.4 27 84.6 51.6 16 11

样品分差值 0.5 4.0 2.1 1.8 3.2 1.0 0.5 2.0 6.3 0.3 0.5 0.7 0.3 6.6 0.1 5.0 0.5 1.5 0.8

21 22 23 24 25 26 27 59.4 82.5 88.6 49.1 47.4 66.0 52.4 49.6 49.1 48.9 47.4 46.3 42.9 42.7 19 24 4 25 14 15 7 2.0 0.5 0.1 1.5 1.1 3.5 0.2 对综合得分相邻样品分差值进行分析，当其值达到4.0及以上，认为两酿酒葡萄的品质差异较大，不能分在同一级，按照此方法，红葡萄可分成五级，一级到五级表示葡萄品质逐渐降低，具体情况如下表： 级数 一级 二级 三级 四级 五级 本模型中主要以红葡萄样品的相关数据进行分级，按照同样的方法将白葡萄的相关数据代入，求得白葡萄分级如下： 级数 一级 二级 三级 四级 五级 三．问题三模型的建立与求解 题目要求分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，通过对葡萄和葡萄酒分别的理化指标种类的统计，发现两者指标数目不同，所以分两部分进行分析。 首先，对于酿酒葡萄和葡萄酒各自的理化指标不能相互对应的部分，由于第二问中已求得的能够代表、反映葡萄各项指标的几个主成份，如果能够求得几个主成份分

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表格 2.5 红葡萄分级结果 红葡萄样品号 9 23 1 3 6 12 18 20 22 2 8 11 13 26 5 21 4 7 10 15 16 17 19 24 25 27 表格 2.6 白葡萄分级结果 白葡萄样品号 27 1 4 10 15 18 22 23 28 5 6 12 13 17 20 2 3 14 16 21 24 25 7 8 9 11 19

别与葡萄酒的理化指标之间的联系，那么就能得到酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系。因此我们通过选用二元定距变量的相关分析求得两者的相关系数来解释他们的联系。 其次，其次，对于酿酒葡萄与葡萄酒各自的理化指标能够对应的理化指标，通过作图分析各样本值，发现他们存在一定线性关系，可以通过Matlab拟合函数来拟合出他们的线性关系，最后对这些指标提出特别讨论。 1.酿酒葡萄主成份与葡萄酒理化指标相关性模型的建立与求解 a）模型的建立 相关分析用于描述两个变量之间关系的密切程度，反映的是当控制了其中一个变量时，另一个变量的变异程度。Pearson相关系数用来度量定距型变量间的线性关系。Pearson相关系数可以直接根据观察值计算，其公式恰好是矩阵的乘积形式。 Pearson相关系数的计算公式为： n r?(x?i?1ni?x)(yi?y) （12） ?x)(yi?y)22?(xi?1i 式中： n: 样本总数 xi：酿酒葡萄主成份值 yi：葡萄酒理化指标值 x：酿酒葡萄主成份均值 y：葡萄酒理化指标均值 对上式进行演变得到简单相关系数，即： r?式中： Sx：酿酒葡萄主成份的样本总和 Sy：葡萄酒理化指标的样本总和

13

1nn?i?1?xi?x??yi?y??????S?Sxy???? （13）

r值即为相应的相关系数，r越大则相关度越高，反之越小。 Pearson相关系数的检验统计量为t统计量，t统计量的定义为： t?rn?21?r2 （14） 其中，t统计量服从自由度为n?2的t分布。 b）模型的求解 (1)红葡萄主成份与红葡萄酒理化指标的相关系数 将红葡萄主成份得分作为变量x，红葡萄酒的理化指标作为变量y，带入SPSS软件进行相关性分析，可得到相关系数表： 表格 3.1 红葡萄与红葡萄酒理化指标相关系数 H H H H H H 葡萄主成分 0.49 -0.23 0.05 0.65 -0.26 0.30 花色苷 单宁 0.72 -0.08 0.31 0.22 -0.14 0.37 0.84 -0.03 0.17 0.29 -0.10 0.20 总酚 0.82 -0.07 0.16 0.17 -0.11 0.09 酒总黄酮 白藜芦醇 0.58 0.12 0.07 -0.16 -0.10 -0.03 DPPH半抑制体积 0.83 -0.02 0.26 0.16 -0.10 0.20 -0.66 0.19 -0.09 -0.27 0.44 -0.28 L? a? -0.10 -0.01 -0.23 -0.53 -0.55 -0.02 b? 0.00 0.15 0.51 -0.47 -0.08 0.07 -0.06 -0.21 -0.66 0.16 -0.32 -0.05 H C -0.11 0.02 -0.11 -0.60 -0.48 0.00 0.14 0.18 0.15 0.21 -0.37 -0.43 芬香物质 H H H H H 葡萄主成分 0.01 0.14 -0.12 -0.04 -0.05 花色苷 0.09 0.10 0.08 0.10 -0.04 单宁 0.04 0.08 -0.05 0.04 0.07 总酚 0.12 -0.14 -0.08 0.02 -0.03 酒总黄酮 -0.01 -0.15 0.06 -0.13 0.43 白藜芦醇 -0.01 0.00 0.06 0.08 DPPH半抑制体积 0.04 -0.05 -0.20 0.06 -0.02 -0.14 L? 0.02 -0.02 -0.02 0.07 0.24 a? 0.05 0.15 -0.18 0.03 0.37 b? 0.08 -0.15 0.33 -0.02 -0.19 H 0.04 0.02 -0.04 0.07 0.31 C 0.03 -0.16 -0.14 0.20 -0.03 芬香物质 1246H7 0.18 0.07 0.03 0.16 -0.19 0.02 -0.16 -0.31 0.05 -0.29 -0.28 -0.12 H13 89101112-0.07 -0.12 -0.13 -0.04 -0.13 -0.08 0.06 0.00 -0.01 0.00 0.00 -0.32 14

经过统计得到红酿酒葡萄与红葡萄酒理化指标之间的联系，按对影想程度大小依次排序为： 表格3.2 红酿酒葡萄主成份与红葡萄酒理化指标正相关 正相关 H H H H H H H 花色苷 H H H H H H H 单宁 H H H H H H H 总酚 H H H H H H H 酒总黄酮 H H H H H 白藜芦醇 H H H H H H H DPPH半抑制体积 H H H H L? H H H H a? H H H H H H H b? H H H H H H H H H H H H C H H H H H H 芬香物质 表格3.3 红酿酒葡萄主成份与红葡萄酒理化指标负相关 负相关 H H H H H H 花色苷 H H H H 单宁 H H H H 总酚 H H H H H H 酒总黄酮 H H H H H H H白藜芦醇 H H H H DPPH半抑制体积 H H H H H H HL? HH H H H H H a? H H H H b? HH H H H H H1 H H H H H H H C H H HH H H H 芬香物质 4167938 H10H11 H7H71634911814639128 14738611 H7 H101122310136412118 5210131211813 H1131229687 H 110481312118926134112318 1112131025122513210513121321059 486513119 H792135118312794HH6269101374 H H 15135104 H511691227 H3 91037541271091356 (2)白酿酒葡萄主成份与白葡萄酒理化指标的相关系数 重复（1）中步骤，得到结果如下： 表格 3.4 白酿酒葡萄主成份与白葡萄酒理化指标正相关 正相关 单宁

B1 B2 B7 B10 B9 B8 B15 B14 B13 B5 15

总酚 酒总黄酮 白藜芦醇 DPPH半抑制体积 B2B2 B1 B12 B3 B2B7B7B10 B1 B6B3 B7 B15 B13 B14 B10 B3 B14 B5 B11 B2 B9B11 B9B5 B1 B5 B12 B3 B1 B3 B1 B8 B7 B14 B10 B15 B4L? B14 B12 B11 B15 B2B6B4B6B8 B5 B4B10 B6 a? b? HC B1 B1 B13 B9B11 B10 B9 B13 B6 B8 B15 B11 B3 B1 B3 B12 B7B8 B4 B15 B13 B8 芬香物质 B12 B11 B10 B15 B14 表格3.5 白酿酒葡萄主成份与白葡萄酒理化指标负相关 负相关 单宁 总酚 酒总黄酮 白藜芦醇 DPPH半抑制体积 B8 B6B6B7 B11 B4 B12 B8 B12 B7 B4 B14 B9B4 B5 B12 B11 B4B5 B6 B13 B15 B8 B11 B9B14 B8 B2B6B4B15 B1 B10 B13 B3 B13 B2 B9 B12 B3 L? B9 B1 B9B13 B6B8 a? b? B15 B4B2B2B13 B3 B5 B10 B14 B12 B7B5 B10 B916

H

B8 B14 B11 B15

C B11 B2B9 B10 B14 B12 B7B11 B4 B5 B7 芬香物质 B2 B5 B6 2.部分能对应的理化指标分析 (1).红酿酒葡萄与红葡萄酒的对应理化指标 对花色苷分析： 根据样本数据作出酿酒葡萄与葡萄酒的花色苷含量的散点曲线图： 图 3.1 酿酒葡萄与葡萄酒的花色苷含量的散点曲线图 120010008006004002000051015202530酿酒葡萄葡萄酒 从上图中不难发现酿酒葡萄的花色苷含量与葡萄酒中的花色苷含量有一定线性关系。接着对剩下的几个指标用同样的方法观察分析，发现部分指标也存在类似的关系。对它们进行定量和定性分析后，最突出的还是花色苷，故得出结论：葡萄酒花色苷含量近似等于酿酒葡萄花色苷含量的2.3倍 四．问题四模型的建立与求解 首先，本小题要求分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，而酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标不是完全相同的，若是把两者放在一块来研究对葡萄酒质量的影响，会使解题显得繁琐，数据类别太多；故选择分别研究酿酒葡萄和葡 17

萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。借助第三问的思想，联系也可以等同于影响，这就将本题转化为求相关性的问题了。

其次，对于酿酒葡萄对葡萄酒质量的影响，可以用第一问中对葡萄分级的得分来表示葡萄自身的好坏，然后用一元线性回归的思想建模，用SPSS软件分析两者关系，根据判断系数R2验证能否用葡萄等级来评价葡萄质量。

最后，用类似的方法对葡萄酒理化指标讨论，但由于葡萄酒的指标不只一个，故应采用多元线性回归分析，得出相应结论。 (1)葡萄等级对葡萄酒质量的影响 a)模型的建立

一元线性回归分析只涉及一个自变量的回归问题。设有两个变量x和y，变量y的取值随变量x取值的变化而变化，则称y为因变量，x为自变量。

设现有若干组观察数据，记为(xi,yi)(i?1,2,......,n)。将这n组数据绘成散点图，

经过分析，可以用大致看出它们之间的关系形态。

对具有线性相关关系的两个变量，可以用直线方程来表示它们之间的关系，即：

y??0??1x?? （15）

式中：

?0：回归常数

?1：回归系数

?：随机扰动项，通常?满足E(?)?0,var(?)??2

b)模型的求解

将红白两种葡萄等级分数数据以及葡萄酒质量得分分别放入两个变量x，y中，用SPSS软件分析得到如下结果：

表格4.1 红葡萄 模型汇总b 更改统计量 调整 R 标准 估Durbin-Wat模型 R R 方 R 方更F 更Sig. F 方 计的误差 son df1 df2 改 改 更改 1 .307a .094 .058 14.21052 .094 2.606 1 25 .119 2.182 18

模型汇总b 更改统计量 调整 R 标准 估Durbin-Wat模型 R R 方 R 方更F 更Sig. F 方 计的误差 son df1 df2 改 改 更改 1 .307a .094 .058 14.21052 .094 2.606 1 25 .119 2.182 a. 预测变量: (常量), VAR00078。 b. 因变量: VAR00077

由表可以看出R2较小，两变量的线性关系较弱，故无法用红葡萄来评价红葡萄酒的质量。

表格4.2 白葡萄

模型汇总b 更改统计量 模R 调整 R 标准 估计的Durbin-WaR R 方更F 更dfdfSig. F 型 方 方 误差 tson 改 改 1 2 更改 .32.103.011 .069 3.05883 .104 1 26 .094 2.293 2a 4 5 a. 预测变量: (常量), VAR00079。 b. 因变量: VAR00080 同理可得出结论：无法用白葡萄来评价白葡萄酒的质量。

(2).葡萄酒理化指标对葡萄酒质量的影响 a)模型的建立

多元线性回归模型是指含有多个解释变量的线性回归模型，建立模型如下：

y????0??1x1??2x2????pxp （16）

上式中，y表示因变量；x1,x2,?,xp表示一般变量。

b)模型的求解

将葡萄酒理化指标含量分别放入变量x1,x2...xn中，仿照(1)中的步骤，用SPSS软件对这些变量，因变量进行多元线性回归分析，输出如下结果：

表格4.3 红葡萄酒 更改统计量 标准 估调整 计的误R 方F 更Sig. F 模型 R R 方 R 方 差 更改 改 df1 df2 更改 Durbin-Watson 1 .822 .676 .438 2.98178 .676 2.843 11 15 .031 2.333

19

表格4.4 红葡萄酒理化指标与葡萄酒质量的相关系数 花色酒总黄白藜芦DPPH半抑制体理化指标 单宁 总酚 L a b 苷 酮 醇 积 质量 .153 .486 .493 .518 .511

.550 H C -.454 .186 .245 -.119 .198 表格4.5 白葡萄酒 更改统计量 模调整 R 标准 估计的R R 方 R 方更F 更Sig. F 更Durbin-Watson 型 方 误差 df1 df2 改 改 改 1 .393 .154 -.268 3.57132 0.154 0.365 9 18 0.937 2.190

表格4.6白葡萄酒理化指标与葡萄酒质量的相关系数 理化指酒总黄DPPH半抑单宁 总酚 白藜芦醇 L a b H C 标 酮 制体积 质量 0.106 .065 -0.194 -0.164 0.191 -0.170 -0.135 0.17 0.07 0.17 综合四个表格，相应的R2都比较小，故无法用葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。

6.模型的检验与评价

一、模型的检验

1.我们用了两种不同方法对评分结果进行显著性差异分析，两种方法的结论相同，都表明两组评酒员的评价结果具有显著性差异，证明了模型的可靠性。对评价可信性的求解，从评酒员与评酒员群体评价意见之间的“分值偏差”和“排序偏差”两方面考察，体现的个体服从于整体的逻辑关系，非常符合实际。

2.对酿酒葡萄的分级从其自身的理化指标和用其酿造的葡萄酒质量出发，降低了因为酿造工艺而使好葡萄酿不出好酒的情况出现时对葡萄评价的错误影响，提高了模型的准确性。

3.通过相关性分析来确定酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒的理化指标间的关系，具有可操作性，因为葡萄酒的理化指标直接来自酿酒葡萄或者是通过酿酒葡萄中的理化指标转化而来，得出的结果能够很好地表明两者理化指标间的关系。

二、模型的评价 优点：

20

1.本文在建模过程中，使用了建模与软件分析相结合的方法，提高了计算结果的准确性；

2.本文在求解是对同一问题使用两种不同方法，使模型得出的结果更加可靠；

3.本文在建模过程中使用的方法简单有效，在原模型的基础上又有一定的创新。 缺点：

1.部分模型中用到软件对数据进行分析，未详细说明分析过程。

7.模型的推广

在问题二的求解过程中，我们对葡萄的理化指标进行了因子分析，这种方法可以用较少的综合指标分析存在于各变量中的各类信息，是主成份分析的一种自然延伸，因此该模型可以推广到社会、经济和医学等需要对反映事物的多个变量进行大量观察的研究领域中。

在问题三的求解过程中，我们用了相关性分析模型。相关性分析是指对两个或多个具备相关性的变量元素进行分析，从而衡量两个变量因素的相关密切程度。相关性的元素之间需要存在一定的联系或者概率才可以进行相关性分析。相关性不等于因果性，也不是简单的个性化，所以该模型可以推广到我们所见到的方方面面。

8.参考文献

[1] 唐恒永、赵传立，《排序引论》，北京：科学出版社，2002年。 [2] 史万明、杨骅飞、吴裕树、孙新，《数值分析》，北京：北京理工大学大学出版社，2002年。

[3] 姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型》(第四版)，北京：高等教育出版社，2011年。

[4] 白凤山、么焕民等，《数学建模》(上册)，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003年。

[5] 余建英、何旭宏，《数据统计分析与SPSS应用》，北京：人民邮电出版社，2003年。

21

附录 附录一： 问题一的数据表格： 红葡萄酒 酒样品1 酒样品2 酒样品3 酒样品4 酒样品5 酒样品6 酒样品7 酒样品8 酒样品9 酒样品10 酒样品11 酒样品12 酒样品13 酒样品14 酒样品15 酒样品16 酒样品17 酒样品18 酒样品19

一组评分 62.7 80.3 80.4 68.6 73.3 72.2 71.5 72.3 81.5 74.2 70.1 53.9 74.6 73 58.7 74.9 79.3 59.9 78.6 二组评分 68.1 74 74.6 71.2 72.1 66.3 65.3 66 78.2 68.8 61.6 68.3 68.8 72.6 65.7 69.9 74.5 65.4 72.6 22

白葡萄酒 酒样品1 酒样品2 酒样品3 酒样品4 酒样品5 酒样品6 酒样品7 酒样品8 酒样品9 酒样品10 酒样品11 酒样品12 酒样品13 酒样品14 酒样品15 酒样品16 酒样品17 酒样品18 酒样品19 一组评分 82 74.2 78.3 79.4 71 68.4 77.5 71.4 72.9 74.3 72.3 63.3 65.9 72 72.4 74 78.8 73.1 72.2 二组评分 77.9 75.8 75.6 76.9 81.5 75.5 74.2 72.3 80.4 79.8 71.4 72.4 73.9 77.1 78.4 67.3 80.3 76.7 76.4

酒样品20 酒样品21 酒样品22 酒样品23 酒样品24 酒样品25 酒样品26 酒样品27 78.6 77.1 77.2 85.6 78 69.2 73.8 73 75.8 72.2 71.6 77.1 71.5 68.2 72 71.5 酒样品20 酒样品21 酒样品22 酒样品23 酒样品24 酒样品25 酒样品26 酒样品27 酒样品28 77.8 76.4 71 75.9 73.3 77.1 81.3 64.8 81.3 76.6 79.2 79.4 77.4 76.1 79.5 74.3 77 79.6 附录二： 问题二的程序代码：

ZJ=[51 73 78 66 81 83 48 49 86 72 87 54 74 68 71 77 91 93 81 61 80 72 61 72 83 75 79 61 79 77 67 74 85 79 74 62 73

71 73 74 85 85 49 89 86 86 76 80 65 69 95 70 89 93 91 73 81 87 83 91 62 84 84 84 76 80 83 69 64 85 54 65 90 90 66 68 70 58 90 78 82 84 71 76 70 87 63 75 74 83 78 92 77 52 70 81 74 78 44 72 81 83 62 62 71 84 70 72 63 67 71 68 64 85 84 62 64 81 81 74 71 74 60 86 69 80 66 71 71 83 61 61 68 82 78 73 69 71 64 69 72 80 64 76 63 81 79 73 84 72 73 75 70 77 68 76 63 82 64 64 71 59 80 83 84 76 81 72 73 84 59 67 62 84 85 87 84 63 70 80 76 80 49 65 88 85 65 61 59 76 76 76 72 93 86 69 83 83 85 80 70 75 95 88 76 64 85 84 78 47 48 76 86 90 82 54 58 85 79 72 90 91 77 76 85 76 92 68 70 80 73 80 79 77 78 65 82 67 66 83 89 80 68 75 69 75 78 80 73 75 82 75 66 78 68 79 71 76 90 87 75 67 85 71 60 77 56 72 80 79 63 65 73 63 77 67 71 83 59 70 88 68 66 78 78 90 85 86 73

23

73 75 82 42 47 80 40 77 82 55 60 69 53 79 74 60 62 67 47 74 77 61 74 78 58 79 77 69 54 84 86 84 45 66 79 83 82 59 65 75 73 78 93 77 56 91 77 80 81 76 67 76 75 65 90 77 69 61 75 77 81 40 70 83 79 70 66 67 80 74 59 59 80 55 76 80 66 76 68 74 76 77 73 76 70 84 58 50 46 75 50 81 89 58 54 69 51 81 88 50 59 87 56 73 85 60 77 76 67 85 88 76

69 75 66 80 69

72 70 63 76 7879 75 79 64 8279 65 84 84 9042 46 42 42 48

80 91 49 84 76 9681 86 85 75 83 8471 68 55 66 68 7160 60 60 52 49 6769 97 52 68 82 6970 87 74 67 66 7971 82 57 87 79 6055 75 71 62 65 6480 69 62 80 76 7973 83 86 77 76 7874 80 58 78 76 7381 73 62 56 62 6878 81 70 82 86 8676 91 88 68 65 8174 76 68 81 81 74

80 78 70 67 77 75 82 77 91 81 77 80 68 75 82 75 66 65 68 77 79 66 68 68 71 83 68 77 75 76 86 71 76 69 79 68 67 65 79 77 69 68 67 64 77 63 69 83 75 74 80 76 80 73 77 75 68 79

84 71 84 81 70 78 80 78 81 74 81 79 80 83 76 76 85 79 75 67 85 74 73 74 80 82 86 85 64 84 67 61 78 80 67 74 81 67 83 79 68 79 76 75 84 84 74 83 80 64 75 72 68 82 77 71 78 72 71 79 79 78 83 90 62 74 75 60 78 82 73 85 71 72 70 69 7371 72 67 72 80 8077 86 79 73 68 7565 73 65 65 75 7278 77 83 81 78 7778 75 80 82 80 75 75 80 72 84 83 72 82 88 75 79 82 78 75 79 52 71 78 72 75 61 65 51 62 83 73 62 64 71 75 80 60 83 79 70 78 85 53 68 63 60 76 58 47 62 68 67 73 60 73 69 79 84 67 79 74 81 85 83 76 74 75 77 73 66 70 69 69 79 68 66 74 71 84 83 86 87 84 80 81 76 71 83 72 73 72 70 57 73 73 80 72 69 77 82 81 80 67 88 78 83 78 80 73 73 77 73 72 67 74 59 71 71 76 73 78 73 69 63 71 75 71 66 61 58 70 73 74 60 74 67 72 68 69 81 76 66 63 73 75 76 52 78 74 78 73 85 67 71 76 70 68 67 67 59 73 74 70 66 73 69 72 70 64 88 67 77 75 85 ZJA=mean(ZJ) for i=1:1:20 for j=1:1:27

a1(j)=abs(ZJ(i,j)-ZJA(j))/ZJA(j); end;

a(i)=sum(a1)/27; end; p1=1-a

p=0.4*p1+0.6*p0

PX=[3 14 4 16 5 27 6 7 25 22 9 2 20

28

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24

74 74 74 89 75 84 81 65 64 54 70 69 69 67 88 83 79 81 70 67 59 64 75 69 73 84 71 76 78 67 76 71 73 77 82 77 89 83 83 84 70 74 71 66 80 80 79 85 83 77 79 76 80 70 75 67 61 66 54 53 63 71 69 73 68 68 77 72 73 79 62 79 76 65 72 69 69 78 78 62 81 81 78 89]

26 8 15 21 77 78 73 74 55 61 82 63 79 75 62 64 81 60 67 77 64 81 87 73 79 79 62 76 84 81 80 76 74 80 61 61 44 76 60 74 73 60 64 68 65 71 90 76 84 23 10 1 79 7666 7281 7670 6278 7884 7772 8279 6375 7983 7062 6871 7365 7870 7881 82

19 11

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11 28 17 12 6

7

1

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11 6

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19 26 27 8

5

15 7

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PXA=mean(PX); for i=1:1:20 for j=1:1:28

c1(j)=abs(PX(i,j)-PXA(j))/26; end;

5 24 25 11 6 7 1

13 8 13 20 3 6 9 5

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3

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12 25

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9

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7

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5

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5

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10

26 15

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2

9

24 520 9

19 51

5

17 2624 19

21 23

20 120 6

c(i)=sum(c1)/27; end; p0=1-c

p=0.4*p1+0.6*p0

26

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vgp7.html