2017中考复习特殊四边形综合题

特殊四边形综合题

1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）

（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．

①求证：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

1

3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b． （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；

（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．

4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：

=

；

（2）求证：AF⊥FM；

（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．

2

5．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°． （1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC； （2）当BE=2EC时，求

的值；

，

（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是求n的值．

6．如图1，在菱形ABCD中，AB=6

，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度

的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF． （1）求证：BE=DF；

（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 ；

（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？ （4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．

3

7．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系； （2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF； （3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

8．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE． （1）求证：BG=AE；

（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示） ①求证：BG⊥GE；

②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求

的值．

4

9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 ；

（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

10．如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止

（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP ∽ △PCD（填：“≌”或“～”

（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，是，请说明理由；

（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．

的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不

5

11．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点． （1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

12．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE． （1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；

（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB． ①求证：DE⊥FG；

②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

6

13．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．

（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG． ①求证：△AGE≌△AFE； ②若BE=2，DF=3，求AH的长．

（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

14．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由； （3）若AG=6，EG=2

，求BE的长．

7

15．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H． ①求证：BD⊥CF； ②当AB=2，AD=3

时，求线段DH的长．

16．如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G． （1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG； （2）若KD=KG，BC=4﹣①求KD的长度；

②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD=m，当S△PMN=

时，求m的值．

．

8

17．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC； （2）若点P在线段AB上．

①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由； ②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．

18．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M． （1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′． （2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2． ①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；

②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．

9

19．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出

的值．

20．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG． （1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；

（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．

10

21．如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF． （1）求证：∠HEA=∠CGF； （2）当AH=DG=2时，

求证：菱形EFGH为正方形；

（3）设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．

22．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC=90°，且DE=EC． （1）求证：△ADE≌△BEC；

（2）若AD=a，AE=b，DE=c，请用图1证明勾股定理：a2+b2=c2；

（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD=2，BC=4，求EF的长．

11

23．如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，点M在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE． （1）若CM=2，AB=6，求AE的值； （2）求证：2BE=AC+CN；

（3）当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．

24．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

12

25．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．

【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD． 【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（据：

﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数=1.41，

=1.73）

26．如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．

（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：AD⊥CF． （3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=

13

时，求线段CG的长．

27．如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接PF，点P是FD的中点，连接PE、PC．

（1）如图1，当点E在CB边上时， 求证：PE=

CE；

（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．

28．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”． （1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为 ． （2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．

（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．

14

29．正方形ABCD边长为4cm，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N． （1）如图1，若点M与点C重合， 求证：DF=MN；

（2）如图2，若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以

cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①当点F是边AB的中点时，求t的值；

②连结FM，FN，当t为何值时△MNF是等腰三角形（直接写出t值）．

30．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．

15

特殊四边形综合题答案

1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

解：（1）四边形APQD为平行四边形； （2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ， 在△AOB和△OPQ中，

∴△AOB≌△POQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠POQ， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP；

（3）如图，过O作OE⊥BC于E． ①如图1，当P点在B点右侧时，

16

则BQ=x+2，OE=∴y=×

，

?x，即y=（x+1）2﹣，

又∵0≤x≤2，

∴当x=2时，y有最大值为2； ②如图2，当P点在B点左侧时，

则BQ=2﹣x，OE=∴y=×

，

?x，即y=﹣（x﹣1）2+，

又∵0≤x≤2，

∴当x=1时，y有最大值为；

综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；

2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）

（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．

①求证：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得

17

证；

②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=即可得；

（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=再证△HPG≌△DPF可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°， ∴∠GPH=∠FPD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠PDF=∠ADP=45°， ∴△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠PDF=45°， 在△HPG和△DPF中， ∵

，

DP．

DP，

DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH

∴△HPG≌△DPF（ASA）， ∴PG=PF； ②结论：DG+DF=

DP，

由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF， ∴HD=

DP，HG=DF，

∴HD=HG+DG=DF+DG， ∴DG+DF=

DP；

DP，

（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，

∵PF⊥PG，

∴∠GPF=∠HPD=90°， ∴∠GPH=∠FPD，

18

∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°， ∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°， 在△HPG和△DPF中， ∵

DP，

∴△HPG≌△DPF， ∴HG=DF，

∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF， ∴DG﹣DF=

DP．

3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b． （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；

（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．

【分析】（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b． （2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可；

（3）先判断出∠AFD=∠CEF，再判断出AF=EF，从而得到△ADF≌△FCE即可． 解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCF=∠DCE=90°

∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠ACF=∠ACE，

19

∵∠EAF被对角线AC平分， ∴∠CAF=∠CAE， 在△ACF和△ACE中，

，

∴△ACF≌△ACE， ∴CE=CE， ∵CE=a，CF=b， ∴a=b，

∵△ACF≌△ACE， ∴∠AEF=∠AFE， ∵∠EAF=45°，

∴∠AEF=∠AFE=67.5°，

∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°， ∴∠CAE=∠CEA， ∴CE=AC=4， 即：a=b=4

；

（2）当△AEF是直角三角形时，

①当∠AFE=90°时，∴∠AFD+∠CFE=90°， ∵∠CEF+∠CFE=90°， ∴∠AFD=∠CEF

∵∠AFE=90°，∠EAF=45°， ∴∠AEF=45°=∠EAF ∴AF=EF，

在△ADF和△FCE中

∴△ADF≌△FCE，

∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8， ∴a=8，b=4 ②当∠AEF=90°时，

20

同①的方法得，CF=4，CE=8， ∴a=4，b=8． （3）ab=32， 理由：如图，

∵AB∥CD

∴∠BAG=∠AFC， ∵∠BAC=45°， ∴∠BAG+∠CAF=45°， ∴∠AFC+∠CAF=45°，

∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°， ∴∠CAF=∠AEC， ∵∠ACF=∠ACE=135°， ∴△ACF∽△ECA， ∴

，

∴EC×CF=AC2=2AB2=32 ∴ab=32．

4．（2016?淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：

=

；

（2）求证：AF⊥FM；

（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．

21

【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题． （2）由（1）的结论即可证明．

（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到

=

，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠MAF=∠MBE， ∴A、B、M、F四点共圆， ∴∠ABM+∠AFM=180°， ∴∠AFM=90°， ∴∠FAM=∠FMA=45°， ∴AM=∴

=

AF， ．

（2）由（1）可知∠AFM=90°， ∴AF⊥FM．

（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM

理由：∵A、B、M、F四点共圆， ∴∠BAM=∠EFM， ∵∠BAM=∠FMN， ∴∠EFM=∠FMN，

22

∴MN∥BD， ∴

=

，∵CB=DC，

∴CM=CN， ∴MB=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN， ∴∠BAM=∠DAN， ∵∠MAN=45°， ∴∠BAM+∠DAN=45°， ∴∠BAM=22.5°．

5．（2016?丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°． （1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC； （2）当BE=2EC时，求

的值；

，

（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是求n的值．

【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE，证出CF=CE，由ASA证明△BCF≌△DEC即可； （2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF∽△DEC，得出对应边成比例由勾股定理得出DC=

a，即可得出结果；

=

，得出ED2=6a2，

（3）过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE，证出∠ADF=∠BCF，由SAS证明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C′MFH是矩形，得出FM=C′H=

，设EM=x，则FC=FE=x+

，由勾股定理得出方程，解

23

方程求出EM=得出n的值．

，FC=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入计算即可

（1）证明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F是斜边DE的中点， ∴CF=DE=EF， ∴∠FEC=∠FCE，

∵∠BFC=90°，E为BC中点， ∴EF=EC，∴CF=CE， 在△BCF和△DEC中，∴△BCF≌△DEC（ASA）；

（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a， ∵CF是Rt△DCE斜边上的中线， ∴CF=DE，

∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°， ∴△BCF∽△DEC， ∴

=

，

，

即：=，

解得：ED2=6a2

由勾股定理得：DC?DE2?EC2?6a2?a2?5a， ∴

=

=

；

（3）解：过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，如图所示：

∵CF是Rt△DCE斜边上的中线， ∴FC=FE=FD， ∴∠FEC=∠FCE，

24

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠ADF=∠CEF， ∴∠ADF=∠BCF， 在△ADF和△BCF中，∴△ADF≌△BCF（SAS）， ∴∠AFD=∠BFC=90°，

∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°， ∴四边形C′MFH是矩形， ∴FM=C′H=

，

，

，

设EM=x，则FC=FE=x+

在Rt△EMC和Rt△FMC中，

由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2， ∴12﹣x2=（x+解得：x=∴EM=

）2﹣（

）2， （舍去）， +，

，

；

，或x=﹣，FC=FE=

由（2）得：

把CE=1，BE=n代入上式计算得：CF=∴

解得：n=4．

6．如图1，在菱形ABCD中，AB=6

，

，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度

的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF． （1）求证：BE=DF； （2）当t= 6+6 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 12 ；

（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？ （4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E

25

的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．

【分析】（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得； （2）当点E运动至点E′时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案； （3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根据AB=CD=6tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；

②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE=6

；

，

（4）连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，证△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD=6得GM=6

；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=6+12，由GF=DE=t得FM=t﹣6

﹣12，

，根据tan∠ABC=tan∠CGN=2可

利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．

解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE， ∴∠DCF=∠BCE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC=BC，

在△DCF和△BCE中， ∵

，

∴△DCF≌△BCE（SAS）， ∴DF=BE； （2）如图1，

当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，

26

在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，

∴设AE′=x，则BE′=2x， ∴AB=x=6

，

则AE′=6 ∴DE′=6

+6，DF=BE′=12，

故答案为：6

+6，12；

（3）∵CE=CF， ∴∠CEQ＜90°，

①当∠EQP=90°时，如图2①，

∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC， ∴∠CBD=∠CEF， ∵∠BPC=∠EPQ， ∴∠BCP=∠EQP=90°， ∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，

∴DE=6， ∴t=6秒；

②当∠EPQ=90°时，如图2②，

∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD， ∴EC与AC重合， ∴DE=6， ∴t=6

秒；

27

（4）y=t﹣12﹣，

如图3，连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H， 由（1）知∠1=∠2，

又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF， ∴∠DCE=∠GCF， 在△DCE和△GCF中， ∵

，

∴△DCE≌△GCF（SAS）， ∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，∠1=∠2， ∴∠2=∠4， ∴GF∥CD， 又∵AH∥BN，

∴四边形CDMN是平行四边形， ∴MN=CD=6

，

∵∠BCD=∠DCG， ∴∠CGN=∠DCN=∠CNG， ∴CN=CG=CD=6

，

∵tan∠ABC=tan∠CGN=2， ∴GN=12， ∴GM=6

+12，

∵GF=DE=t， ∴FM=t﹣6

﹣12，

∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，

28

∴FH=即y=

（t﹣6t﹣12﹣

﹣12），

．

7．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系； （2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF； （3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形． （2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．

（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF?cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题． （1）解：结论AE=EF=AF． 理由：如图1中，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，△ADC是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC，

∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC， ∵∠EAF=60°， ∴∠CAF=∠DAF=30°， ∴AF⊥CD，

∴AE=AF（菱形的高相等），

29

∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=AF．

（2）证明：如图2中，

∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAE， 在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF．

（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，

∵∠EAB=15°，∠ABC=60°， ∴∠AEB=45°，

在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4， ∴BG=2，AG=2

，

在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°， ∴AG=GE=2

，

﹣2，

∴EB=EG﹣BG=2

∵△AEB≌△AFC， ∴AE=AF，EB=CF=2

﹣2，

﹣2，

在RT△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2∴FH=CF?sin60°=（2

﹣2）?=3﹣．

30

∴点F到BC的距离为3﹣．

8．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE． （1）求证：BG=AE；

（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示） ①求证：BG⊥GE；

②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求

的值．

【分析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；

（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；

②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG=

GE=

x，由（1）

的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=GM=

AB=

x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM=

的值．

x，所以

x，于是可计算出

（1）证明：如图①，

∵AD为等腰直角△ABC的高， ∴AD=BD，

∵四边形DEFG为正方形， ∴∠GDE=90°，DG=DE， 在△BDG和△ADE中

31

，

∴△BDG≌△ADE， ∴BG=AE；

（2）①证明：如图②，

∵四边形DEFG为正方形， ∴△DEG为等腰直角三角形， ∴∠1=∠2=45°，

由（1）得△BDG≌△ADE， ∴∠3=∠2=45°，

∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°， ∴BG⊥GE；

②解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x， ∴DG=

GE=

x，

∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x， 在Rt△BGA中，

AB?BG2?AG2?(4x)2?(3x)2?5x，

∵△ABD为等腰直角三角形， ∴∠4=45°，BD=∴∠3=∠4， 而∠BDM=∠GDB， ∴△DBM∽△DGB， ∴BD：DG=DM：BD，即∴GM=DG﹣DM=

AB=x，

x：x=

x=DM：x，

32

x，解得DM=x，

x﹣

∴==．

9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 AF=AE ；

（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

【分析】（1）如图①中，结论：AF=（2）如图②中，结论：AF=AEF是等腰直角三角形即可． （3）如图③中，结论不变，AF=

AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．

AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△

再证明△AEF是等腰直角三角形即可． 解：（1）如图①中，结论：AF=

AE．

33

理由：∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB=DF， ∵AB=AC， ∴AC=DF， ∵DE=EC， ∴AE=EF，

∵∠DEC=∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=

AE．

故答案为AF=

AE．

（2）如图②中，结论：AF=AE．

理由：连接EF，DF交BC于K． ∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB∥DF，

∴∠DKE=∠ABC=45°，

∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED， ∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE， ∵∠DKC=∠C， ∴DK=DC， ∵DF=AB=AC， ∴KF=AD，

在△EKF和△EDA中，

，

34

∴△EKF≌△EDA， ∴EF=EA，∠KEF=∠AED， ∴∠FEA=∠BED=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=

AE．

AE．

（3）如图③中，结论不变，AF=

理由：连接EF，延长FD交AC于K．

∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC， ∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC， ∴∠EDF=∠ACE， ∵DF=AB，AB=AC， ∴DF=AC

在△EDF和△ECA中，

，

∴△EDF≌△ECA， ∴EF=EA，∠FED=∠AEC， ∴∠FEA=∠DEC=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=

AE．

10．如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止

（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP ∽ △PCD（填：“≌”或“～”

35

（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，是，请说明理由；

的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不

（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．

【分析】（1）根据矩形的性质找出∠B=∠C=90°，再通过角的计算得出∠BAP=∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；

（2）过点F作FH⊥PC于点H，根据矩形的性质以及角的计算找出∠B=∠FHP=90°、∠BEP=∠HPE，由此即可得出△BEP∽△HPE，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；

（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S=4.2求出t值，此题得解． 解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=∠C=90°，∴∠BAP+∠BPA=90°． ∵∠MPN=90°，∴∠BPA+∠CPD=90°， ∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD． 故答案为：∽．

（2）是定值．如图3，过点F作FH⊥PC于点H，

36

∵矩形ABCD中，AB=2， ∴∠B=∠FHP=90°，HF=AB=2， ∴∠BPE+∠BEP=90°． ∵∠MPN=90°， ∴∠BPE+∠HPE=90°， ∴∠BEP=∠HPE， ∴△BEP∽△HPE， ∴∴

，∵BP=1， ．

（3）分两种情况：

①如图3，当点E在AB上时，0≤t≤2．

∵AE=t，AB=2， ∴BE=2﹣t．

由（2）可知：△BEP∽△HPE， ∴

，即

，

∴HP=4﹣2t．

∵AF=BH=PB+BH=5﹣2t， ∴S=S矩形ABHF﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF

=AB?AF﹣AE?AF﹣BE?PB﹣PH?FH =t2﹣4t+5（0≤t≤2）． 当S=4.2时，t2﹣4t+5=4.2， 解得：t=2±∵0≤t≤2， ∴t=2﹣

；

．

②如图4，当点E在AD上时，0≤t≤1，过点E作EK⊥BP于点K，

37

∵AE=t，BP=1， ∴PK=1﹣t．

同理可证：△PKE∽△FCP， ∴

，即

，

∴FC=2﹣2t．

∴DF=CD﹣FC=2t，DE=AD﹣AE=5﹣t，

∴S=S矩形EKCD﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF=CD?DE﹣EK?KP﹣DE?DF﹣PC?FC=t2﹣2t+5（0≤t≤1）． 当S=4.2时，t2﹣2t+5=4.2， 解得：t=1±∵0≤t≤1， ∴t=1﹣

．

；当点E在AD

．

综上所述：当点E在AB上时，S=t2﹣4t+5（0≤t≤2），当S=4.2时，t=2﹣上时，S=t2﹣2t+5（0≤t≤1），当S=4.2时，t=1﹣

．

11．（2016?龙东地区）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．

（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG

38

是等边三角形，即可解决问题．

图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似． 解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP， ∴∠AEO=∠CFO=90°， 在△AEO和△CFO中，

，

∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF．

（2）图2中的结论为：CF=OE+AE． 图3中的结论为：CF=OE﹣AE． 如图2中的结论证明如下： 延长EO交CF于点G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠EAO=∠GCO， 在△EOA和△GOC中，

，

∴△EOA≌△GOC， ∴EO=GO，AE=CG， 在Rt△EFG中，∵EO=OG， ∴OE=OF=GO， ∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°， ∴△OFG是等边三角形，

39

∴OF=GF，∵OE=OF， ∴OE=FG，∵CF=FG+CG， ∴CF=OE+AE．

选图3的结论证明如下： 延长EO交FC的延长线于点G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠AEO=∠G， 在△AOE和△COG中，

，

∴△AOE≌△COG， ∴OE=OG，AE=CG， 在Rt△EFG中，∵OE=OG， ∴OE=OF=OG， ∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°， ∴△OFG是等边三角形， ∴OF=FG， ∵OE=OF， ∴OE=FG， ∵CF=FG﹣CG， ∴CF=OE﹣AE．

12．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE． （1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；

40

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