鲁教版七年级（下）期末数学试卷（五四学制）3

七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．如果将一个小球在如图所示的地板上自由滚动，小球随机地停在某块方砖上，那么它停在黑色区域的概率是（ ）

A．

B．

C．

D．

﹣2

2．已知方程组，则（x﹣y）=（ ）

A．2 B． C．4 D．

3．不等式组的正整数解的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．A，B两点在一次函数图象上的位置如图，两点的坐标分别为A（x，y），B（x﹣a，y﹣b），下列结论正确的是（ ）

A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0 5．如图，三个等边三角形如图放置，若∠1=70°，则∠2+∠3=（ ）

A．110° B．105° C．100° D．95° 6．把一个长方形的纸按如图所示的方式折叠后，C，D两点落在C′，D′点处，若∠OGC′=125°，则∠AOD′的度数是（ ）

第1页（共25页）

A．50° B．60° C．70° D．80°

7．如图，函数y=2x+2的图象与直线y=kx的交点横坐标为﹣，则2x+2＞kx的解集是（ ）

A．x＞﹣1

B．x＜﹣1

C．x＞﹣ D．x＜﹣

8．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∠BAD=75°，若BC=3，则CD=（ ）

A．3 B．6 C． D．2

9．如图，∠ACD=20°，DA=DB=DC，则∠ABC=（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80° 10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，△DEC的周长是4+2，则BC=（ ）

A．2 B．4+2 C．2+2 D．6+4

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共18分）

11．一筐水果有46个，其中有12个被虫咬了，从中任意拿出一个，则恰好拿到一个没有被虫咬的概率是 ． 12．已知方程组

，若a≠0，则= ．

第2页（共25页）

13．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜，则（a+3）（b﹣2）= ．

14．王伟带了100元钱去商店买粗毛笔和细毛笔，已知一枝粗毛笔的价格是12元，一枝细

毛笔的价格是8元，小明买了4枝细毛笔，他最多能买粗毛笔 支．

15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上一点，且∠BAE=50°，∠CDE=40°，若AE=4，DE=5，则AD= ．

三、解答题（本大题共5小题，共47分） 17．（7分）如图，l1反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该产品的销售城北与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利． （1）分别求出l1，l2对应的函数表达式；

（2）该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能盈利？

18．（7分）某商场购进物品后，加价20%作为销售价．商场为了搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折和九折，共付款360元，两种商品原销售价之和为540元，两种商品的进价分别是多少元． 19．（10分）如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．

20．（11分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于G，AC的垂直平分线交BC于E，交AC于F，且BD=DE． 求证：∠BAC=120°．

第3页（共25页）

21．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC的中垂线DE于D，交AC于H，连接AD，DG⊥BC于G，交AC于K，延长BA至F，使AF=GC，连接DF． （1）当∠1+2∠2=90°时，证明：DH=DK； （2）当∠1=∠3时，证明：DF⊥AF．

四、解答题（本大题共4小题，共20分） 22．（4分）解方程组

．

23．（4分）（2015春?乳山市期末）解不等式组．

24．（6分）已知方程组，设a=x﹣y，若2＜k＜4，求a的取值范围．

25．（6分）如图，直线l1对应的函数关系式时y=﹣2x，直线l2经过A，B两点，直线l1和直线l2相交于点C，求S△OBC．

第4页（共25页）

七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．如果将一个小球在如图所示的地板上自由滚动，小球随机地停在某块方砖上，那么它停在黑色区域的概率是（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】几何概率．

【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【解答】解：∵由图可知，黑色方砖2块，共有9块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的比值=， ∴它停在黑色区域的概率是．

故选A．

【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．

2．已知方程组

，则（x﹣y）=（ ）

﹣2

A．2 B． C．4 D．

【考点】解二元一次方程组；负整数指数幂． 【专题】计算题．

【分析】方程组两方程相减求出x﹣y的值，代入计算即可得到结果． 【解答】解：①﹣②得：x﹣y=2， 则原式=2=．

故选D

【点评】此题列出了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

﹣2

，

第5页（共25页）

3．不等式组的正整数解的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】一元一次不等式组的整数解．

【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可

【解答】解：，

解①得：x＞﹣2， 解②得：x≤3，

则不等式组的解集是：﹣2＜x≤3． 则正整数解是：1，2，3． 故选B．

【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

4．A，B两点在一次函数图象上的位置如图，两点的坐标分别为A（x，y），B（x﹣a，y﹣b），下列结论正确的是（ ）

A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【考点】一次函数图象与系数的关系．

【分析】根据函数的图象可知：y随x的增大而减小，x＜x﹣a，y＞y﹣b，得出a＜0，b＞0，即可推出答案．

【解答】解：∵根据函数的图象可知：y随x的增大而减小， ∴x＜x﹣a，y＞y﹣b， ∴a＜0，b＞0， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力．

5．如图，三个等边三角形如图放置，若∠1=70°，则∠2+∠3=（ ）

A．110° B．105° C．100° D．95° 【考点】三角形内角和定理．

第6页（共25页）

【分析】如图，由图可知△ABC的三个外角的分别为60°+∠1，60°+∠2，60°+∠3，利用三角形的外角和是360°即可解决问题．

【解答】解：如图，

△ABC的外角和=60°+∠1+（60°+∠2）+（60°+∠3）=360° 即∠1+∠2+∠3=180°， 又∠1=70°，

所以∠2+∠3=110°． 故选：A．

【点评】此题考查等边三角形的性质，三角形的外角和定理，结合图形合理利用知识解决问题． 6．把一个长方形的纸按如图所示的方式折叠后，C，D两点落在C′，D′点处，若∠OGC′=125°，则∠AOD′的度数是（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据OD′∥C′G，两直线平行，同旁内角互补即可求得∠D'OG，则∠DOG即可求得，进而求得∠AOD'． 【解答】解：∵OD′∥C′G， ∴∠D'OG+∠OGC'=180°， ∴∠D'OG=180°﹣125°=55°， ∴∠DOG=∠D'OG=55°，

∴∠AOD'=180°﹣∠DOG﹣∠D'OG=70°． 故选C．

【点评】本题考查了图形的折叠，正确利用平行线的性质是关键．

7．如图，函数y=2x+2的图象与直线y=kx的交点横坐标为﹣，则2x+2＞kx的解集是（ ）

第7页（共25页）

A．x＞﹣1

B．x＜﹣1

C．x＞﹣ D．x＜﹣

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】当2x+2＞kx时就是y=2x+2的图象位于直线y=kx的上方，据此得到自变量的取值范围即可．

【解答】解：∵观察图象得：当x＞﹣时，y=2x+2的图象位于直线y=kx的上方， ∴2x+2＞kx的解集是x＞﹣，

故选C．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够读懂图象，难度不大．

8．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，∠BAD=75°，若BC=3，则CD=（ ）

A．3 B．6 C． D．2

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】根据∠B=90°，∠ACB=30°，得AC=2AB，再由BC=3，根据勾股定理得出AB和AC，又因为∠BAD=75°，则∠CAD=15°，所以∠ADC=15°，从而得出CD=AC． 【解答】解：∵∠B=90°，∠ACB=30°， ∴AC=2AB，

设AB=x，则AC=2x， ∵BC=3， 22∴x+9=4x， ∴x=，

∵∠BAD=75°， ∴∠CAD=15°， ∴∠ADC=15°， ∴CD=AC． ∴CD=2， 故选D．

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定以及勾股定理，所运用的知识点有：等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．

第8页（共25页）

9．如图，∠ACD=20°，DA=DB=DC，则∠ABC=（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80° 【考点】等腰三角形的性质．

【分析】先由DA=DC得出∠ACD=∠DAC=20°，再根据三角形内角和定理得出∠DAB+∠ABC+∠BCD=180°﹣（∠ACD+∠DAC）=140°，再利用等边对等角得出

∠DAB=∠ABD，∠DBC=∠BCD，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠DAB+∠BCD=×140°=70°． 【解答】解：∵DA=DC， ∴∠ACD=∠DAC=20°，

∴∠DAB+∠ABC+∠BCD=180°﹣（∠ACD+∠DAC）=180°﹣（20°+20°）=140°． ∵DA=DB=DC，

∴∠DAB=∠ABD，∠DBC=∠BCD，

∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠DAB+∠BCD=×140°=70°．

故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，得出

∠DAB+∠ABC+∠BCD=140°及∠ABC=∠ABD+∠DBC是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，△DEC的周长是4+2，则BC=（ ）

A．2 B．4+2 C．2+2 D．6+4 【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用“HL”证明

Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，然后求出△DEC的周长=BC．

【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°， ∴DE=AD，

在Rt△ABD和Rt△EBD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）， ∴AB=AE，

∴△DEC的周长=DE+CD+CE， =AD+CD+CE， =AC+CE，

第9页（共25页）

=AB+CE， =BE+CE， =BC，

∵△DEC的周长是4+2， ∴BC=4+2． 故选B．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC的周长=BC是解题的关键．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共18分）

11．一筐水果有46个，其中有12个被虫咬了，从中任意拿出一个，则恰好拿到一个没有被虫咬的概率是

．

【考点】概率公式．

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点： ①符合条件的情况数目； ②全部情况的总数．

二者的比值就是其发生的概率的大小．

【解答】解：∵一筐水果有46个，其中有12个被虫咬了， ∴任意拿出一个，则恰好拿到一个没有被虫咬的概率是故答案为：

．

=

，

【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

12．已知方程组

，若a≠0，则= ﹣1 ．

【考点】解二元一次方程组． 【专题】计算题．

【分析】将a看做已知数表示出x与y，代入计算即可得到结果．

【解答】解：，

①×2+②得：5x=5a，即x=a， 将x=a代入①得：y=﹣a， 则=

=﹣1．

故答案为：﹣1

【点评】此题列出了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

第10页（共25页）

13．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜，则（a+3）（b﹣2）= ﹣3 ．

【考点】解一元一次不等式组．

【专题】计算题． 【分析】表示出不等式组的解集，根据已知解集确定出a与b的值，求出所求式子的值即可．

【解答】解：，

由①得：x＜，

由②得：x＞﹣2b﹣3，

∵不等式组的解集为﹣1＜x＜， ∴

=，﹣2b﹣3=﹣1，

解得：a=﹣2，b=﹣1， 则（a+3）（b﹣2）=1×（﹣3）=﹣3． 故答案为：﹣3．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．王伟带了100元钱去商店买粗毛笔和细毛笔，已知一枝粗毛笔的价格是12元，一枝细毛笔的价格是8元，小明买了4枝细毛笔，他最多能买粗毛笔 5 支． 【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】利用买两种毛笔的总钱数小于等于100元，进而得出不等式求出即可． 【解答】解：设能买粗毛笔x支，根据题意得出： 12x+8×4≤100，

解得：x≤5，

故他最多能买粗毛笔5支． 故答案为：5．

【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．

15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上一点，且∠BAE=50°，∠CDE=40°，若AE=4，DE=5，则AD= ．

【考点】勾股定理． 【专题】计算题．

第11页（共25页）

【分析】过E作EF平行于AB，根据AB与CD平行得到EF与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，求出∠AED为直角，在直角三角形AED中，利用勾股定理即可求出AD的长．

【解答】解：过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD，

∴∠AEF=∠BAE=50°，∠FED=∠CDE=40°， ∴∠AED=∠AEF+∠FED=90°， 在Rt△AED中，AE=4，DE=5， 根据勾股定理得：AD=故答案为：

．

=

．

【点评】此题考查了勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

三、解答题（本大题共5小题，共47分）

17．（7分）如图，l1反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该产品的销售城北与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利． （1）分别求出l1，l2对应的函数表达式；

（2）该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能盈利？

【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）先分别设出直线l1、l2的函数解析式，然后运用待定系数法把相应的点代入，即可求出函数的解析式；

（2）先求出直线l1、l2的交点坐标，再根据交点的横坐标，即可求出销售量达到多少件的时候服装店才开始盈利．

【解答】解：（1）设直线l1的函数解析式为y=kx（k≠0）， 因为直线过（3，6）点，

所以把（3，6）代入解析式y=kx，得？ 解得：k=2，

则l1的函数解析式为y=2x；

设直线l2对应的函数解析式y=kx+b（k≠0）， 因为直线过（0，2）和（4，6），

第12页（共25页）

所以把（0，2）和（4，6）代入解析式y=kx+b得：

，

解得：

，

则l2的函数解析式y=x+2； （2）由题意得

解得

由图象可知，当x＞2时，l1＞l2．

也就是该产品的销售量达到2吨以上时，生产该产品才能盈利．

【点评】此题考查了一次函数的应用，用到的知识点是用待定系数法求函数的解析式，关键是求出两直线的交点坐标，注意数形结合思想的运用． 18．（7分）某商场购进物品后，加价20%作为销售价．商场为了搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折和九折，共付款360元，两种商品原销售价之和为540元，两种商品的进价分别是多少元． 【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】通过理解题意可知本题的两个等量关系，即甲种商品的原销售价+乙种商品的原销售价=540，60%×甲种商品的原销售价+90%×乙种商品的原销售价=360，根据这两个等量关系可列出方程组．[原销售价=（1+20%）×进价]．

【解答】解：设甲种商品进价为x元、乙种商品进价为y元．

根据题意得，

化简得解得

．

，

答：甲种商品进价为350元、乙种商品进价为100元．

【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，根据等量关系列出方程组，再求解．注意原销售价=（1+20%）×进价． 19．（10分）如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．

【考点】角平分线的性质．

第13页（共25页）

【专题】证明题．

【分析】连接AP，且延长至G，推出点P是△ABC三角平分线的交点，求出∠CAG=∠BAG=∠BAC，∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，求出

∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），根据∠BPC=∠CPG+∠BPG代入求出即可． 【解答】证明：连接AP，且延长至G，

∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF， ∴点P是△ABC三角平分线的交点， ∴AP平分∠BAC，

∴∠CAG=∠BAG=∠BAC， ∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC， ∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，

∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB）， ∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC）， ∴∠BPC=∠CPG+∠BPG

=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC） =∠BAC+（180°﹣∠BAC） =90°+∠BAC．

【点评】本题考查了角平分线性质和定义，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中． 20．（11分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于G，AC的垂直平分线交BC于E，交AC于F，且BD=DE． 求证：∠BAC=120°．

【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】证明题．

第14页（共25页）

【分析】连结AD、AE，根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，EA=EC，则根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，由三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，则∠ADE=2∠B，∠AEC=2∠C，由AB=AC得到∠B=∠C，所以∠ADE=∠AED，则AE=AD，加上BD=DE，可判断△ADE为等边三角形，

所以∠ADE=60°，易得∠B=30°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠BAC的度数． 【解答】证明：连结AD、AE，如图，

∵DG垂直平分线AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD，

∵EF垂直平分线AC， ∴EA=EC，

∴∠C=∠CAE，

而∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE， ∴∠ADE=2∠B，∠AEC=2∠C， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C，

∴∠ADE=∠AED， ∴AE=AD， ∵BD=DE， ∴AD=DE=AE，

∴△ADE为等边三角形， ∴∠ADE=60°， ∴∠B=30°，

∴∠BAC=180°﹣2×30°=120°．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质． 21．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC的中垂线DE于D，交AC于H，连接AD，DG⊥BC于G，交AC于K，延长BA至F，使AF=GC，连接DF． （1）当∠1+2∠2=90°时，证明：DH=DK； （2）当∠1=∠3时，证明：DF⊥AF．

第15页（共25页）

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据余角的性质先求得∠DKE=∠GKC=90°﹣∠2，然后根据外角的性质求得∠DHE=∠1+∠2，再根据已知即可求得．

（2）根据线段的存在平分线的性质求得∠3=∠DCA，然后根据三角形的外角的性质和已知条件求得∠FAD=∠DCB，进而求得△AFD≌△CGD，根据全等三角形的性质即可求得∠AFD=∠DGC=90° 【解答】证明：（1）∵∠1+2∠2=90°， ∴∠1+∠2=90°﹣∠2， ∵DG⊥BC，

∴∠DKE=∠GKC=90°﹣∠2， ∵∠DHE=∠1+∠2

∴∠DHE=∠DKE， ∴DH=DK；

（2）连接DC，

∵DE垂直平分AC，

∴DA=DC，∠3=∠DCA， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠1，

∴∠FAD+∠3=2∠1+∠2， ∵∠1=∠3，

∴∠FAD=∠2+∠3，

∴∠DCB=∠2+∠DCA=∠2+∠3， ∴∠FAD=∠DCB，

在△AFD与△CGD中，

∴△AFD≌△CGD（SAS） ∴∠AFD=∠DGC， ∵∠DGC=90°， ∴∠AFD=90°， ∴DF⊥AF

第16页（共25页）

【点评】此题考查了三角形外角的性质，三角形余角的性质，三角形全等的判定及性质，关键是根据题意做出辅助线，构造全等三角形，运用数形结合思想解答．

四、解答题（本大题共4小题，共20分） 22．（4分）解方程组

【考点】解二元一次方程组． 【专题】计算题．

【分析】方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．

．

【解答】解：方程组整理得：由①得：y=15﹣x，

代入②得：1.15x+1.1×15﹣1.1x=17， 解得：x=10，

将x=10代入得：y=15﹣10=5， 则方程组的解为

．

，

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

23．（4分）（2015春?乳山市期末）解不等式组．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：由（1）得，y＜5， 由（2）得，y≥﹣1，

故此不等式组的解集为：﹣1≤y＜5．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

24．（6分）已知方程组，设a=x﹣y，若2＜k＜4，求a的取值范围．

【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组． 【专题】计算题．

【分析】将k看做已知数表示出x与y，进而表示出a，根据x的范围确定出k的范围，即可求出a的范围． 【解答】解：方程组

，

第17页（共25页）

解得：，

∴a=x﹣y=∵2＜k＜4，

﹣1+=﹣1，

∴1＜＜2，即0＜﹣1＜1，

则0＜a＜1．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

25．（6分）如图，直线l1对应的函数关系式时y=﹣2x，直线l2经过A，B两点，直线l1和直线l2相交于点C，求S△OBC．

【考点】两条直线相交或平行问题．

【分析】利用待定系数法求直线2的解析式，然后求得直线l1与l2的交点C的坐标，再求出BC，然后根据三角形的面积列式进行计算即可得解．

【解答】解：设l2对应的函数关系式时y=kx+b， 将（2，1），（1，0）代入上式，得：

解得：

．

∴l2对应的函数关系式是y=x﹣1；

解 得，

S△OBC=×1×=；

【点评】本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象求两条直线的交点坐标，仔细观察图形，数形结合是解题的关键．

第18页（共25页）

参与本试卷答题和审题的老师有：lantin；sks；zhjh；HJJ；73zzx；sjzx；bjy；星期八；gbl210；HLing；zjx111；gsls；守拙；ZJX（排名不分先后） 菁优网

2016年6月16日

第19页（共25页）

考点卡片

1．负整数指数幂

负整数指数幂：a=1ap（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）=（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

2．二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．

3．解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．

4．二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解．

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元．

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．

5．一元一次不等式的应用

﹣2

﹣p

第20页（共25页）

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解．

6．解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

7．一元一次不等式组的整数解

（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．

8．一次函数图象与系数的关系 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0?y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0?y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0?y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0?y=kx+b的图象在二、三、四象限．

9．一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．

第21页（共25页）

当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞﹣bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜﹣bk； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜﹣bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞﹣bk．

10．两条直线相交或平行问题 直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．

（2）两条直线的平行问题

若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．

例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．

11．一次函数的应用 1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．

12．平行线的性质 1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等．

13．三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

第22页（共25页）

14．全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

15．角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE

16．线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．

17．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

18．等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．

第23页（共25页）

19．含30度角的直角三角形

（1）含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．

20．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

222

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b=c． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

222

（3）勾股定理公式a+b=c 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．

2222

（4）由于a+b=c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

21．等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=+1，所以r：R=1：+1．

22．翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．

23．概率公式

（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． （2）P（必然事件）=1． （3）P（不可能事件）=0．

第24页（共25页）

24．几何概率

所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P=g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．

第25页（共25页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vg67.html