中考数学压轴题100题精选 - 图文

我选的中考数学压轴题100题精选

【001】如图，已知抛物线y?a(x?1)2?33（a≠0）经过点A(?2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线

OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC?OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

y M D C

P A O Q B x 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．

1

A E Q D P C B 图16

【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。

【004】如图，已知直线l1:y?28x?与直线l2:y??2x?16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．矩形33DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关

t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

yl2 l1 D E C B F （G）A O x （第4题）

2

【005】如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

N

A A A D D D

E B

图1 A E B

图4（备用）

【006】如图13，二次函数y?x?px?q(p?0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为

2F C

B

E

P F

B C

E

P N

F

C

M D F C

图2

图5（备用）

D F

E

M

图3

（第25题） A

B C

5。 4（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，

请说明理由。

3

【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1） 求证：BE=AD；

（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

4

【009】一次函数y?ax?b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N，与反比例函数y?k的图象相交于点A,B．过x点A分别作AC?x轴，AE?y轴，垂足分别为C,E；过点B分别作BF?x轴，BD?y轴，垂足分别为

F，D，AC与BD交于点K，连接CD．

k（1）若点A，B在反比例函数y?的图象的同一分支上，如图1，试证明：

x①S四边形AEDK?S四边形CFBK； ②AN?BM．

（2）若点A，B分别在反比例函数y?论．

2k

的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结x

y N E D A(x1，y1)B(x2，y2)

y E N F M O B(x3，y3) A(x1，y1)K O C F M x C D K x （第25题图1） （第25题图2） ?3a)，对称轴是直【010】如图，抛物线y?ax?bx?3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，线x?1，顶点是M．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

，C，N为顶点的四（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

，B，E三点的（3）设直线y??x?3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；

（4）当E是直线y??x?3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．

5

y A O 1 ?3 C B x M

【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

A

D A G D A F D

B F 第24题图①

C B E G E

F E C 第24题图②

B 第24题图③

C 【012】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D2A、NC四点．抛物线y?ax?bx?c与y轴交于点D，与直线y?x交于点M、N，且M分别与圆O相切于点A和点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由． y

D N 6

A O E C F x

0)B(1，，0)C(0，?2)三点． 【013】如图，抛物线经过A(4，，（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

y x O B 1 4 A

?2 C

（第26题图）

【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y?x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线

y?x于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；

（3）设?MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

y y?x A M B O C (第26题)

N x

【015】如图，二次函数的图象经过点D(0，73)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为

96.

7

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

3)． 【016】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1?2S？若存在，求点E的坐标； 3y 3 A B O 3 C 6 x 若不存在，请说明理由．

D 8

【017】如图，已知抛物线y?x2?bx?c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．

y B O A D （第26题）

x ，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． 【018】如图，抛物线y?ax?bx?4a经过A(?1（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D(m，m?1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45°，求点P的坐标．

y

C

A B x O

9

2

【019】如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，

使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO (1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 (2)令m?S四边形CFGHS四边形CNMN；，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝

12，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此33抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K

为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）

（3）若AC=42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。

10

2010年中考数学压轴题100题精选答案

0)， 【001】解：（1）?抛物线y?a(x?1)2?33(a?0)经过点A(?2，?0?9a?33?a??3 ······································································································ 1分 3322383x?x? ························································· 3分 333?二次函数的解析式为：y??（2）?D为抛物线的顶点?D(13，3)过D作DN?OB于N，则DN?33，

AN?3，?AD?32?(33)2?6??DAO?60° ·························································· 4分 ?OM∥AD

y D M C ①当AD?OP时，四边形DAOP是平行四边形

11

A H P B x O E N Q ······················································ 5分 ?OP?6?t?6(s) ·

②当DP?OM时，四边形DAOP是直角梯形

过O作OH?AD于H，AO?2，则AH?1

（如果没求出?DAO?60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH?1）

?OP?DH?5t?5(s) ········································································································· 6分

③当PD?OA时，四边形DAOP是等腰梯形 ?OP?AD?2AH?6?2?4?t?4(s)

综上所述：当t?6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． · 7分

，OC?OB，△OCB是等边三角形 （3）由（2）及已知，?COB?60°?OQ?6?2t(0?t?3) 则OB?OC?AD?6，OP?t，BQ?2t，过P作PE?OQ于E，则PE?3·················································································· 8分 t ·22?SBCPQ当t?1133?3?63··································· 9分 ??6?33??(6?2t)?t=3 ·?t???2222?2?83633 ·时，SBCPQ的面积最小值为·········································································· 10分

2833?此时OQ?3，OP=，OE?242?QE?3?39?44PE?33 42??33933?? ····························································· 11分 ?PQ?PE2?QE2??????B ?4??42????8【002】解：（1）1，；

5（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． 由△AQF∽△ABC，BC?5?3?4， 得

QFt414?．∴QF?t． ∴S?(3?t)?t， 45255Q D C 22E Q B A E F D C 图3

P 26即S??t2?t．

55A P （3）能．

图4 ①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°．

B 由△APQ ∽△ABC，得

AQAP， ?ACABA Q D P

E C t3?t9即?． 解得t?． 35812

图5

B

Q ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得

AQAP， ?ABACt3?t15即?． 解得t?． 538

（4）t?545或t?． 214【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．

方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． 34PC?t，QC2?QG2?CG2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2．

55534由PC2?QC2，得t2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，解得t?．

255

方法二、由CQ?CP?AQ，得?QAC??QCA，进而可得 ，得CQ?BQ，∴

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．

3445(6?t)2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2t?5514】 ，

?B??BCQAQ?BQ?55t?2．∴2．

【003】解.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分

将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b

得 0=64a+8b

解

1得a=-2,b=4

1∴抛物线的解析式为：y=－2x2+4x …………………3分 PEBCPE4（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=AP=AB,即AP=8 11∴PE=2AP=2t．PB=8-t． 1∴点Ｅ的坐标为（4+2t，8-t）.

1111∴点G的纵坐标为：－2（4+2t）2+4(4+2t）=－8t2+8. …………………5分

13

11∴EG=－8t2+8-(8-t) =－8t2+t.

1∵-8＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分

②共有三个时刻. …………………8分

851640t1=3， t2=13，t3= 2?5． …………………11分

28x??0，0??A点坐标为??4，．3【004】（1）解：由3得x??4． ?B点坐标为由?2x?16?0，得x?8．0?AB?8???4??12．?8，．∴（2分）

28??y?x?，?x?5，33???6?y??2x?16．?y?6．C?5，．?由解得∴点的坐标为（3分）

S△ABC?11AB·yC??12?6?36．22（4分）

∴

28xD?xB?8，?yD??8??8．8?ll?8，．33（2）解：∵点D在1上且 ∴D点坐标为（5分）又∵点E在2上且

8?yE?yD?8，??2xE?16?8．?xE?4．?4，．∴E点坐标为（6分）

∴OE?8?4?4，EF?8．（7分）

（3）解法一：①当0≤t?3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t?0时，为四边形CHFG）．过C作CM?AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB．

yE l2 C D R yl1E D R l2 C yl1E D l2 C l1R A F O G M （图2）

B x F A G O M B x （图3）

A O F M G B x （图1）

BGRGtRG?，?，?Rt△AFH∽Rt△AMC，6∴RG?2t．∴BMCM即3 112S?S△ABC?S△BRG?S△AFH?36??t?2t??8?t???8?t?．223∴

14

41644S??t2?t?．333（10分） 即

【005】（1）如图1，过点E作EG?BC于点G． 1分 ∵E为AB的中点，

E B

A

D F C

图1

在Rt△EBG中，∠B?60?，∴∠BEG?30?． 2分

BE?∴

1AB?2．2

G

BG?∴

1BE?1，EG?22?12?3．2

即点E到BC的距离为3． 3分

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变． ∵PM?EF，EG?EF，∴PM∥EG． ∵EF∥BC，∴EP?GM，PM?EG?3． 同理MN?AB?4． 4分

如图2，过点P作PH?MN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC?∠B?60?，∠PMH?30?．

A E B

P H G M 图2

C

N

D F

13PH?PM?．22∴

3MH?PM?cos30??．2 ∴

NH?MN?MH?4?则

35?．22

22?5??3?PN?NH2?PH2??????7．????2??2?在Rt△PNH中，

∴△PMN的周长=PM?PN?MN?3?7?4． 6分

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．

15

当PM?PN时，如图3，作PR?MN于R，则MR?NR．

MR?3．类似①，

2 ∴MN?2MR?3． 7分

∵△MNC是等边三角形，∴MC?MN?3．

此时，x?EP?GM?BC?BG?MC?6?1?3?2．

8分

A D A

D A

D N E P F

E P F E F（P）R

N N B

G

M C

B

G

M

C

B G

M

C

图3

图4

图5

如图4，这时MC?MN?MP?3． 此时，x?EP?GM?6?1?3?5?3．

当NP?NM时，如图5，∠NPM?∠PMN?30?． 则∠PMN?120?，又∠MNC?60?， ∴∠PNM?∠MNC?180?．

因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．

∴MC?PM?tan30??1．

此时，x?EP?GM?6?1?1?4．

综上所述，当x?2或4或?5?3?时，△PMN为等腰三角形． 55【006】解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=4,得AB=2，

253 设A（a,0）,B(b,0)AB=b?a=

(a?b)?4ab??3=2，解得p=2,但p<0,所以p=2。

y?x2?3 所以解析式为：

2x?1

16

MP?MN时，

当3115x2?x?1?0x1??,x2?2?22（2）令y=0，解方程得，得,所以A(2,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=2,5同样可求得BC=5，显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=2,所以?55?m?44。

（3）存在，AC⊥BC，①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)

3?2?y?x?x?12?5??y??2x?4代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组?得D（2，9）

1 ②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A(2，0)代入得

?3?2?y?x?x?12?53553?,,?y?0.5x?0.25AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组?得D(22) 综上，所以存在两点：（2,9）或(22)。

【007】

17

【008】证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC， ∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，

∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC

∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分 ∴AD=BE……………………………………………………3分 （2）∵E是AB中点，

∴EB=EA由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分

18

∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。 即，AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分 （3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分 理由如下：

由（2）得：CD=CE由（1）得：CE=BD∴CD=BD ∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分 【009】解：（1）①?AC⊥x轴，AE⊥y轴，

y ?四边形AEOC为矩形．

?BF⊥x轴，BD⊥y轴， ?四边形BDOF为矩形．

?AC⊥x轴，BD⊥y轴，

?四边形AEDK，DOCK，CFBK均为矩形．?OC?x1，AC?y1，x1?y1?k， ?S矩形AEOC?OC?AC?x1?y1?k ?OF?x2，FB?y2，x2?y2?k， ?S矩形BDOF?OF?FB?x2?y2?k． ?S矩形AEOC?S矩形BDOF．

?S矩形AEDK?S矩形AEOC?S矩形DOCK，

S矩形CFBK?S矩形BD?OF矩形S，

D ?S矩形AEDK?S矩形CFBK． 2分

②由（1）知

S矩形AEDK?S矩形CFBK．

?AK?DK?BK?CK． AK?CK?BKDK． 4分

??AKB??CKD?90°， ?△AKB∽△CKD．

5分

19

N E A D K B O C F M x 图1 1分 ??CDK??ABK． ?AB∥CD． 6分

?AC∥y轴，

?四边形ACDN是平行四边形． ?AN?CD． 7分

同理BM?CD．

?AN?BM． 8分

（2）AN与BM仍然相等．

9分?S矩形AEDK?S矩形AEOC?S矩形ODKC，S矩形BKCF?S矩形BDOF?S矩形ODKC，

又?S矩形AEOC?S矩形BDOF?k，

?S矩形AEDK?S矩形BKCF． 10分

?AK?DK?BK?CK． CKDK?AK?BK．

??K??K， ?△CDK∽△ABK． ??CDK??ABK． ?AB∥CD． 11分

?AC∥y轴，

?四边形ANDC是平行四边形． ?AN?CD．

同理BM?CD．

?AN?BM． 12分

20

y E AN F M O C x B D K 图2

??3a?4a?2b?3，??b??1.?2a?【010】解：（1）根据题意，得 2分

y D E ?a?1，?2b??2.y?x?2x?3． 3分 ??解得抛物线对应的函数表达式为

（2）存在．

2y?x?2x?3中，令x?0，得y??3． 在

N A O 1 N x ?x1??1，x2?3． 令y?0，得x?2x?3?0，

2F C P ?A(?1，0)，B(3，0)，C(0，?3)．

2?4)． 5分 y?(x?1)?4，?顶点M(1，又

M （第26题图）

容易求得直线CM的表达式是y??x?3． 在y??x?3中，令y?0，得x??3．

?N(?3，0)，?AN?2． 6分

2y?x?2x?3中，令y??3，得x1?0，x2?2． 在

?CP?2，?AN?CP．

?3)． ?AN∥CP，?四边形ANCP为平行四边形，此时P(2，（3）△AEF是等腰直角三角形．

理由：在y??x?3中，令x?0，得y?3，令y?0，得x?3．

8分

3)，B(3，0)． ?直线y??x?3与坐标轴的交点是D(0，?OD?OB，??OBD?45°． 9分

?3)，?OB?OC．??OBC?45°． 10分 又?点C(0，由图知?AEF??ABF?45°，?AFE??ABE?45°． 11分

??EAF?90°，且AE?AF．?△AEF是等腰直角三角形．

12分

（4）当点E是直线y??x?3上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分 【011】解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴ CG= FD．………1分

21

同理，在Rt△DEF中，EG= FD．…………2分∴ CG=EG．…………………3分 （2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分

在△DMG与△FNG中，∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG． ……………………………8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC， ……………………4分

在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．

∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴ △MEC为直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG= MC．………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分 【012】解：（1）?圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，

0)B(0，?1)、C(1，、0)D(0，1) ?点A、B、C、D的坐标分别为A(?1，、?抛物线与直线y?x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C，

2M(?1，?1)、N(11)，D(01)，、M(?1，?1)、N(11)，y?ax?bx?c，D、M、N??点．在抛物线上，将的坐标代入

得：

?c?1???1?a?b?c?1?a?b?c? 解之，得：

?a??1??b?1?c?1?

2y??x?x?1． 4分 ?抛物线的解析式为：

1?5??y??x?x?1???x???2?4 ?（2）

22?抛物线的对称轴为

x?12，

115?OE?，DE??1?242． 6分

连结BF，?BFD?90°，

y D E C F P N DEOD???△BFD∽△EOD，DBFD，

A M O B x 22

DE?又

5，OD?1，DB?22， 455，

45535??5210．

9分

?FD??EF?FD?DE?8分

（3）点P在抛物线上．

设过D、C点的直线为：y?kx?b，

，、0)D(01)，的坐标代入y?kx?b，得：k??1，b?1， 将点C(1?直线DC为：y??x?1． 10分

过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y??1， 将y??1代入y??x?1，得：x?2．

?1)，当x?2时，y??x2?x?1??22?2?1??1， ?P点的坐标为(2，2y??x?x?1上． P所以，点在抛物线

12分

2C(0，?2)y?ax?bx?2． ??【013】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为

0)，B(1，0)代入， 将A(4，1?a??，??2??16a?4b?2?0，?b?5.??a?b?2?0.2 得?解得?15y??x2?x?222?此抛物线的解析式为．

（2）存在． （4分） 如图，设P点的横坐标为m，

（3分）

15?m2?m?22则P点的纵坐标为2，

当1?m?4时，

y B 1 O ?2 D P A M E C 4 x 23

（第26题图） 15PM??m2?m?2AM?4?m，22．

又??COA??PMA?90°，

AMAO2??PMOC1时， ?①当

△APM∽△ACO，

5?1?4?m?2??m2?m?2?2?2?． 即

解得

m1?2，m2?4（舍去）1)． （6分） ，?P(2，AMOC115??2(4?m)??m2?m?2OA2时，△APM∽△CAO，即22②当PM．

解得

m1?4，m2?5（均不合题意，舍去）

1)． （7分） ?当1?m?4时，P(2，?2)． （8分） 类似地可求出当m?4时，P(5，?14)． 当m?1时，P(?3，1)或(5，?14)． （9分） ?2)或(?3，综上所述，符合条件的点P为(2，15?t2?t?22（3）如图，设D点的横坐标为t(0?t?4)，则D点的纵坐标为2．

y?1x?22． （10分）

过D作

y轴的平行线交AC于E．由题意可求得直线AC的解析式为

12512?1??1?t，t?2?DE??t?t?2?t?2??t?2t????222?2??．?E点的坐标为?2． （11分） 1?1??S△DAC????t2?2t??4??t2?4t??(t?2)2?42?2?．

1)． （13分） ?当t?2时，△DAC面积最大．?D(2，【014】（1）解：∵A点第一次落在直线

y?x上时停止旋转，∴OA旋转了450.

45??22??2.……………4分 ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为36024

（2）解：∵MN∥AC，∴?BMN??BAC?45?,?BNM??BCA?45?. ∴?BMN??BNM.∴BM?BN.又∵BA?BC，∴AM?CN.

又∵OA?OC,?OAM??OCN,∴?OAM??OCN.∴?AOM??CON.∴∴旋转过程中，当

?AOM?1(90??45????????2.

MN和

AC平行时，正方形OABC旋转的度数为

45?????????????.……………………………………………8分

（3）答：p值无变化. 证明：延长BA交y轴于E点，则

?AOE?450??AOM， ?CON?900?450??AOM?450??AOM，∴

?AO?E?.又∵

O?A?OAE?1800?900?900??OCN.∴?OAE??OCN.∴OE?ON,AE?CN.

又∵?MOE??MON?450,OM?OM, ∴?OME??OMN. y y?x∴MN?ME?AM?AE.∴MN?AM?CNE A ，

M ∴p?MN?BN?BM?AM?CN?BN?BM?AB?BC?4. B ∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化. ……………12分 O N x

C （第26

7【015】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，93)

7∴y=a(x-4)2+k 93?16a?k ………………①

又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0)

33∴0=9a+k ………………②由①②解得a=9，k=－3∴二次函数的解析式为：y=9(x-4)2－3

⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 与对称轴的交点即为所求点P

设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO 7PM3∴△BPM∽△BDO∴DO?BM?3BO ∴

PM?9337?3∴点P的坐标为(4，3) 3⑶由⑴知点C(4，?3)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=3，

∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o

25

O，

DB ∴

①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)， 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，33)

②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，?3)， 经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，?3)．

【016】解：（1）设正比例函数的解析式为因为

y?k1x(k1?0)，

y?k1x的图象过点A(3，3)，所以3?3k1，解得k1?1．

y?x． （1分）

这个正比例函数的解析式为

y?设反比例函数的解析式为

k2k(k2?0)y?23)，所以 xx的图象过点A(3，．因为

3?k29

y?

3，解得k2?9．这个反比例函数的解析式为x．

（2分）

（2）因为点B(6，m)在设一次函数解析式为

y??3?993B?6，?m??x的图象上，所以62，则点?2?． （3分）

y?k3x?b(k3?0)．因为y?k3x?b的图象是由y?x平移得到的，

?3?B?6，?k?1，即y?x?b．又因为y?x?b的图象过点?2?，所以 所以3399?6?bb??y?x?22，?一次函数的解析式为2． （4分） ，解得

9??90，?y?x???y2??． 2DD（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为

26

2y?ax?bx?c(a?0)． 设二次函数的解析式为

?3?B?6，?2A(3，3)y?ax?bx?c因为的图象过点、?2?、和D9??0，???2?， ??1?9a?3b?c?3，?a??，??23??36a?6b?c?，??b?4，2??99??c??.c??.?2 2所以? （5分） 解得?19y??x2?4x?22． （6分） 这个二次函数的解析式为

?9?90??y?x??，2交x轴于点C，?点C的坐标是?2?， （4）

151131S??6??6?6???3??3?322222如图所示，

3 99?45?18??42 81?4．

281227S1?S???E(x0，y0)，使3432． 假设存在点

y A E O 3 B C 6 x D ?四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，?y0?0， ?S1?S△OCD?S△OCE

??19919819?????y0??y02222284．

819273?y0??y0?842，2．?E(x0，y0)在二次函数的图象上，

1293??x0?4x0??222．解得x0?2或x0?6．

?3?E?6，?x?6时，点?2?与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0?6舍去， 当0?3??2，??点E的坐标为?2?． （8分）

27

20)B(0，2)， y?x?bx?c经过A(1，，【017】解：（1）已知抛物线

?0?1?b?c?b??3???2?0?0?cc?2 ? 解得?2?所求抛物线的解析式为y?x?3x?2． 2分

，0)，B(0，2)，?OA?1，OB?2 （2）?A(1， 3分 可得旋转后C点的坐标为(31)2y?x?3x?2得y?2， x?3当时，由22) y?x?3x?2过点(3，可知抛物线

?将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．

2?平移后的抛物线解析式为：y?x?3x?1． 5分

22(x，x?3x0?1) y?x?3x?1NN00?（3）点在上，可设点坐标为

3?5?3y?x??x???22?4，?其对称轴为2． 6分 ?将y?x?3x?1配方得

30?x0?2时，如图①， ①当

y 2?S△NBB1?2S△NDD1B

B1 O A D N D1 图①

C x 11?3???1?x0?2??1???x0?22?2?

?x0?1

2x?3x0?1??1 0此时

?1)． 8分 ?N点的坐标为(1，y ②当

x0?32时，如图②

B N C x 11?3??1?x0?2???x0??2?2? 同理可得2B1 O ?x0?3

28

A D D1 图②

2x?3x0?1?1 0此时

，． ?点N的坐标为(31)，?1)或(31)，． 综上，点N的坐标为(110分

20)，C(0，4)两点， y?ax?bx?4a经过A(?1，?【018】解：（1）抛物线

?a?b?4a?0，?a??1，????4a?4.b?3. ? 解得?2?抛物线的解析式为y??x?3x?4．

（2）?点D(m，m?1)在抛物线上，?m?1??m?3m?4，

2y 即m?2m?3?0，?m??1或m?3．

24)． ?点D在第一象限，?点D的坐标为(3，??CBA?45°． 由（1）知OA?OB，A 设点D关于直线BC的对称点为点E．

C D E O B x ?C(0，4)，?CD∥AB，且CD?3， ??ECB??DCB?45°， ?E点在y轴上，且CE?CD?3．

1)． ?OE?1，?E(0，即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）． （3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E．

y ??OBC?45°， 由（1）有：OB?OC?4，??DBP?45°，??CBD??PBA．

C P A E B x D ?C(0，，4)D(3，4)，?CD∥OB且CD?3． ??DCE??CBO?45°，

F O ?DE?CE?322．

29

?OB?OC?4，?BC?42，?BE?BC?CE?522，

?tan?PBF?tan?CBD?DE3?BE5．

设PF?3t，则BF?5t，?OF?5t?4，

?P(?5t?4，3t)． ?P点在抛物线上，

2?3t??(?5t?4)?3(?5t?4)?4，

66?22?P??2，t????t?0（舍去）或?525?． 25，

方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作QG⊥DH于G．

??PBD?45°，?QD?DB． ??QDG??BDH?90°，

又?DQG??QDG?90°，??DQG??BDH．

Q C P y D G B O H ?△QDG≌△DBH，?QG?DH?4，DG?BH?1． 4)，?Q(?1，3)． 由（2）知D(3，312y??x??B(4，0)，?直线BP的解析式为55．

A x 2?x??，??y??x?3x?4，?25???x1?4，?312?y?66.?y??x?，2?y1?0；??25 ?55?解方程组得

2?266???，??点P的坐标为?525?．

【019】（1）EO＞EC，理由如下：

由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 （2）m为定值

∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO

30

m?∴

S四边形CFGH?1S四边形CMNO ……………………………………………………4分

1212CE?，QF?1???QF33 ∴EF=EO=33（3）∵CO=1， 1∴cos∠FEC=2 ∴∠FEC=60°， ?FEA?∴

180??60??60???OEA，?EAO?30?2

EQ?23 …………………………………………5分

∴△EFQ为等边三角形，

1133EQ?EQ?3，IQ=23 作QI⊥EO于I，EI=221131??(,)∴IO=333 ∴Q点坐标为33 ……………………………………6分

31,)33 ，m=1 ∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q

(∴可求得b??3，c=1

2y?x?3x?1 ……………………………………7分 ∴抛物线解析式为

AO?3EO?（4）由（3），

233

x?当

22213y?(3)2?3?3?1?3333＜AB 时，

231,)∴P点坐标为33 …………………8分

(1?∴BP=

12?33AO

23方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下： BK?234383223BK?(,1)(,1)39993①时，∴K点坐标为或

31

2BK?3232BK3②3时，

?2343(,1)3 ∴K点坐标为3或(0,1)…………10分

故直线KP与y轴交点T的坐标为

571(0,?)或(0,)或(0,?)或(0,1)333 …………………………………………12分

方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°

RT?23①当∠RTP=30°时，

3?3?2 RT?23②当∠RTP=60°时，

3?3?23

T(0,7)，T5)，T1∴132(0,?33(0,?3)，T4(0,1) ……………………………12分

【020】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD

②成立，理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF

又 BA=CA ，AD=AF ∴△BAD≌△CAF∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1分） （2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下： 如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………（1分） ∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2分） （3）如图：作AQBC于Q

∵∠ACB=45° AC=42 ∴CQ=AQ=4

∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△DPC …（1分） PCCD∴DQ=AQ

PCx设CD为x（0＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x则4?x=4 分）

11∴PC=4(－x2+4x)=－4(x－2)2+1≥1

当x=2时，PC最长，此时PC=1 ………（1分）

32

…………（1

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