近世代数复习题

近世代数复习思考题

一、基本概念与基本常识的记忆 （一）填空题

1.剩余类加群Z12有_________个生成元.

2、设群G的元a的阶是n，则a的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群.

4、设群G中元素a的阶为m，如果a?e，那么m与n存在整除关系为———。 5. 模8的剩余类环Z8的子环有_________个. 6.整数环Z的理想有_________个. 7、n次对称群Sn的阶是——————。

nk

?123456789?8、9-置换??543961827??分解为互不相交的循环之积是————。

??9.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________. 10. Z24中的所有可逆元是：__________________________. 11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。

12. 设G?(a)为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G同构于___________，（2）若a的阶为n，则G同构于____________。

13. 在整数环Z中，2?3=__________________； 14、n次对称群Sn的阶是_____.

15. 设A1,A2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件为___________。 16、除环的理想共有____________个。 17. 剩余类环Z5的零因子个数等于__________.

18、在整数环Z中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z7的可逆元有__________个.

20、设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)}，则I的单位是__________. 22. 剩余类环Zn是域?n是_________.

23、设Z7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________.

824. 设G为群，a?G，若a?12，则a?_______________。

25、设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1=___. 26. 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个. 27、整数环Z的商域是________.

n

28. 整数加群Z有__________个生成元.

29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R————————。 30. 已知???I是一个域当且仅当I是

?12345??1?为S5上的元素，则?＝__________。31. 每一个有限群

?31254?都与一个__________群同构。

32、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是——————。 二、基本概念的理解与掌握。 （二）选择题

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。

A.2 C.7

B.5

D.10

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射

?：x→x＋2，?x∈R，

则?是从A到B的（ ） A.满射而非单射 C.一一映射

B.单射而非满射 D.既非单射也非满射

3.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。

A.2 C.6

B.4 D.8

4、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是( )

A 5； B 6； C 7； D 9. 5、下面的集合与运算构成群的是 ( )

A {0，1}，运算为普通的乘法； B {0，1}，运算为普通的加法; C {-1，1}，运算为普通的乘法； D {-1，1}，运算为普通的加法; 6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )

A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立; C 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元; 7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )

A 在环的同态满射下，理想的象是理想;

B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想; C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想 D 环的最大理想就是该环本身. 8.整数环Z中，可逆元的个数是( )。

A.1个 9. 设M2(R)=???

B.2个

C.4个

D.无限个

????ab?? a,b,c,d∈R，R为实数域?按矩阵的加法和 ?cd?????乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。 A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环

?a?2,当a为偶数时10. 设Z是整数集，σ(a)=? ，a?Z，则σ是R的( ).

a?1?,当a为奇数时?2A. 满射变换 C. 一一变换

B. 单射变换 D. 不是R的变换

11、设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集 的

同态满射的是( ).

A、x→10x B、x→2x C、x→|x| D、x→-x .

12、设?是正整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（ ）

A、不适合交换律 B、不适合结合律 C、存在单位元 D、每个元都有逆元.

13.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )

A、1 B、2 C、3 D、4.

14、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ ） A、0和?x； B、1和0； C、k和x?2k； D、?k和?(x?2k)

15、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果H?6,那么

G的阶G?（ ）

A、6 B、24 C、10 D、12

16.整数环Z中，可逆元的个数是( ).

A、1个 B、2个 C、4个 D、无限个。

17、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（ ）

A、若a是零元，则b是零元 B、若a是单位元，则b是单位元

C、若a不是零因子，则b不是零因子 D、若R2是不交换的，则R1不交换 18、下列正确的命题是（ ）

A、欧氏环一定是唯一分解环 B、主理想环必是欧氏环 C、唯一分解环必是主理想环 D、唯一分解环必是欧氏环

19. 下列法则，哪个是集A的代数运算( ).

A. A=N, a?b=a+b-2 B. A=Z,a?b=C. A=Q, a?b=ab D. A=R, a

a b?b=a+b+ab

20. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( ). A. x→-x C. x→? B. x→

1 x1 x D. x→5x

21. 在3次对称群S3中，阶为3的元有( ).

A. 0个 C. 2个

B. 1个 D. 3个

22．剩余类环Z6的子环有( ).

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

23、设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac，那么x?（ ）

A.bca； B.ca； C.abc； D.bca。 24、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）

?1?1?1?1?1?1?12?1A.f的同态核是G1的不变子群; B.G1的不变子群的象是G2的不变子群。 C.G1的子群的象是G2的子群；

D.G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；

25、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果H?6，那么G的阶G?（ ）

A.6； B.24； C.10； D.12。 （三）判断题（每小题2分，共12分）

1、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ） 2、除环中的每一个元都有逆元。（ ）

3、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（ ） 4、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（ ） 5、域是交换的除环。（ ）

6、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子。（ ）

7、设f：G?G是群G到群G的同态满射，a∈G，则a与f (a)的阶相同。（ ） 8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ ） 9、循环群的子群也是循环群。（ ）

10、整环I中的两个元素a，b满足a整除b且b整除a，则a＝b。（ ） 11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。（ ） 12、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f13、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。（ ） 14、指数为2的子群不是不变子群。（ ）

15、在整数环Z中，只有±1才是单位，因此在整数环Z中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。（ ）

16、两个单位?和??的乘积???也是一个单位。（ ）

17、环K中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。（ ）

18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。（ ）

19、整环必是唯一分解环。（ ）

20、在唯一分解环K中，p是K中的素元当且仅当p是K中的不可约元。（ ）

?1。（ ）

21、设K是唯一分解环，则K中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。（ ）

22、整数环Z和环Q?x?都是主理想环。（ ） 23、K是主理想环当且仅当K是唯一分解环。（ ）

24、整数环Z、数域P上的一元多项式环P?x?和Gauss整环Z?i?都是欧氏环。（ ） 25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。反之亦然。（ ） 26、欧氏环?主理想环?唯一分解环?有单位元的整环。（ ） 27、设环?R,?,??的加法群是循环群,那么环R必是交换环. （ ） 28、对于环R,若a是R的左零因子,则a必同时是R的右零因子. （ ） 29、剩余类Zm是无零因子环的充分必要条件是m为素数. （ ） 30、整数环是无零因子环，但它不是除环。（ ） 31、S2???????0??????C?是M2?C?的子域. （ ） ???0???32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。（ ） 33、理想必是子环,但子环未必是理想. （ ）

34、群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等. （ ）

35、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。（ ） 三、基本方法与技能掌握。 （四）计算题 1．设

为整数加群,

,求 [Z:H]??

解 在 Z中的陪集有:

,

,

所以, [Z:H]?5. 2、找出S3的所有子群。

解：S3显然有以下子群： 本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}； （（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}； （（123））={（123），（132），（1）} 若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必然是S3。 用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。

,

,

,

3．求 Z18的所有子群。 解 Z18的子群有 4． 将 解 容易验证:

.

表为对换的乘积.

.

(4 2)(2 6)(1 2)(1 3)(2 7)(1 2).

;

;

;

; ;

5． 设按顺序排列的13张红心纸牌

A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

经一次洗牌后牌的顺序变为

3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9

问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?

解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为

则3次同样方式的洗牌所对应的置换为

6． 在 Z6中, 计算:(1) 解 (1) (2) (3) (4)

; ; ; .

;(2)

; (3)

; (4)

.

7．试求高斯整环 解 设

, 于是

(

的单位。

) 为

的单位, 则存在

, 使得

因为

可能的单位只有

显然它们都是

的单位. 所以

恰有四个单位:

, 所以

. 从而

,

, 或

. 因此

8． 试求Z12中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素. 解 由定理可知: (1) (2)

为 Z12的全部零因子.

为 Z12的全部可逆元. 直接计算可知, 相应的逆元为

,

,

,

.

9、找出模6的剩余类环Z6的所有理想。 解：R={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}。

若I是R的一个理想，那么I一定是加群R的一个子群。但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群， 我们有

G1=（[0]）={[0]} G2=（[1]）=（[5]）=R G3=（[2]）=（[4]）={[0]，[2]，[4]} G4=（[3]）={[0]，[3]}

易见，G1，G2，G3，G4都是R的理想，因而是R的所有理想。 10． 在 Z12中, 解下列线性方程组:

解:

?x??35???y?????2?1???????1?6?1??1?5??6??11???????1???23????1?????9?? 13????????即 , .

11．求 Z18的所有子环.

解 设 为 Z18的任一子环, 则 是 Z18的子加群, 而 而

也是循环群, 且存在

,

, 使得

为有限阶循环群, 从. 的可能取值为1,

2, 3, 6, 9, 12。相应的子加群为

, .

直接验证可知, 以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭, 所以它们都是 Z18的子环. 于是 Z18恰有6个子环:

12. 试求 解 设 为

的所有理想. 的任意理想, 则 为

,

对任意的

,

的子环， 则

.

,

,

,

,

, 且 , 有

,

的全部理想为

从而由理想的定义知, 为 的理想. 由此知,

且

2.

5313、数域F上的多项式环F?x?的理想(x?1,x?x?1)是怎样的一个主理想。

5332253解 由于x?x?1?xx?1?1，所以1?x?1,x?x?1，于是得

???????x2?1,x5?x3?1???1??F[x]。

14、在 中, 求 的全部根.

解 共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素

, , ,

为

的根.

15．试举例说明，环R?x?中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个 m+n次多项式.

解 例如，环Z6?x?中多项式

f(x)?2x3?x2?3x?5 与 g(x)?3x2?1 的乘积f(x)g(x)?3x4?x3?4x2?3x?5就不是3+2次多项式. 16.求出域Z3上的所有2次不可约多项式.

解 经验算得知，Z3上的2次不可约多项式有三个，它们是： x2?1,x2?x?1,x2?x?1.

17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子.

(1) 在M2(F)中.设A??(2) (3)

1?-1?2??2　　?0　　?1　　,B?，C???1　　??4　　?. 0　　002??????在Z12中,它的全部零因子是哪些.

Z11中有零因子吗?

解 (1) ?|A|?|C|?0?A,C是零因子,但B不是. (2) Z12中的零因子为[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (3) Z11中没有零因子. 18.求二阶方阵环M2(R)的中心.

解 高等代数已经证明，n阶方阵A与任何n阶方阵可交换?A是纯量矩阵.因此M2(R)??10??的中心 C??k??01??k?R?.

????19．举例说明，非零因子的象可能会是零因子.

解：设 ?:Z?Z6是环同态满射,其中:??n???n?.则显然Z是整环， 所以Z中没有零因子。但在 Z6中,?2? 和 ?3?、?4? 都是零因子.即 2显然不是Z中的零因子,但

??2???2?却是Z6中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.

20.设R为偶数环.证明：

N问：

??4rr?R??R.

N?4是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？

解： ?4n,4m?N,n,m?R： 4n?4m?4(n?m)?N,?n?m?R 故(4n?4m)?N,另外?n?R,?4r?N,r?R

(4r)n?4(rn)?N,?rn?R

n(4r)?(n4)r?(4n?)r?4(n?r)?N,?n??R?n?r?R,故n(4r),(4r)n?N.总之有N??4rr?R??R.另方面，由于

N??4rr?R????,?16,?8,0,8,16,??,

且4?N.而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即

N??4rr?R??8??8r?8nr?R,n?Z???8nn?Z?，但是

? 4??4r?4nr?R,n?Z???4nn?Z????,?8,?4,0,4,8,?因此，

N?4.实际上是N?8?4.

21、举例说明，素理想不一定是极大理想。

解 例如Z?x?是有单位元的交换环，容易证明?x?是它的一个素理想.而理想?x,2?真包含

?x?且?x,2??Z?x?.从而知?x?是Z?x?的素理想但不是极大理想.

22、设H?{(1),(12)},求S3关于H的所有左陪集以及右陪集.

解 S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},

H的所有左陪集为:(1)H?(12)H?{(1),(12)}?H;

(13)H?(123)H?{(13),(123)};(23)H?(132)H?{(23),(132)}． H的所有右陪集为:H(1)?H(12)?{(1),(12)};

H（13）?H(132)?{(13),(132)};H(23)?H(123)?{(23),(123)}.

四、综合应用能力。 （五）证明题 1．在群 中, 对任意

, 方程

与

都有唯一解.

证明 令 为

, 那么

的任一解, 即

,则

, 故 为方程 的解。 又如

.

这就证明了唯一性.

同理可证另一方程也有唯一解. 2．全体可逆的 阶方阵的集合 个群的单位元是单位矩阵

(

)关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这

.

每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵 证明 (1) 设 所以

都是 阶可逆矩阵, 则

,

, 从而 的代数运算;

.

.

也是 阶可逆矩阵. 这说明矩阵的乘法是

(2) 因为矩阵的乘法满足结合律, 所以 (3) 设 为 阶单位矩阵, 则

, 有

所以, 是 (4) 设

的单位元. , 则

, 故

的乘法也满足结合律;

, 且对任意的

. 从而 可逆, 设 为 的逆矩阵, 则

, 故

为 在 时 3．

, 且 .. 所以 的逆矩阵

构成群. 由矩阵的乘法易知, 当

中的逆元. 因此,

是非交换群. ，

。那么H是S3的一个子群。

证明 I.H对于G的乘法来说是闭的，

(1)(1)=(1)，(1)(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)； II.结合律对于所有G的元都对，对于H的元也对； IV.

；

V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。

4．一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：

证明 必要性。H是G的非空子集且H的每一个元素的阶都有限。若H是子群，则由子群的条件必有

?a,b?H?ab?H;

?a,b?H?ab?H;又H的每一个元素

充分性。由于H是G的非空子集，若的阶都有限

??a?H,?n?N,?a综上知H是G的子群。 5． 设

n?e?aan?1?e?a?1?an?1?H，

是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.

是

的子群.

是所有行列式等

于1的 阶矩阵所组成的集合. 则 证明 首先, 单位矩阵 果

, 则

, 有

这说明

的行列式为 1, 所以 , 所以 可逆, 故

, 所以

. 从而由定理知,

非空. 又对任一 阶方阵 , 如是

的子集. 又对任意的

.

是

的子群.

6．群 的任何两个子群的交集也是 的子群. 证明 设 (1) (2) 任给 (3) 任给

, 那么

. 从而由定理2知, 为 的两个子群, 则

, 所以

, 则

, 因此 是 的子群. , 即

; , 因此

; , 所以

7． 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同. 证明 设 , 分别表示 在 中的左、右陪集所组成的集合. 令

,

.

则 是 到 的双射. 事实上

(1) 如果 为 到 的映射. (2) 任给 (3) 如果

, 那么 , 故 , 所以, . 于是,

, 有

, 那么

, 因此, 为满射. , 因此

, 从而得 为双射.即

在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.

8．有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.

证明 设G的元a的阶为n, 则a生成一个阶是n的子群，由以上定理，n整除G的阶。 9． 设 与

为群, 是 与

的同构映射, 则 为

的单位元;

为

的单位元.

的逆元. 所以,

.

(1) 如果 为 的单位元, 则 (2) 任给 证明 (1) 因为 (2) 任给 从而知

为

,,

为

的逆元, 即

由消去律知,

10．如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群. 证明 因为 为交换群, 所以 的每个左陪集 11． 设 为群 的子群. 若 证明 任给

, 如果

, 那么

, , 所以

. , 则

,

, 则

.

所以,

为 . 同理可证:

, 那么

也就是右陪集 . . 如果

, 那么 与

是

.

在 中的两个不同的左陪集, 所以同理,

. 从而

12． 设 证明 (1) 的子群. (2) 任给

,

, 则

, , .因为

, 而 . 由此知

所以,

, 从而

.

13．群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群. 证明 设 与

为 的两个正规子群,

都是 的正规子群, 所以

所以,

. 故

.

, 则 为 的子群. 又任给

,

, 则因为 与

14． 设 与 是群, 是 到 的同态映射. 是 是

的单位元; 在

中的逆元. 即

(1) 如果 是 的单位元, 则 (2) 对于任意的

,

证明 (1) 因为 是 的单位元, 设 是 的单位元, 则

从而有消去律得: (2) 因为 从而可知, 15． 设 与 的正规子群. 证明 由定理知,

, 使得

是

.

.

是群, 是 到 的满同态.如果 是 的正规子群, 则 是

的子群. 又对任意的 , 因为 是满同态, 所以存在

. 从而

所以, 是 的正规子群.

16． 设，的阶为，证明的阶是，其中。

证明：首先，； 其次，若，即，

因为的阶为，所以17． 设

是循环群，G与

同态，证明

，而

是循环群。

。

，故的阶是。

证明：设G＝()， 又 所以

。 ，存在

，使

，下证，

，

18． 证明循环群的子群也是循环群。 证明：设

，H是G的子群，又设

是属于H且指数最小的正整数，下证

。

证明：由于(a)是R的最大理想，故R?a?是域． 任意x、y∈R，若a整除xy，则[x][y]=[0]，这里[x]表示x所在的等价类，故[x] =[0]或[y]=[0]，即a整除x或a整除y，故a是R的素元．

38．环 的两个理想 与 的和 证明 (1) 设

,

与交

,

都是 的理想.

. 则

且对任意的

,

所以, (2) 设 以

为 的理想.

, 则 . 又对任意的 . 从而知,

, ,有 为 的理想.

, 从而

, 且

, 且

. 故

, 所

39、证明：Z?2i?是主理想环。

??证明 令N是Z?2i?的任意一个理想，a是N中绝对值最小的一个非零元素，下证

??N??a?。

任取??N，显然

?/??Q[i]??a?bia,b?Q?,

令?/??r?si(r,s?Q).选取分别最接近r,s的整数m,n，即 0?r?m?1,210?s?n?. （1）

2令??m?niZ[i].并由（1）得

?/????(r?m)2?(s?n)2?111???1. （2） 442 现在令??????.显然0?N.于是由（2）得

?????????/?????

但?是N中绝对值最小的非零元，故??0.从而

?????(?).，因此N?(?)。

40、证明：整数环上的多项式环Z?x?是一个唯一分解环。

证明 Z[x]的单位显然只有?1。又其不可约元为全体（正、负）素数以及次数大于零的本原不可约（在Z上）多项式。今在Z[x]中任取f(x)?0,?1，显然f(x)可唯一表示成 f(x)?ag(x)，（1） (a?Z,g(x)为本原多项式）

其中f(x)的最高系数为正整数。

若f(x)为本原的，则由高等代数知，f(x)可唯一分解成不可约多项式之积；若f(x)不是本原的，则由（1），a可唯一分解成素数之积，而g(x)可唯一分解为Z上不可约多项式之积（最多有符号差异）。从而f(x)可唯一分解成Z[x]内不可约元之积。因此，Z[x]是唯一分解成整环。

41、试证在整环D?Z[3i]?{a?b3i|a,b?Z}中4不能唯一分解。 证明 为了证明4不是D的唯一分解元，先证明两个事实。 （1）D的一个元?是单位当且仅当?2?1。

设??a?b3i是D的一个单位，那么

????1，????1，

而?222?a2?3b2是一个正整数，??亦为正整数，所以??1。

222 反之，假定??a2?3b2?1，则有b?0，a??1，即???1，故?为单位。

2（2）适合条件?当?2?4的元?一定是不可约元。

?4时，??0，且由（1）知?也不是单位。设?为?的任一因子，则有

2222????，??D，那么?????4，这只有??1,2或4。??a?b3i，a,b?Z，

但不论a,b是什么整数，都有?因此只有?若?若?222?a2?3b2?2，

?1或4。

?1，则?为单位；

2?4，?2?1，则?为单位，因而????1?，即?为?的相伴元。

故?只有平凡因子，所以?为不可约元。

现在我们看4在D里的分解式

4?2?2?1?3i1?3i，

因

????2?4，1?3i?4，1?3i?4，

由（2）知2，1?3i，1?3i都是D的不可约元。而且1?3i，1?3i都不是2的相伴元，因此4有两种不同的分解式。

所以4在D里的分解不唯一，D?Z[3i]不是唯一分解环。 42、数域P上的一元多项式环P?x?是一个欧氏环。 证明：显然P?x?是一个有单位元的整环。

（1）令?:f(x)?f(x)的次数，则?是非零多项式集P[x]?到非负整数集的一个映射。

（2）由高等代数知在P?x?中任取f(x)及g(x)?0，存在q(x),r?x??P[x]满足

222f(x)?g(x)q(x)?r(x)，其中r(x)?0或r(x)的次数??(r(x))?g(x)的次数??(g(x))。

因此P?x?关于?作成一个欧氏环。

43、证明 若K为欧氏环，则对任意a,b?K，a,b存在最大公因子d且有s,t?K，使得

d?sa?tb。

证明 设a、b均为0，则它们的最大公因子为0。

若a、b中至少有一个不为0，在欧氏环中，每一个非零元素?都有一个非负整数

??x?，令d是集N??xa?ybx,y?K?中对应的非负整数最小元素，因此d能够写成

d?sa?tb（对某个s,t?K），因此r?a?hd?a?h?sa?tb???1?hs?a?htb?N。

因为d是N中元素对应的非负整数最小的元素，因此r?0，从而da同理db。如果

c|a ，c|b,则a?kc,b?lc,d?sa?bt?skc?tlc?(sk?tl)c,从而c|d，即d为

a,b的最大公因子。

44、若R环的特征为素数p,且R可交换,则有

?a?b??ap?bb, ?a,b?R.

p证明 因R是交换环, 所以

p?22p?1p?1p ?a?b?p?ap?c1pap?1b?c2ab???cab?bpp显然,当1?k?p?1时,我们有(k!,p)=1,又因

kkpc k!ck!,进而 ?????pp?1?p?k?1?pkcp, pp所以 ckpa?0.

于是 ?a?b??ap?bp.

p45、证明Q?x?是主理想环。

证明 设A是Q?x?的任意理想，若A??0?，则A??0?。若A??0?，则在A中取一个次数最低的多项式f(x)，对?g(x)?A，有q(x)?Q[x]，r(x)?Q[x]使得

g(x)?f(x)q(x)?r(x)，其中r(x)?0或?(r(x))??(f(x))。因f(x)，g(x)?A ，所

以r(x)?A，故r(x)?0。从而 g(x)?f(x)q(x)， 即A?(f(x))，因此Q?x?是主理想环。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vflp.html