高考数学一轮复习 第5章 第4节 数列求和课后限时自测

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第5章 第4节 数列求和课

后限时自测 理 苏教版

[A级 基础达标练]

一、填空题

1*

1．(2014·常州调研)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n2项和，则S21＝________.

1

[解析] 由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，

2∴an＋2＝an，

∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21) 1

＝1＋10×＝6.

2[答案] 6

4

2．(2013·大纲全国卷改编)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10

3项和等于________．

[解析] 由3an＋1＋an＝0，得

an＋11

＝－， an3

1

故数列{an}是公比q＝－的等比数列．

34

又a2＝－，可得a1＝4.

3

??1?10?4?1－?－??

1??3??

所以S10＝＝3－9.

3?1?1－?－??3?

1

[答案] 3－9

3

3．(2014·南通模拟)已知函数f(n)＝ncos(nπ)，且an＝f(n)，则a1＋a2＋a3＋…＋

2

a100＝________.

[解析] 因为f(n)＝ncos(nπ)， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100

＝－1＋2－3＋4－…－99＋100

2

2

2

2

2

2

2

＝(2－1)＋(4－3)＋…＋(100－99) ＝3＋7＋…＋199＝[答案] 5 050

4．已知{an}是公差为－2的等差数列，a1＝12，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a20|＝________.

[解析] 由题意知，an＝12＋(n－1)×(－2)＝－2n＋14， 令－2n＋14≥0，得n≤7，

∴当n≤7时，an≥0，当n＞7时，an＜0， ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a20|

＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋a9＋…＋a20)＝2S7－S20 7×6?＝2?7×12＋2?＝224. [答案] 224

5．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?前n项和Sn＝________.

[解析] 设数列{an}的公比为q，则＝q＝27，得q＝3. 所以an＝a1q所以

1

?

n－1

222222

＋

2

＝5 050.

－

?－20×12＋20×19×(－2) ?2?

?

?bnbn＋1?

1?

?的

a4a1

3

＝3×31n＋

n－1

＝3，故bn＝log3an＝n，

nbnbn＋1n＝

11＝－. nn＋1

则数列?

1?111111n?的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.

223nn＋1n＋1n＋1?bnbn＋1?

[答案]

nn＋1

6．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

[解析] ∵an＋1－an＝2，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2

n－1

nn＋2

nn－2

＋…＋2＋2＋2

2

2－2nn＝＋2＝2－2＋2＝2. 1－22－2n＋1

∴Sn＝＝2－2.

1－2[答案] 2

n＋1n＋1

－2

1127．(2014·徐州质检)已知数列{an}满足an＋1＝＋an－an，且a1＝，则该数列的前2 014

22项的和等于________．

112[解析] 因为a1＝，又an＋1＝＋an－an，所以a2＝1，

221

从而a3＝，a4＝1，…，

21??，n＝2k－1，

即得an＝?2

??1，n＝2k

(k∈N)．

*

13 021

故S2 014＝1 007×＋1 007×1＝.

22[答案]

3 021 2

m8．设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列?是________．

[解析] f′(x)＝mxm－1

??f1

n?

?(n∈N*)的前n项和?

＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2.

1

∴f(x)＝x(x＋1)，因此用裂项法求和得Sn＝[答案]

fn.

＝n1n＋11＝－， nn＋1

nn＋1

nn＋1

二、解答题

9．(2014·重庆高考)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．

(1)求an及Sn；

(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.

[解] (1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.

因为q－(a4＋1)q＋S4＝0，即q－8q＋16＝0， 所以(q－4)＝0，从而q＝4.

2

2

2

2

na1＋an2

＝n＋2n－2

＝n.

2

又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列， 所以bn＝b1qn－1

＝2·4

n－1

＝2

2n－1

.

n从而{bn}的前n项和Tn＝

b1

－q1－q2n＝(4－1)． 3

*

10．(2013·湖南高考)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和．

[解] (1)令n＝1，得2a1－a1＝a1，即a1＝a1. 因为a1≠0，所以a1＝1.

令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.

当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1. 于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，an＝2

n－1

2

2

.所以数列{an}的通项公式为an＝2

n－1

n－1

(n∈N)．

*

(2)由(1)知，nan＝n·2.记数列{n·2

n－1

n－1

}的前n项和为Bn，

于是Bn＝1＋2×2＋3×2＋…＋n×2

2

3

2

，①

2Bn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋n×2.② ①－②，得－Bn＝1＋2＋2＋…＋2

nn2

nn－1

－n·2

n*

n＝2－1－n·2.从而Bn＝1＋(n－1)·2(n∈N)．

[B级 能力提升练]

一、填空题

n4121*1．(2014·无锡质检)已知数列{an}满足a1＝，2－an＋1＝(n∈N)，则∑ ＝i＝1ai3an＋6________.

[解析] 由2－an＋1＝∴

1

122an，得an＋1＝， an＋6an＋6

3111?11?＝＋，即＋＝3?＋?. an＋1an2an＋14?an4?

?11?

故数列?＋?是首项为1，公比为3的等比数列．

?an4?

1111n－1n－1

∴＋＝1×3，从而＝3－， an4an41－3n2·3－n－2故? ＝－＝.

ai1－344i＝1

1

nnn2·3－n－2

[答案]

4

2．若数列{an}是正项数列，且a1＋a2＋…＋an＝n＋3n(n∈N)，则＋＋…＋

23n＋1＝________.

[解析] 令n＝1得a1＝4，即a1＝16.

当n≥2时，an＝(n＋3n)－[(n－1)＋3(n－1)]＝2n＋2. 所以an＝4(n＋1).

当n＝1时，也适合上式，所以an＝4(n＋1)(n∈N)． 于是

?是首项为8，公差为4的等差数列． ＝4(n＋1)，数列?

n＋1?n＋1?

2

*

2

2

2

2

*

na1a2anan?

an?

故＋＋…＋＝2n＋6n. 23n＋1[答案] 2n＋6n 二、解答题

3．(2014·江苏扬州月考)已知函数f(x)＝x－1，设曲线y＝f(x)在点(xn，yn)处的切线与x轴的交点为(xn＋1,0)，其中x1为正实数．

(1)用xn表示xn＋1； (2)x1＝2，若an＝lg

2

2

a1a2an2

xn＋1

，试证明：数列{an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； xn－1

nn＋

2

，记数列{an·bn}的前n项和Tn，求Tn.

(3)若数列{bn}的前n项和Sn＝

[解] (1)由题可得f′(x)＝2x，所以在曲线上点(xn，f(xn))处的切线方程为y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，

即y－(xn－1)＝2xn(x－xn)

令y＝0，得－(xn－1)＝2xn(xn＋1－xn)，即xn＋1＝2xnxn＋1，

2

2

2

x2n＋1

由题意得xn≠0，所以xn＋1＝.

2xnx2n＋1

(2)因为xn＋1＝，

2xnx2n＋1

＋12xnxn＋1＋1x2xn＋n＋2xn＋1

所以an＋1＝lg ＝lg2＝lg 2＝lg

xn＋1－1xn＋1xn－2xn＋1xn－

－12xnan＋1＝2an，

所以数列{an}为等比数列，故an＝a12

n－1

22＝2lg

xn＋1

＝2an，即xn－1

＝lg

x1＋1n－1n－1

·2＝2lg 3. x1－1

(3)当n＝1时，b1＝S1＝1，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝所以数列{bn}的通项公式为bn＝n， 故数列{an·bn}的通项公式为an·bn＝n·2∴Tn＝(1＋2×2＋3×2＋…＋n·2

2

2

nn＋

2

－nn－

2

＝n，

n－1

lg 3，

n－1

)lg 3，①

n①×2得2Tn＝(1×2＋2×2＋…＋n·2)lg 3，② ①－②得－Tn＝(1＋2＋2＋…＋2故Tn＝(n·2－2＋1)lg 3.

nn2

n－1

－n·2)lg 3，

n

(3)当n＝1时，b1＝S1＝1，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝所以数列{bn}的通项公式为bn＝n， 故数列{an·bn}的通项公式为an·bn＝n·2∴Tn＝(1＋2×2＋3×2＋…＋n·2

2

2

nn＋

2

－nn－

2

＝n，

n－1

lg 3，

n－1

)lg 3，①

n①×2得2Tn＝(1×2＋2×2＋…＋n·2)lg 3，② ①－②得－Tn＝(1＋2＋2＋…＋2故Tn＝(n·2－2＋1)lg 3.

nn2

n－1

－n·2)lg 3，

n

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