数学物理方程学习指导书第4章分离变量法剖析 - 图文

第4章 分离变量法

物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.

从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题，分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件（当然也包括第二类边界条件）.在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题，本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结.

4.1 有界弦的自由振动

为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题.

根据第3章所得的结论，讨论两端固定的弦的自由振动，就归结为求解下列定解问题

2??2u2?u?2?a,0?x?l,t?0;2?t?x??ux?l?0;?ux?0?0,??u??(x),?u??(x).t?0??tt?0? (4.1)(4.2) (4.3)

这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解这样的问题，可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件.这就启发我们，要解问题(4.1),(4.2),(4.3)，先寻求齐次方程（4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3).

现在我们试求方程(4.1)的变量分离形式u(x,t)?X(x)T(t)的非零解，并要求它满足齐次边界条件(4.2),式中X(x),T(t)分别表示仅与x有关及仅与t有关的待定函数. 由

u(x,t)?X(x)T(t)

得

?2u?2u?X''(x)T(t),2?X(x)T''(t), ?x2?t

代入方程(4.1)得

X(x)T??(t)?a2X??(x)T(t)

或

X??(x)T??(t) ?X(x)a2T(t)这个式子左端仅是x的函数，右端仅是t的函数，一般情况下二者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等.令此常数为?，则有

X??(x)T??(t)?2??.

X(x)aT(t)这样我们得到两个常微分方程：

T??(t)??a2T(t)?0, （4.4）

X??(x)??X(x)?0. （4.5）

再利用边界条件(4.2)，由于u(x,t)?X(x)T(t))，故有

X(0)T(t)?0,X(l)T(t)?0.

但T(t)?0,因为如果T(t)?0，则u(x,t)?0，这种解显然不是我们所要求的，所以

X(0)?0,X(l)?0. （4.6）

因此，要求方程（4.1）满足条件(4.2)的分离变量形式的解，就先要从方程

?X''(x)??X(x)?0, ?X(0)?X(l)?0?中解出X(x).

现在我们就来求非零解X(x)，但要求出X(x)并不是一个简单的问题，因为方程(4.5)中含有一个待定常数?，所以我们的任务既要确定?取何值时方程(4.5)才有满足条件(4.6)的非零解，又要求出这个非零数X(x).这种常微分方程问题称为固有值问题，?称为特征值（固有值，本征值），函数X(x)称为特征函数（固有函数，本征函数）.下面根据第1章所介绍的方法，我们对?分三种情况来讨论.

1°?＞0，此时方程(4.5)的通解为

X(x)?Ae?x?Be??x.

由条件(4.6)得

A?B?0，

Ae?l?Be??l?0.

解出A,B得

A?B?0，

即X(x)?0，不符合非零解的要求，因此?不能大于零.

2°设?=0，此时方程(4.5)的通解为

X(x)?Ax?B，

由条件(4.6)还是得A?B?0，所以?也不能等于零.

3°设?＜0，并令????2,?为非零实数.此时方程(4.5)的通解为

X(x)?Acos?x?Bsin?x,

由条件(4.6)得

A?0, Bsin?l?0.

由于B不能为零（否则X(x)?0），所以sin?l?0,即

??n?.l(n?1,2,3,?),

（n为负整数可以不必考虑，因为例如n??1,Bsin式）从而

?2?2?x实际上还是B?sinx的形lln2?2???2, （4.7）

l这样，我们就求出了一系列固有值及相应的固有函数：

n2?2?n??2.lXn(x)?Bnsinn?xl(n?1,2,3,?),

(n?1,2,3,?), （4.8）

限定了?的值后，现在再来求函数T(t)，以(4.7)式中的?值代入方程(4.4)中得

222an?Tn??(t)?T(t)?0, 2l显然，其通解为

'Tn(t)?Cncosn?atn?at'?Dnsinll(n?1,2,3,?). （4.9）

于是由(4.8)，（4.9）得到满足方程(4.1)及边界条件(4.2)的一组变量被分离的特解

n?atn?at?n?x?un(x,t)??Cncos?Dnsinsinll?l??(n?1,2,3,?), (4.10)

其中Cn?BnCn?,Dn?BnDn?是任意常数，至此，我们的第一步工作已经完成了，求出了既满足方程(4.1)又满足边界条件(4.2)的无穷多个特解.为了求原定解问题的解，还需要满足

条件(4.3).由(4.10)式所确定的一组函数虽然已经满足方程(4.1)及条件(4.2)，但不一定满足初始条件(4.3).为了求出原问题的解，首先我们将（4.10）中所有函数un(x,t)叠加起来

u(x,t)??un(x,t)

n?1? ?n?an?a??Ccost?Dsin???nnll?n?1??n? sinx , （4.11）

l如果(4.11)右端的无穷级数是收敛的，而且关于x,t都能逐项微分两次，则它的和u(x,t)也满足方程(4.1)和条件（4.2)（参考习题三第6题）.现在我们要适当选择Cn,Dn，使函数u(x,t)也满足初始条件（4.3），为此必须有

u(x,t)t?0?u(x,0)??Cnsinn?1?n?x??(x), l??un?an???Dnsinx??(x), ?tt?0n?1ll因为?(x),?(x)是定义在[0,l]上的函数，所在只要选取Cn为?(x)的傅氏正弦级数展开式的系数，

n?aDn为?(x)的傅氏正弦级数展开式的系数，也就是 l2ln??C??(x)sinxdx,??nl?0l （4.12） ?ln??D?2?(x)sinxdx.n?n?a?0l?初始条件(4.3)就能满足，以(4.12)所确定的Cn,Dn代入(4.11)式，即得原定解解问题的解.

当然，如上所述，要使(4.11)式所确定的函数u(x,t)确定是问题(4.1)，(4.2)，(2.3)的解，除了其中的系数Cn,Dn必须由(4.12)确定以外，还要求只要对函数?(x)及?(x)加一些条件就能满足，可以证明（参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》第二章§1），如果?(x)三

次连续可微，?(x)二次连续可微，且?(0)??(l)????(0)????(l)??(0)??(l)?0，则问题(4.1)，(4.2)，（4.3)的解存在.并且这个解可以用(4.11)给出，其中Cn,Dn由（4.12）式确定??.

从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数与运用叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因为偏微分方程与边界条件都是齐次的，这一点希望读者一定要注意.

例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为?(x)?求弦作微小横向振动时的位移.

解 设位移函数为u(x,t)，它是下列定解解问题

2??2u2?u?2?a,0?x?10,t?0;2?t?x?? ?ux?0?0,ux?10?0;??u?x(10?x),?u?0l?0?1000?tt?0?2的解，这时l?10，并给定a?10000（这个数字与弦的材料、张力有关）.

x(10?x)，

1000显然，这个问题的傅氏级数形式解可由(4.11)给出，其系数按（4.12）式为

Dn?0,Cn?101n?x(10?x)sinxdx ?05000102?33(1?cosn?)5n?当n为偶数?0,???4, 当n为奇数??5n3?3因此，所求的解为

u(x,t)?45?3?(2n?1)n?0?1sin3(2n?1)?xcos10(2n?1)?t.

10为了加深理解，下面我们扼要地分析一下级数形式解(4.11)的物理意义，先分析一下级数中每一项

n?an?a?n??u(x,t)??Cncost?Dnsint?sinx

lll?? ??

这里所讲的结论经适当修改即可用于下面几节将要讨论的定解问题，所以，本书中凡是用分离变量法求

解的定解问题都假定它的定解条件具备一定的条件，保证定解问题的解可以表示成级数的形式，或者说可以运用叠加原理.

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