云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文科数学试题 Wor

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（三）

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

参考公式：

样本数据x1,x2,?,xn的标准差 s?1?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2? ?n?锥体体积公式

1V?Sh

3其中S为底面面积，h为高

球的表面积，体积公式

其中x为样本平均数 柱体体积公式V?Sh

S?4?R2，V?其中R为球的半径

43?R 3其中S为底面面积，h为高

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A??x|x?3k?1,k?N?，B??x|x?7,x?Q?，则A?B＝

A．?1,3,5? 2．在复平面内，复数

A．第四象限 C．第二象限

B．?1,4,7?

C．?4,7?

D．?3,5?

1?i3对应的点位于 1?iB．第三象限 D．第一象限

1 1 正视图

1 侧视图

??????3．已知a?(2,m)，b?(?1,m)，若(2a?b)?b，则|a|＝

A．4 B．3

C．2 D．1 4．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为

A．1

俯视图

开始 3B． 3D．

k?1,S?1 S?100? 否 C．3 23 3

x?2k 输出x 结束 是 5．执行如图2所示的程序框图，则输出的x的值是

A．8 C．4

B．6 D．3

S?S?k?3k k?k?1 6．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是

A．y?2 B．y?lg(x?|x|x2?1)

- 1 -

C．y?2x?2?x D．y?lg1 x?16．已知条件p:x2?3x?4?0；条件q:x2?6x?9?m2?0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是

A．??1,1? C．???,?4???4,??? 7．下列说法正确的是

A．命题“若x?1，则x?1”的否命题为：“若x?1，则x?1” B．若命题p:?x?R,x2?2x?1?0，则命题?p:?x?R,x2?2x?1?0 C．命题“若x?y，则sinx?siny”的逆否命题为真命题 D．“x??1”是“x?5x?6?0”的必要不充分条件

222B．??4,4?

D．???,?1???1,???

?x?y?2?0,?8．实数对(x,y)满足不等式组?x?2y?5?0,若目标函数z?x?y的最大值与最小值之和为

?y?2?0,?A．6

B．7

C．9

D．10

229．记集合A?(x,y)|x?y?16和集合B??(x,y)|x?y?4?0,x?0,y?0?表示的平

??面区域分别为?1,?2若在区域?1内任取一点M(x,y)，则点M落在区域?2的概率为

A．

1 2?B．

1? C．

1 4D．

??2 4?10．设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a2??9，a3?a7??6，则当Sn取最小值时，n＝

A．9

11．对于函数f(x)?B．8

C．7

D．6

11(sinx?cosx)?|cosx?sinx|，则下列说法正确的是 22

A．该函数的值域是??1,1? B．当且仅当2k??x?2k??C．当且仅当x?2k???2(k?Z)时，f(x)?0

?2(k?Z)时，该函数取得最大值1

D．该函数是以?为最小正周期的周期函数

12．已知f(x)为R上的可导函数，且?x?R，均有f(x)?f?(x)，则有

- 2 -

A．e2013f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0) B．e2013f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0) C．e2013f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0) D．e2013f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0)

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组?13,14?，第二组

0.32 频率 0.38 组距 ?14,15?，??，第五组?17,18?．图3是按上述分组方法得到的

频率分布直方图，若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于 ．

14．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b?2，B?0.16 0.08 0.06 秒 13 14 15 16 17 18 ?3且csinA?3acosC，则△ABC的面积为 ．

y B 15．正三棱锥A?BCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为 ．

16．如图4，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A、B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB?AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 ．

F O A x 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和为Sn，且有a1?2，Sn?2an?2． （1）求数列an的通项公式；

（2）若bn?nan，求数列?bn?的前n项和为Tn．

- 3 -

18．（本小题满分12分）某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表： 喜欢统计课程 不喜欢统计课程 合计 男生 女生 合计 20 10 30 5 20 25 25 30 55 （1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？

（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率． 下面的临界值表供参考： P(K2?k) k 20.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.25 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 n(ad?bc)2（参考公式：K?，其中n?a?b?c?d）

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)19．（本小题满分12分）如图5，已知三棱锥A?BPC中，AP⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形． （1）求证：BC⊥平面APC；

（2）若BC?3，AB?10，求点B到平面DCM的距离． 20．（本小题满分12分）已知f(x)?xlnx，g(x)??x2?mx?3． （1）求f(x)在?t,t?2?(t?0)上的最小值；

（2）若对一切x??0,???，2f(x)?g(x)成立，求实数m的取值范围．

P D B A M C

x2y221．（本小题满分12分）已知直线y??x?1与椭圆2?2?1(a?b?0)ab相交于A、B两点． （1）若椭圆的离心率为

2，焦距为2，求线段AB的长； 2?????????12?（2）若向量OA与向量OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e??,?时，

22??求椭圆长轴长的最大值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】

- 4 -

如图6，在正△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，且AD?1AC，3A D E

F B C AE?2AB，BD,CE相交于点F． 3（1）求证：A,E,F,D四点共圆；

（2）若正△ABC的边长为2，求A,E,F,D所在圆的半径． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建

????x?1?2cos?,?立极坐标系．已知点M的极坐标为?42,?，曲线C的参数方程为?（?4????y?2sin?,为参数）．

（1）求直线OM的直角坐标方程；

（2）求点M到曲线C上的点的距离的最小值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数f(x)?|2x?1|?|2x?3|． （1）求不等式f(x)?6的解集；

（2）若关于x的不等式f(x)?|a?1|的解集非空，求实数a的取值范围．

- 5 -

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（三）

文科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 答案 【解析】

7}．故选B． 1．当k?0时，x?1；当k?1时，x?4；当k?2时，x?7，A?{1，4，1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 C 9 A 10 D 11 B 12 D 1?1i?1故选A. ?对应的点是?, ??，2?22?2???????3．因为(2a?b)?b，所以(2a?b)?b?0，即?5?m2?0，即m2?5，所以|a|?4?m2?3，

2．z?故选B．

4．由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为△PAC，是边长为2的正三角形，PD?平面ABC，且PD?3，底面△ABC为等腰直角三角形，AB?BC?2，所以体积为V?113?3??2?2?，故选C． 323图1

5．当k?1时，S?1?1?31?4；当k?2时，S?4?2?32?22；

当k?3时，S?22?3?33?103；当k?4时,输出x?2k?8.故选A．

6．根据奇偶性定义知，A、B为偶函数，C为奇函数，D定义域为{x|x??1}不关于原点对称，故选D．

7．选项A，否命题为“若x2?1，则x?1”；选项B，命题

?p“:?x?R，x2?2x?1≤0”；选项D，“x??1”是

“x2?5x?6?0”的充分不必要条件，故选C． 8．不等式组所表示的区域如图2所示，

- 6 -

则zmax?6,zmin?3.故选C．

图2

9．区域?1为圆心在原点，半径为4的圆，区域?2为等腰直角三角形，两腰长为4，所以

P?S?2S?1?81，故选A． ?16π2π10．?a3?a7?2a5??6,?a5??3， ??9?2n(?2)?n2? ?d?2,a，1 n?a6??1,a7?1,?S6最小. 故选D．

?sinx,sinx?cosx,11.f(x)??由图象知，函数值域为

cosx,sinx≥cosx,??2??1，??，A错；当且仅当

2??x?2kπ?2π，C错；最小正周期为2π，D错．故选B． (k?Z)时，该函数取得最大值24f?(x)ex?(ex)?f(x)f?(x)?f(x)f(x)?12．构造函数g(x)?x,则g?(x)?，

(ex)2exe因为?x?R,均有f(x)?f?(x)，并且ex?0，所以g?(x)?0，故函数g(x)?单调递减，所以g(?2013)?g(0)，g(2013)?g(0)， 即

f(x)在R上xef(?2013)f(2013) ?f(0)，?f(0)，e?2013e2013也就是e2013f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0)，故选D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号 答案 【解析】

13．(0.16?0.38)?1?50?27． 14．?c?sinA?3a?cosC，

13 27 14 3 15 16 1?5 216π 3 - 7 -

由正弦定理得：sinC?sinA?3sinA?cosC. ?sinA?0,?sinC?3cosC， ?tanC?3，又?△ABC是锐角三角形

?A?B?C?π， 3?S△ABC?13?2?2??3． 2215．如图3，设三棱锥A?BCD的外接球球心为O，半径为r，

BC=CD=BD=3，AB=AC=AD=2，AM?平面BCD，M为正△BCD的中心，则DM=1，AM=3，OA=OD=r，所以

(3?r)2?1?r2，解得r?23，所以S?4πr2?16π． 3图3

16．由图知，(a?c)2?(b2?c2)?c2，整理得c2?ac?a2?0，即e2?e?1?0，解得e?故e?1?5． 21?5，2三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）?Sn?2an?2，?Sn?1?2an?1?2(n≥2) ， ?an?2an?1,an?2(n≥2)． an?1又?a1?2，?{an}是以2为首项,2为公比的等比数列，

?an?2?2n?1?2n． ?????????????????????????（5分）（Ⅱ）bn?n?2n，

Tn?1?21?2?22?3?23???n?2n， 2Tn?1?22?2?23???(n?1)?2n?n?2n?1．

两式相减得：?Tn?21?22???2n?n?2n?1， 2(1?2n)??Tn??n?2n?1?(1?n)?2n?1?2，

1?2 - 8 -

（12分） ?Tn?2?(n?1)?2n?1． ???????????????????????18．（本小题满分12分）

55?(20?20?10?5)2?11.978?7.879， 解：（Ⅰ）由公式K?30?25?25?302所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． ?????????（6分） （Ⅱ）设所抽样本中有m个男生，则

6m?，得m?4人，所以样本中有4个男生，2个3020女生，分别记作B1,B2,B3,B4,G1,G2.从中任选2人的基本事件有(B1,B2)、(B1,B3)、 (B1,B4)、(B1,G1)、(B1,G2)、(B2,B3)、(B2,B4)、(B2,G1)、(B2,G2)、(B3,B4)、

(B3,G1)、(B3,G2)、(B4,G1)、(B4,G2)、(G1,G2)，共15个，其中恰有1名男生和1名女(B1,G2)、(B2,G1)、(B2,G2)、(B3,G1)、(B3,G2)、(B4,G1)、 生的事件有(B1,G1)、(B4,G2)，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为P?8． ???（12分） 1519．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图4，∵△PMB为正三角形， 且D为PB的中点，∴MD⊥PB． 又∵M为AB的中点，D为PB的中点， ∴MD//AP，∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC， ∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC?AP?A，

∴BC⊥平面APC， ?????????????????????????（6分） （Ⅱ）解：记点B到平面MDC的距离为h，则有VM?BCD?VB?MDC. ∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，BC?PC，?PC?4， ∴S△BDC?又MD?图4

11S△PBC?PC?BC?3． 2415353，?VM?BCD?MD?S△BDC?．

322在△PBC中，CD?15PB?， 22

- 9 -

又?MD?DC，?S△MDC??VB?MDC?125MD?DC?3， 2811255312h?S△MDC??h?3?,?h?， 33825即点B到平面MDC的距离为20．（本小题满分12分）

12． ?????????????????（12分） 51解：（Ⅰ）f?(x)?lnx?1，令f?(x)?0，得x?．

e?1?当x??0,?,f?(x)?0,f(x)单调递减；

?e??1?当x??,???,f?(x)?0,f(x)单调递增．

?e?1因为t?0,t?2?2?，

e11?1?（1）当0?t?时，f(x)min?f????；

ee?e?1（2）当t≥时，f(x)min?f(t)?tlnt.

e1?1?,0?t?,??ee?? ???????????????????（6分）

1?tlnt,t≥.?e?所以f(x)min（Ⅱ）由2xlnx≥?x2?mx?3得m≤2lnx?x?设h(x)?2lnx?x?3. x. 令h?(x)?0，得x?1或x??3（舍），

(x?3()x1)?3则h?(x)?(x?0)，

xx2当x?(0,1)时，h?(x)?0，h(x)单调递减；当x?(1,??)时，h?(x)?0，h(x)单调递增，所以h(x)min?h(1)?4. 所以m≤h(x)min?4. ?????????????（12分） 21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）e?2，2c?2，?a?2，c?1, 2则b?a2?c2?1,

x2?椭圆的方程为?y=1,

2?x2??y=1，联立?2消去y得：3x2?4x?0，设A(x1，y1),B(x2，y2)，

?y??x?1，? - 10 -

1?4?42. ?????????????????则A?,??,B(0,1),?AB?（6分）

333??（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2).

?????????????????OA?OB，?OA?OB=0，即x1x2?y1y2?0，

?x2y2?1，??由?a2b2消去y得(a2?b2)x2?2a2x?a2(1?b2)?0， ?y??x?1，?由?=(?2a2)2?4a2(a2?b2)(1?b2)?0，整理得a2?b2?1， a2(1?b2)2a2又x1?x2?2，x1x2?2，

a?b2a?b2?y1y2?(?x1?1)(?x2?1)?x1x2?(x1+x2)+1， 由x1x2?y1y2?0得2x1x2?(x1?x2)?1?0， 2a2(1?b2)2a2??2?1?0，

a2?b2a?b2 整理得：a2?b2?2a2b2?0，?b2?a2?c2?a2?a2e2，代入上式得 2a2?1?11?12，?a?1??2?1?e21?e2??， ?1211?≤e≤，?≤e2≤， 22421341?≤1?e2≤，?≤≤2， 2431?e271?≤1?≤3， 31?e273 ?≤a2≤，适合条件a2?b2?1，62由此得42642≤a≤，?≤2a≤6， 623故长轴长的最大值为6. ??????????????????????（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

（Ⅰ）证明：? AE?21AB，?BE?AB.33 1AC，?AD?BE. 3?在正△ABC中，AD? - 11 -

又?AB?BC，?BAD??CBE，

?△BAD≌△CBE， ??ADB??BEC，

即?ADF??AEF?π，

所以A，E，F，D四点共圆． ???????????????????（5分） （Ⅱ）解：如图5，取AE的中点G，连结GD， 则AG?GE?1AE. 2?AE?2AB， 3图5

12?AG?GE?AB?.

33?AD?12AC?，?DAE?60?， 33?△AGD为正三角形，

2?GD?AG?AD?,3 2即GA?GE?GD?,

3所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为

2． 32． 3由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为

???????????????????????????（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】

π??解：（Ⅰ）由点M的极坐标为?42,?，得点M的直角坐标为(4，4)，

4??所以直线OM的直角坐标方程为y?x． ??????????????（4分）

??x?1?2cos?,（Ⅱ）由曲线C的参数方程?(?为参数)，

??y?2sin?化成普通方程为：(x?1)?y?2， 圆心为A(1，0)，半径为r?222．

由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为

- 12 -

????????????????????????（10分） |MA|?r?5?2．

24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）原不等式等价于

331??1??x?,??≤x≤,?x??,或? 或?2222???(2x?1)?(2x?3)≤6??(2x?1)?(2x?3)≤6???(2x?1)?(2x?3)≤6，解之得

3131?x≤2或?≤x≤或?1≤x??， 2222即不等式的解集为{x|?1≤x≤2}． ??????????????????（5分） （Ⅱ）?f(x)?2x?1?2x?3≥(2x?1)?(2x?3)?4，

?a?1?4，解此不等式得a??3或a?5． ??????????????（10分）

- 13 -

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