甘肃省兰州一中2016届高三（上）期中数学试卷（文科）（版）资料

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甘肃省兰州一中高三10月试卷推荐度：
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2015-2016学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}．则（?RA）∩B=（） A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2} 2．已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为

的奇函数 D．最小正周期为

的偶函数

3．下列说法中，正确的是（）

A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题

B．设α，β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件 C．命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＜0” D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件 4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+2与2﹣平行，则?=（） A．﹣ B．﹣ C．

D．

，则（）

5．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

6．已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为（） A．﹣ B．

C．﹣

D．

7．设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x?f（x）＜0的解集是（）

A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3} C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3} 8．为得到函数y=cos（2x+A．向左平移C．向左平移

）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

个单位长度个单位长度

个单位长度 B．向右平移个单位长度

D．向右平移

9．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（） A．B．（﹣3，0）∪（3，+∞）（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）

第1页（共19页）

A． B． C． D．

11．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果

实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（）

A．C．（9，49） B．（13，49）（9，25） D．（3，7） 12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（） A．[，+∞）

B．（﹣∞，]

C．[，+∞）

D．（﹣∞，﹣]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若=λ+μ，则λ+μ= ． 14．若cos（

）﹣sinα=

，则sin（

）= ．

，则||= ．

15．已知向量，满足||=1，|+|=，且，的夹角为

16．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知

=（cos+sin，﹣sin），

=（cos﹣sin，2cos）．

（1）设f（x）=，求f（x）的最小正周期和单调递减区间；

，

]，且f（x1）=f（x2）=1，求x1+x2的值．

（2）设有不相等的两个实数x1，x2∈[﹣

18．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不

PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．得超过35微克/立方米，某城市环保部

门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：

PM2.5浓度（微克/立方米）组别频数（天）频率 3 0.15 第一组（0，25] 12 0.6 第二组（25，50] 3 0.15 第三组（50，75] 2 0.1 第四组（75，100）（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

第2页（共19页）

19．PD=DC=2，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；

（Ⅱ）求三梭锥A一BDP的体积．

20．已知A，B，C是椭圆m： +=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，

0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||．（1）求椭圆m的方程；

（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围． 21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．

（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）在（1）的条件下，求证：g（x）＞f（x）﹣2ln2．

选考题（本小题10分）请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．

（1）若CG=1，CD=4．求（2）求证：FG∥AC．

的值．

[选修4～4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数），在极坐标系（与

直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．

（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．

第3页（共19页）

[选修4～5：不等式选讲]

24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；

（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．

第4页（共19页）

2015-2016学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷

（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}．则（?RA）∩B=（） A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|1＜x＜2} 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】已知集合A={x|x＞1}，算出?RA，然后根据交集的定义进行求解．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，

∴?RA={x|x≤1}，∵B={x|﹣1＜x＜2}， ∴（?RA）∩B={x|﹣1＜x≤1}，故选B．

2．已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为

的奇函数 D．最小正周期为

的偶函数

【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．【分析】先对函数化简可得f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x=

，由周期公式可求T，再检验f（﹣x）与f（x）的

关系即可判断奇偶性

【解答】解：∵f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x =sin2xcos2x+==

由周期公式可得T=π，且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x，即函数f（x）为奇函数故选A

3．下列说法中，正确的是（）

A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题

B．设α，β为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件 C．命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＜0” D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假．

第5页（共19页）

【分析】命题A找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题C是写特称命题的否定，应是全称命题；选项B是考查的线面垂直的判定；D可举反例分析．

【解答】解：命题“若a＜b，则am2＜bm2”的逆命题是，若“am2＜bm2，则a＜b”，此命题为真命题，所以命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题，所以A不正确．

设α，β为两个不同的平面，直线l?α，若l⊥β，根据线面垂直的判定，由α⊥β，反之，不一定成立，所以B正确．

命题“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是全程命题，为?x∈R，x2﹣x≤0，所以C不正确．由x＞1不能得到x＞2，如

，

，反之，由x＞2能得到x＞1，所以“x＞1”是“x

＞2”的必要不充分要条件，故D不正确．故选B．

4．设向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+2与2﹣平行，则?=（） A．﹣ B．﹣ C．

D．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】求出向量+2与2﹣的坐标，根据向量平行列方程解出m，再计算【解答】解：

=（2m﹣1，4），2

=（﹣2﹣m，3）．

．

∵向量+2与2﹣平行，

∴3（2m﹣1）﹣4（﹣2﹣m）=0，解得m=﹣． ∴

=﹣m+2=．

故选：D．

5．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin

，则（）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【考点】对数函数的单调区间；对数的运算性质．

【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．【解答】解：

，

由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A

6．已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为（） A．﹣ B．

C．﹣

D．

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．

第6页（共19页）

y=﹣6sin30°=﹣3，r=|OP|=【解答】解：由题意可得x=﹣8m，cosα==，

=﹣，解得m=，

故选：B．

7．设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x?f（x）＜0的解集是（）

A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3} C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3} 【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】由x?f（x）＜0对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式x?f（x）＜0转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．

【解答】解；∵f（x）是奇函数，f（﹣3）=0，且在（0，+∞）内是增函数， ∴f（3）=0，且在（﹣∞，0）内是增函数， ∵x?f（x）＜0

∴1°当x＞0时，f（x）＜0=f（3） ∴0＜x＜3

2°当x＜0时，f（x）＞0=f（﹣3） ∴﹣3＜x＜0．

3°当x=0时，不等式的解集为?．

综上，x?f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜3或﹣3＜x＜0}．故选D．

8．为得到函数y=cos（2x+A．向左平移C．向左平移

）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

个单位长度个单位长度

个单位长度 B．向右平移个单位长度

D．向右平移

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移（2x+=cos（2x+故选：A．

第7页（共19页）

个单位长度，可得y=sin2（x+）=sin

）

）的图象，

【考点】函数奇偶性的性质；导数的运算；不等式．

【分析】先根据f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数，最后根据g（3）=0可求得答案．

【解答】解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0 故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，

∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数．

∵f（3）g（3）=0，∴f（﹣3）g（﹣3）=0

所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3 故选D．

10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）

A． B． C． D．

【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，|

|=|

|=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所

以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以与OB的中点，可得x+y=

，下同法一

|=|

，有λ+μ=1，由M、N分别为OA

【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，|∴=x+y

|=1时，建立直角坐标系，

得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以∴x+y=

原题转化为：当x

时，求x2+y2的最小值问题，

，有λ+μ=1，

第8页（共19页）

∵y=∴x2+y2=

结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B

11．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果

实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（）

A．C．（9，49） B．（13，49）（9，25） D．（3，7）【考点】函数单调性的性质．

【分析】根据对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+21）＜f（﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围，利用m2+n2 表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方，即可求得m2+n2 的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立， ∴f（﹣x）=﹣f（x），

∵f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，

∴f（m2﹣6m+21）＜﹣f（n2﹣8n）=f（﹣n2+8n）， ∵f（x）是定义在R上的增函数， ∴m2﹣6m+21＜﹣n2+8n， ∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4

∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2，

∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的取值范围为（5﹣2，5+2），即（3，7）， ∵m2+n2 表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方， ∴m2+n2 的取值范围是（9，49）．故选：A．

12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若?x1∈[0，3]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（） A．[，+∞）

B．（﹣∞，]

C．[，+∞）

D．（﹣∞，﹣]

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．

【解答】解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]； x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．

第9页（共19页）

故只需0≥﹣m?m≥．

故选A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若=λ

+μ

，则λ+μ=

．

【考点】空间向量的基本定理及其意义．

=?【分析】因为AB=2，BC=3，∠ABC=60°，所以

O为AD的中点，且=λ+μ，可得=2λ+2μ，从而λ=3μ．接下来利用

﹣

，结合

与

cos120°=﹣3，再根据=﹣6λ+18μ=0，得

是共线向量，可算得λ=，代入上式得μ=，

最终得到λ+μ的值为．

【解答】解：∵AB=2，BC=3，∠ABC=60°，

=cos120°=﹣3 ?∴

∵O为AD的中点， =λ+μ， ∴=2=2λ+2μ，

=（2λ+2μ）?=2λ?+2μ可得

∵AD为BC边上的高，与互相垂直

=0，即﹣6λ+18μ=0，得λ=3μ…① ∴

又∵=2λ+2μ， =﹣ ∴=（2λ﹣1）+2μ，而

与

=﹣6λ+18μ

是共线向量，可得2λ﹣1=0，所以λ=，再代入①，得μ=

∴λ+μ的值为故答案为．

14．若cos（

）﹣sinα=

，则sin（

）=

．

【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据两角和的余弦公式以及辅助角公式将条件进行化简，利用三角函数的诱导公式即可得到结论．

第10页（共19页）

【解答】解：∵cos（sinα=

）﹣

=∴∵sin（∴sin（故答案为：

15．已知向量，满足||=1，|+|=【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由【解答】解：∵化为故答案为2．

16．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是函数f（x）的极大值点，则实数a的取值范围是 a＞﹣1 ．

【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣ax﹣b，由f'（1）=0，得b=1﹣a．所以f'（x）=

，由此能求出a的取值范围．，可得

，∴，解得

．

，代入解出即可．，∴

，

，且，的夹角为

，则||= 2 ．

=，）=sin（）=，

）=

，

【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣ax﹣b，由f'（1）=0，得b=1﹣a．所以f'（x）=

．

①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x=1是f（x）的极大值点．

第11页（共19页）

②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=﹣．

因为x=1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．

综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知

=（cos+sin，﹣sin），

=（cos﹣sin，2cos）．

（1）设f（x）=，求f（x）的最小正周期和单调递减区间；

，

]，且f（x1）=f（x2）=1，求x1+x2的值．

（2）设有不相等的两个实数x1，x2∈[﹣

【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）欲求f（x）的最小正周期，先计算平面向量的向量积，再利用三角函数相关性质化简，最后利用公式求出单调递减区间．（Ⅱ）由于实数即可得到x1+x2的值．【解答】解：（Ⅰ）由==

=cosx﹣sinx==

，根据所求出的三角函数性质求出这两个实数，求出最小正周期；根据化简得到的三角函数性质易

得f（x）

．

所以f（x）的最小正周期T=2π，又由得

故f（x）的单调递减区间是（Ⅱ）由f（x）=1得故又

．，于是有

，得

，

，k∈Z，，k∈Z、

（k∈Z）、．

第12页（共19页）

所以．

18．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不

PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．得超过35微克/立方米，某城市环保部

门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：

（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（Ⅰ）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；

（Ⅱ）利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．

所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种． …

其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种． … 所以所求的概率P=

． …

12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：

（微克/立方米）．…

因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． …

19．PD=DC=2，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；

（Ⅱ）求三梭锥A一BDP的体积．

【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

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【分析】（I）根据中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证明PA∥平面BDE；

（II）利用三棱锥的换底性，代入数据计算可得答案．【解答】解：（I）证明：连接AC交BD于O，连接OE， ∵ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E是PC的中点，∴OE∥PA，

PA?平面BDE，OE?平面BDE，∴PA∥平面BDE；

（II）∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD为三棱锥P﹣ABD的高，PD=DC=2， ∴VA﹣BDP=VP﹣ABD=×S△ABD×PD=××2×2×2=．

20．已知A，B，C是椭圆m：

=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2

，

0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||．（1）求椭圆m的方程；

（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．

【分析】（1）如图，点A是椭圆m的右顶点，∴a=2；由?

=0，得AC⊥BC；由=2和椭圆的对称性，得C的坐标，把C点的坐标代入椭圆标准方程，可求得．

=；这样，可以得出点

（2）如图，过点M的直线l，与椭圆m交于两点P，Q；当斜率k=0

时，点M在椭圆内，则﹣2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x1+x2

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的值可得PQ的中点H坐标，由等式②；

由①②可得t的范围．

=，得DH⊥PQ，所以斜率，这样得

【解答】解（1）如图所示，

∵又由a=

=2，且BC过点O（0，0），则?=0，∴∠OCA=90°，且A（2，0），则点C

，可设椭圆的方程m：

；

，

将C点坐标代入方程m，得

，解得c2=8，b2=4；

∴椭圆m的方程为：；

（2）如图所示，

由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t）， ∴1°当k=0时，显然﹣2＜t＜2， 2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则

，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12=0；

由△＞0，可得t2＜4+12k2 ① 设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ的中点为H（x0，y0）；则x0=

=﹣

，y0=kx0+t=

，∴H

；

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由

，∴DH⊥PQ，则kDH=﹣，∴

=﹣；

∴t=1+3k2 ②

∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；综上，得t∈（﹣2，4）．

21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．

（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）在（1）的条件下，求证：g（x）＞f（x）﹣2ln2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，由已知得到f（x）在x=1处的导数为0，即可求b的值；（2）设F（x）=g（x）﹣f（x）+2ln2=x2﹣（x﹣）+2lnx+2ln2，求导数，确定函数的单调性，即可证明结论．【解答】解：（1）当a=1时，由已知得到f（x）在x=1处的导数为0．而f'（x）=1+

﹣，所以f'（1）=2﹣b=0，从而b=2．

（2）设F（x）=g（x）﹣f（x）+2ln2=x2﹣（x﹣）+2lnx+2ln2

F'（x）=2x﹣1﹣+=

设w（x）=2x3﹣x2+2x﹣1，（x＞0）w'（x）=6x2﹣2x+2=2（3x2﹣x+1）恒＞0，即有w（x）在x＞0上是增函数．又因为w（x）=（2x﹣1）（x2+1），可知w（）=0，

则当x∈（0，）时，w（x）＜0；当x∈（，+∞）时，w（x）＞0

所以当x∈（0，）时，F（x）单调减；当x∈（，+∞）时，F（x）单调增．所以F（x）≥F（）=＞0，

∴g（x）＞f（x）﹣2ln2．

选考题（本小题10分）请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．

（1）若CG=1，CD=4．求

的值．

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