天体运动练习题

万有引力定律及其应用

【知识网络】

1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）

丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。

第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；

第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即

rT

32

k.

例1.2011-海南-12 2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗导航系统同步卫星和GPS导航的轨道半径分别为R和R速度分别为和a，则R1:R2=_____。a1:a2=_____（可用根式表示）

2

2

，向心加

T1 3 答案：

R2 T2

R1

R a

，1 1

a2 R2

T1

2

2

2

解析：主要考查开普勒第三定律。

2

T

GMm4

R 由得： R

ma 2，22

RT

2

a

GMR

2

R1 T1 3

因而：

R2 T2

R a

，1 1

a2 R2

例2.2011-新课标-19.

卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105m/s，运行周期约为27天，地球半径约为6400千米，无线电信号传播速度为3x108m/s）（）

A.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s

答案：B

解析：主要考查开普勒第三定律。月球、地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律有

r2r1

33

T2T1

22

解得r2 r1 T2T1

sv

22

，代入数据求得r2 4.2 10m.如图所示，发出信号至对方

7

接收到信号所需最短时间为t 例3.2008-四川卷-20．

R r2

C

22

，代入数据求得t=0.28s.所以正确答案是B。

1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得 人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×10m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×10m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是

A．0.6小时 B．1.6小时 C．4.0小时 D．24小时 答案：B

6

7

解析：由开普勒行星运动定律可知，

RT

32

恒量，所以

(r h)1

t1

2

3

r h 3

2

t2

2

，r为地球的半径，

h1、t1、h2、t2分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（24h），代入数据得：t1=1.6h．

【注意】：⑴开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，的另一恒量。

⑵行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做匀速圆周运动。

⑶开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，它们每一条都是经验定律，都

是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的。 2．万有引力定律内容

(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。

F G

Mmr

2

rT

32

k中比值k是由行星的量所决定

’

（1687年）

11

G 6.67 10它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1mN m/kg叫做引力常量，

22

时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。

万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡。

实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。

万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m，有mg G

mEmRE

2

（式中RE为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到mE

gREG

2

。

(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大

于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r是两球心间的距离．

当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F近为无穷大。

注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1kg的两个质点相距1m时相互作用的万有引力．

(3) 地球自转对地表物体重力的影响。

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为 的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力 F向

=mRcos ·ω（方向垂直于地轴指向地轴），而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，其方向与支持力N反向，应竖直向下，而不是指向地心。

由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极R逐渐减小，向心力mRcos ·ω2减小，重力逐渐增大，相应重力加速度g也逐渐增大。

2

在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有F＝F向＋m2g，所以m2g=F一F向＝G

m1m2r

2

－m2Rω

2自 。

物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F引和支持力N是一对平衡力，此时物体的重力mg＝N＝F引。

综上所述

重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很

小。

重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。

由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即

GmMR

2

≈mg

说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。 例1.2012-福建卷-16

一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v0假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 A．

mvGN

2

B.

mvGN

4

C．

NvGm

2

D.

NvGm

4

【解析】行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有

GMm R

2

2

m v

R

①

行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力有，

mvGN

4

GMmR

2

mg②

根据题意有N=mg③,解以上三式可得M ，选项B正确。

例2.2010-三中1模-16

2009年10月7日电，美国宇航局（NASA）的斯皮策（Spitzer）太空望远镜近期发现土星外

环绕着一个巨大的漫射环。该环比已知的由太空尘埃和冰块组成的土星环要大得多。据悉，这个由细小冰粒及尘埃组成的土星环温度接近-157°C，结构非常松散，难以反射光线，所以此前一直未被发现，而仅能被红外探测仪检测到。这一暗淡的土星环由微小粒子构成，环内侧距土星中心约600万公里，外侧距土星中心约1800万公里。若忽略微粒间的作用力，假设土环上的微粒均绕土星做圆周运动，则土环内侧、外侧微粒的 答案：B

解析：根据万有引力等于向心力公式计算，速度之比为

1::1

，角速度比为:1

（ ）

A．线速度之比为3:1 C．周期之比为1：1

B．角速度之比为1：1 D．向心加速度之比为9：1

，周期比是

，向心加速度之比为9：1

【注意】：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式

中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1kg的两个质点相距1m时相互作用的万有引力．

3.万有引力定律的应用：

（1）基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动，F万=F心(类似原子模型)

方法：轨道上正常转： GMmr

2

m

v

2

r

m r m

2

4 T

2

2

r

地面附近：G

Mm

2

R

例1.2011-浙江-19

= mg GM=gR (黄金代换式)

2

为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则 A. X星球的质量为M

4 r1GT1

22

2

B. X星球表面的重力加速度为gX

4 r1T1

2

C. 登陆舱在r1与r2轨道上运动是的速度大小之比为

v1v2

m1r2m2r1

D. 登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2 T1

答案：AD 解析：根据G

Mm1r1

2

r2r1

33

2

2 2Mm4 r1 2

、2 m ，可得M 、T2 T1 mr r 11 22 2

GT1r1 2 T T2

2

22

r2r1

33

，

故A、D正确；登陆舱在半径为r1的圆轨道上运动的向心加速度a r11

GMmr

2

2

4 r1T1

2

，此加速度与X

星球表面的重力加速度并不相等，故C错误；根据故C错误。

（2）天体表面重力加速度问题

m

v

2

r

，得v

GMr

，则

v1v2

r2r1

，

通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即mg＝G

MmR

2

， g=GM/R2常用来

计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即

r22

gh=GM/（R+h），比较得gh=（）·g

R h例1.2012年-新课标卷-21

假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A．1 【答案】A

【解析】在地面上质量为m的物体根据万有引力定律有:G

MmR

2

dR

B．1

dR

C．(

R dR

) D．(

2

RR d

)

2

mg ，从而得

43

G R

43

g G R。根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则矿井底部的物2

3R

体m′只受到其以下球体对它的万有引力同理有g

4

(R d)，式中2

3(R d) GM

4g R dd3

M(R d)。两式相除化简 1 。答案A。

3gRR

例2.2009-海南-6

近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T高度上的重力加速度大小分别为g、gA．

g1g2g1g

2

,设在卫星1、卫星2各自所在的

2

，则（ ）

g1g2g1g

2

T 1 T2

4/3

2

B．

T 2 T1

4/3

2

D．

T

1 T2

D．

T 2 T1

答案：B

解析：卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有

GMmR

2

GMmR

2

＝m(

2 T

43

)R,可得

2

TR

＝K为常

数，由重力等于万有引力＝mg，联立解得g

，则g与

T

成反比。

（3）计算中心天体的质量和密度

某星体m围绕中心天体m中做圆周运动的周期为T，圆周运动的轨道半径为r，则： 由G

m中mr

2

4 r 2

m r得：m中 2

GTT

2

23

例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。 可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。 ρ=

MV

=

M43

=

3

3 r

2

23

R

GTR

由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M．若知道行星的半径则可得行星的密度。

例1.2012四市联考

太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速度约为地球绕太阳公转速度的7倍，

其轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的2×109倍。为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系的所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量，则银河系中恒星的数目约为

A．10 B．10 C．10 D．10

15

13

11

9

答案C

解析：研究地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量． 例2.2010-安徽-17

为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器 “萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为圆轨道上运动时，周期分别为火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出 和h的T和T。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出

A．火星的密度和火星表面的重力加速度 B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C．火星的半径和“萤火一号”的质量

D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

答案：A

解析：由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有

2 2 Mm m(R h) mR h)，可求得火星的质量； (1222

(R h)(R h)1 T1 2 T2

Mm

2

2

4 (R h)4 (R h)12

M和火星的半

径R 22

GTGT12

2

3

2

3

，根据密度公式得：

MVGMR

2

M43

3M4 R

3

。在火星表面的物体有G

MmR

2

mg，可得火星表面的重力加速度

R3

g ，故选项A正确。

例3.2010-福建-14

火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为T，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为T

，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T、T

之比为

A.

答案：D

解析：设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在星球表面飞行时，由

GMmR

2

43 2 3

和，解得M V R m R

3GT T

2

2

，

即T

；又因为

MV

M43

MR

3

，所以T

T1T2

。

R3

4.人造地球卫星。

这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。

（1）卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内。

（2）原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有

GmMr

2

ma m

2

r

m r m(

2

2 T

)r

2

实际是牛顿第二定律的具体体现

（3）卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等： （a）向心加速度a向与r的平方成反比。

a向=

GMr

2

当r取其最小值时，a向取得最大值。 =g=9.8m/s2

a向max=

GMR

2

（b）线速度v与r的平方根成反比

v=

GMr

∴当h↑，v↓

当r取其最小值地球半径R时，v取得最大值。 vmax=（c）角速度 与r的三分之三次方成百比

GMR

=Rg=7.9km/s

=

GMr

3

∴当h↑，ω↓

当r取其最小值地球半径R时， 取得最大值。 （d）周期T与r的二分之三次方成正比。 T=2

r

3

max=

GMR

3

=

gR

≈1.23×10rad/s

－3

GM

∴当h↑，T↑

当r取其最小值地球半径R时，T取得最小值。 Tmin=2

R

3

GM

=2

Rg

≈84 min

例1.2012-银川一中一模-17．

2010年11月3日，我国发射的“嫦娥二号”卫星，开始在距月球表面约100 km的圆轨道上

进行长期的环月科学探测试验；2011年11月3日，交会对接成功的“天宫一号”和“神舟八号”连接体，在距地面约343 km的圆轨道上开始绕地球运行。已知月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的

16

，月球半径约为地球半径的

14

。将“嫦娥二号”和“天宫一－神

八连接体”在轨道上的运动都看作匀速圆周运动，用v1、T1和v2、T2分别表示“嫦娥二号”和“天宫一－神八连接体”在轨道上运行的速度、周期，则关于

v1v2

及T1T2

的值，最接近的是

（可能用到的数据：地球的半径R地=6400 km，地球表面的重力加速度g=9．8m/s2）

A

．

v1v2

B

．

v1v2

C

．

T1T2

D

．

T1T2

答案：C

解析：万有引力等于重力求出g，再由万有引力充当向心力求出v、T的比值。运动半径之比约等于半径比。

例2.2009-四川-15 据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（ ） A.3.39答案：A

解析：小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有

3

13

B.3.39

12

32

C.3.392 D.3.3.93

GMmR

2

＝m(

2 T

)R，

2

可知小行星和地球绕太阳运行轨道半径之比为R1:R2

＝

，又根据V

，联立解得V1:V2

3

＝

，已知

TT

＝

13.39

3

，则V1:V2

＝

。

5.宇宙速度及其意义 (1)三个宇宙速度的值分别为

第一宇宙速度（又叫最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度）：

物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称环绕速度，其值为：v1 7.9km/s 第一宇宙速度的计算．

方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力． G

mM

r h

2

=m

v

2

r h

，v=

GMr h

。当h↑，v↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大

速度。其大小为r＞＞h

（地面附近）时，V1

．9×10m/s

3

方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．

mg m

v1

2

r h

gr

．当r＞＞h时．gh≈g

所以v1＝=7．9×103m/s

第二宇宙速度（脱离速度）：

如果卫生的速大于7.9km/s而小于 11.2km/s，卫星将做椭圆运动。当卫星的速度等于或大于11.2km/s的时候，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它行星上去，把v2 11.2km/s叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

第三宇宙速度：物体挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度，又称逃逸速度，其值为：v3 16.7km/s

(2)当发射速度v与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同 ①当v＜v1时，被发射物体最终仍将落回地面；

②当v1≤v＜v2时，被发射物体将环绕地球运动，成为地球卫星；

③当v2≤v＜v3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”； ④当v≥v3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。

例1.已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2=2GM

E

/RE，其中G、ME、RE分别是引

30

力常量、地球的质量和半径，已知G=6.67×10-11N·m2/kg2，c=2.9979×108m/s求下列问题：（1）逃逸的速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×10kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）；（2）在目前天文观测范围内，物质的平

均密度为10kg/m，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？

解析：（1）由题目提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v2= 中M、R为天体的质量和半径，对黑洞模型来说v2>c，所以R<

2GMc

2

-273

2GM/R

30

，其=2.94

=

2 6.67 10

11

1.98 10

8

2

(2.9979 10)

×103m,即质量为1.98×1030kg的黑洞的最大半径为2.94×103m.。

（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为M=ρ·V=ρ·πR3

34

其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为v2=得逃逸速度大于光速c即，v2>c 则由以上三式可得R>

3c

2

2GMR

，由于宇宙密度使

8 G

=4.01×1026m，合4.24×1010光年。

点评： 这是一道假设推理题，要求建立一个物理假象的模型，这能培养学生的想象力和处理解决问题的能力，同时这也是高考趋势的发展方向。《考试说明》要求考生：能够根据已知的知识和所给的物理事实、条件，对物理问题进行逻辑推理和论证，得出正确的结论或作出正确的判断，并能把推理过程表达出来，论证推理有助于加强对学生的推理能力的考查。 例2.2011-哈六中-三模-18

海王星是太阳系中围绕太阳旋转的天体。它的赤道直径为2344km、表面积为1700万平方千米、质量为1.290×1022kg、平均密度为1.1 g／cm3、表面重力加速度为0.6m／s2、自转周期为6天9小时17.6分、逃逸速度为1.22km／s，假设其绕太阳的运动可以按圆周运动处理。依据这些信息和已有知识，下列判断中正确的是

A．海王星的自转周期比地球的自转周期大

B．海王星的公转线速度一定比地球的公转线速度大

C．可以估算出太阳的质量

D．海王星上的物体至少应获得1.22 km／s的速度才能成为海王星的卫星 答案：A

解析：万有引力定律，1.22km/s属于第一宇宙速度，是发射速度。

6.同步卫星（所有的通迅卫星都为同步卫星）

⑴同步卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星），所以其周期等于地球自转周期，既T=24h，

⑵特点

（1）地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。

这是因为：不是赤道上方的某一轨道上跟着地球的自转同步地作匀速圆运动，卫星的向心力为地球对它引力的一个分力F1，而另一个分力F2的作用将使其运行轨道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。

（2）地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。 （3）同步卫星必位于赤道上方h处，且h是一定的． GMmr

2

m r

2

GM

3

得r

2

故 h r R 35800km

（4）地球同步卫星的线速度：环绕速度 由G

Mmr

2

m

2

r

得v

GMr

3.08km/s

（5）运行方向一定自西向东运行 例1.2012-北京卷-18 关于环绕地球

运

动

的

卫

星

，

下

列

说

法

中

正

确

的

是

（ ）

A、分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B、沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C、在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D、沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

解析：所有的同步卫星都在同一个赤道轨道上运动，C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星它们的运行轨道面与赤道面的夹角可以不同，它们的轨道平面就不会重合，D错误；分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颖卫星，可能具有相同的周期，A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道的关于长轴对称的两个位置的速率相等，所以在轨道不同位置可能具有相同的速率是正确的。答案B。

例2.2011年-三省三校-二模-16．

通信卫星大多是相对地球“静止”的同步卫星，在地球周围均匀地配置3颗同步通信卫星，

通信范围就覆盖了几乎全部地球表面，可以实现全球通信。假设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，则下列说法中正确的是 （ ）

答案：AB

A．地球同步卫星运行的角速度与地球自转的角速度相等 B

C．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的n2倍

1

D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍（忽图地球自转影响）

n

解析：万有引力，同角速度时，线速度比等于半径比，c为n倍。加速度是平方的倒数。 例3.2012-海南卷-11

地球同步卫星到地心的距离r 可用质量M、地球自转周期T与引力常量G表示为r=____________.

分)．解析：由万有引力等于向心力得Mmr

2

2 2

m)r，其中T为同步卫星

T

的周期，等于地球的自转周期，解得r 7.天体运动中的变轨问题

．

天体运动的变轨问题涉及变轨过程和变轨前后天体的稳定运动，主要讨论天体在不同轨道上运动过程中的速度、加速度、周期等相关物理的分析与比较，解题时应注意两个关键，一是变轨过程中两轨道相切点的特点，二是天体从低轨道变轨运动到高轨道时天体的机械能增加。 例题1（10江苏卷）

2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

（B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 （C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 答案：ABC

解析：A为轨道Ⅱ与轨道Ⅰ的相切点，距离地心的距离相等，故卫星在A点处所受的万有引力大小相等，都为F G

Mm

2

rr

同故，D错误。B为轨道Ⅱ的近地点，A为远地点，由开普勒定律知，在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度，故A正确。 卫星由I轨道变到II轨道要减速，所以B正确。由的速度小于经

，由F G

Mm

2

ma知卫星从轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上通过A点时的加速相

过B的速度。根据开普勒定律，

RT

32

c，R2 R1，所以T2 T1。C正确。故正确答案为ABC。

例题2（10天津卷）

探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比

A.轨道半径变小 B.向心加速度变小

C.线速度变小 D.角速度变小

答案：A

解析：探测器变轨后在周期较小的轨道上运动，则可知探测器的轨道半径减小，A对。

根据G

mMr

2

m

Vr

2

m r m

2

4 rT

2

2

ma向得v

GMr

2

GMr

，可知变轨后飞船的线速度变

大，C错；由 案A。

GM

r

3

，角速度变大，D错，由a向

，向心加速度增大，B错。本题答

例3.2012-东北三校-15

很多国家发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后在Q

点点火，使其

沿椭圆轨道2运行，最后在P点再次点火，将卫星送人同步圆形轨道3运行。已知轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。若只考虑地球对卫星的引力作用，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法正确的是

A．若卫星在1．2、3轨道上正常运行时的周期分别为T1、T2、T3，则有T1＞T2＞T3 B、卫星沿轨道2由Q点运动到P点时引力做负功，卫星与地球组成的系统机械能守恒 C、根据公式v= t可知，卫生在轨道3上的运行速度大于在转产1上的运行速度 D

、根据t 答案：B

解析：这是一道卫星变轨问题，由于卫星沿克服引力，要轨道2由Q点运动到P点时引力做负功，卫星于地球的机械能守恒。

8.天体运动中的星系问题

天体运动中的星系问题主要有“双星”系与“多星”系。“双星”系是两颗星相距较近，它们绕着连线上的共同“中心”以相同的周期做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供提供做圆周运动的向心力。分析“双星”问题时，一是要确定双星运动的中心，依据卫星做圆周运动的轨道平面，求出轨道半径；二是求出卫星做圆周运动的向心力，同时要注意双星运动的特点，即双星的运动周期相等，向心力大小相等。“多星”系有指“三星”或“四星”等几种情况，其特点是星系中某个卫星在其他星球的引力共同作用下绕中心作圆周运动，同一系统中各天体间的距离不变，各星受到的向心力不一定相等，但其运动周期一定相同。在星系问题中要注意区分两个半径，即由万有引力规律求向心力时的引力半径与卫星绕中心天体做圆周运动的轨道半径。 例题1.（10全国卷1）

如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期。

（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常

常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

解析：⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有

m Mm M

GMm2 2M

m()L 对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得2

TM mL

m r M R，r R L，连立解得R

2

2

2上任意位置的速度都小于在轨道1上的运行速度。

m

L，r

M

L

化简得 T 2

L

3

G(M m)

⑵将地月看成双星，由⑴得T1 2

L

3

G(M m)

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得

L

3

GMmL

2

m(

2 T

2

)L

化简得 T2 2

GM

T2T1

m MM

5.98 10

24

所以两种周期的平方比值为(例题2.（06广东物理卷）

)

2

7.35 10

24

22

5.98 10

1.01

宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 解析：（1）第一种形式下，以某个运动星体为研究对象，由万有引力定律和牛顿第二定律，

得：

F1＝G

mR

22

F2＝G

m

22

(2R)

F1＋F2＝m

v

2

R

运动星体的线速度：v

周期为T

，则有：T

2 Rv

4 （2）第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体作圆周运动的半径为R/为 R/＝

r2cos30

由于星体作圆周运动所需的向心力靠两个星体的万有引力的合力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律，得： F合＝2

Gmr

22

cos30°

F向＝m

4

T

2

2

R

/

2G

ml

2

2

cos30°＝m

r2cos30

(

2 T2)

所以星体之间的距离为：

r 9.卫星运动中的超失重问题

卫星的运动经常涉及卫星的发射、运行和回收三个过程，这三个过程中由于重力在不同的阶段起着不同的作用，卫星或其内部的物体会发生不同程度的超失重现象．卫星通过火箭发射升空过程中向上加速，出现超重现象；进入轨道运行后，万有引力全部用于提供向心力，出现完全失重现象；卫星在回收进入地面，减速下降，出现超重现象，在超失重现象中卫星所受重力不变。 例题1.关于“神舟七号”飞船的运动，下列说法中正确的是( )

A．点火后飞船开始做直线运动时，如果认为火箭所受的空气阻力不随速度变化，同时认为推力F(向后喷气获得)不变，则火箭做匀加速直线运动 B．入轨后，飞船内的航天员处于平衡状态

C．入轨后，飞船内的航天员仍受到地球的引力用，但该引力小于航天员在地面时受到的地球对他的引力

D．返回地面将要着陆时，返回舱会开启反推火箭，这个阶段航天员处于失重状态

答案：C

解析：火箭上升过程中，离地越来越高，万有引力减小．根据牛顿第二定律F-f=ma，加速度将改变，因此不是匀加速．入轨后，航天员与飞船一起绕地球做圆周运动，所以不是平衡状态而是完全失重状态．返回时，减速下降，超重．所以正确答案为C。．

例题2.（06上海理综）

一艘宇宙飞船在预定轨道上做匀速圆周运动，在该飞船的密封舱内，下列实验能够进行的是

答案：C

解析：飞船在预定轨道上做匀速圆周运动，飞船内的一切物体都处于完全失重状态，与重力有关的现象现象都消失，故正确选项为C。

点评：卫星处于完全失重状态时与重力有关的现象现象都消失，卫星或卫星上的物体所受地球

引力全部作为环绕地球运动的向心力，因而不会产生与其他物体挤压、拉伸等形变效果。因此，卫星所携仪器凡工作原理与重力作用效果有关的，在卫星上均无法使用，其相关物理实验也不能完成，如天平称物体的质量，用弹簧秤测物体的重量，用打点计时器验证机械能守恒定律，用水银气压计测飞船上密闭仓内的气体压强等。

单元过关测试题

1．[2011·海淀模拟] 关于物体运动过程所遵循的规律或受力情况的判断，下列说法中不正确的是( )

A．月球绕地球运动的向心力与地球上的物体所受的重力是同一性质的力 B．月球绕地球运动时受到地球的引力和向心力的作用 C．物体在做曲线运动时一定要受到力的作用

D．物体仅在万有引力的作用下，可能做曲线运动，也可能做直线运动

2．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆．某火星探测器绕火星做匀速圆周运动，它的轨道距火星表面的高度等于火星的半径，它的运动周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )

A．ρ＝kT B．ρ＝ C．ρ＝kT2 D．ρ＝23．[2011·唐山模拟] 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的5倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－1122

N·m/kg，由此估算该行星的平均密度最接近 ( ) A．2.0×103 kg/m3 B．6.0×103 kg/m3 C．1.0×104 kg/m3 D．3.0×104 kg/m3

4．科学研究表明地球的自转在变慢．四亿年前，地球每年是400天，那时，地球每自转一周的时间为21.5小时，比现在要快3.5小时．据科学家们分析，地球自转变慢的原因主要有两个：一个是潮汐时海水与海岸碰撞、与海底摩擦而使能量变成内能；另一个是由于潮汐的作用，地球把部分自转能量传给了月球，使月球的机械能增加了(不考虑对月球自转的影响)．由此可以判断，与四亿年前相比月球绕地球公转的( )

A．半径增大 B．线速度增大 C．周期增大 D．角速度增大 技能强化

5．[2011·温州模拟] 如图K19－1为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0.长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期每隔t0时间发生一次最大偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运动轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同)，它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离，由此可推测未知行星B的运动轨道半径为(

)

kT

kT

图K19－1

A.

R0 t0－T0

3

t0

B．R0

t0－T02 t0

3C．R0D．R0

t02 t0－T0 t03 t0－T0

6．[2011·石家庄一模] 由于最近行星标准抬高了门槛，太阳系“缩编”，综合条件薄弱的冥王星被排挤出局．关于冥王星还有其他信息：它现在正处于温度较高的夏季，只有零下200摄氏度左右，号称“严寒地狱”，它的夏季时间相当于地球上的20年，除了夏季之外的其他季节，相当于地球上的228年，这颗星上的空气全被冻结，覆盖在其表面上，可认为是真空，但有一定的重力加速度，并假设其绕太阳的运动也可以按圆周运动处理．依据这些信息判断下列问题中正确的是( )

A．冥王星的公转半径一定比地球的公转半径大

B．冥王星的公转线速度一定比地球的公转线速度大

C．在冥王星上，从相同高度处同时释放的氢气球(轻质绝热材料制成，里面气体是气态的)和等大的石块都将竖直向下运动，且同时到达其表面

D．冥王星的公转半径一定比地球的公转半径小 7．如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2(θ1、θ2均为锐角)，则由此条件不能求出( )

图K19－2

A．水星和金星绕太阳运动的周期之比 B．水星和金星到太阳的距离之比 C．水星和金星的密度之比

D．水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比

8．[2011·杭州质检] 地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G.假设地球是

4

一个质量分布均匀的球体，体积为R3，则地球的平均密度是( )

3

3g3gA. B.4πGR4πGR2

C.

gg D.2 GRGR

9．如图K19－3所示，美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土

星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )

4π2R＋h33πR＋h3

A．Mρ＝ 223

GtGtR

4π2R＋h23πR＋h2

B．Mρ＝

Gt2Gt2R322323

4πtR＋h3πtR＋hC．M＝，ρ

gn2Gn2R3

4π2n2r＋h33πn2R＋h3

D．M＝，ρ

Gt2Gt2R3

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