宁夏银川九中2019届高三数学下册第一次模拟考试1

银川九中2019届高三第一次模拟考试 数学试卷（理科）（本试卷满分150分）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合M?{x|x2?1},N?{?2,?1,0,1,2}，则MN?

(A) {0} (B){2} (C) {?2,?1,1,2} (D){?2,2} 2．复数

i1?的实部与虚部的和为 1?i2i113(A) ? (B)1 (C) (D)

2223．在等差数列?an?中，已知a3?a5?2,a7?a10?a13?9,则此数列的公差为

(A)

111 (B)3 (C) (D) 3624. 如果双曲线经过点P(2,2)，且它的一条渐近线方程为y?x，那么该双曲线的方程是

3y2x2y2x2y2y2x2?1 (C)??1 (D)??1 ?1 (B)?(A)x?223622225．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a，则不等式ln(3a?1)?0成立的概率是 (A)

1211 (B) (C) (D) 3324222开始输入S=156．设a,b是两个非零向量,则“(a?b)?|a|?|b|”是“a?b”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

7．已知奇函数y?f(x)的图象关于直线x?2对称，且f(m)?3， 则f(m?4)的值为

i=1i>n？否S＝S(1-20%)i=i+1是1(A) 3 (B)0 (C)?3 (D)

38．函数f(x)?cos2x?cos4x的最大值和最小正周期分别为

输出S图1结束11?11?(A) ,? (B), (C),? (D),

4222429．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度

折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n?4时， 最后输出的S为

(A) 9.6 (B)7.68 (C)6.144 (D)4.9152

10．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为

(A) 54 (B)162 (C)54?183 (D)162?183

11．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ） （A）120 （B）240 （C）360 （D）480

?x2?4x,x?012．已知函数f(x)??，g(x)?kx?1，若方程f(x)?g(x)?0在x?(?2,2)有三个

xlnx,x?0?实根，则实数k的取值范围为（ ） （A）(1,ln2e) 3

（C）(,2)

2

3 （B）(ln2e,)

23 （D）(1,ln2e)U(,2)

2

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

?2x?y?4?0?x?y?3?013. 已知实数x，y满足?，则目标函数z?3y?2x的最大值为 ． ??x?0??y?01??14.在?1?x??x2??的展开式中，x3项的系数是 ．

x??15．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1 D1在半径为3的半球底面上，A、B、

C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为 ． 16．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1??1，

6an?1?Sn，则数列{an}的通项公式Sn?1an? ．

三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）

设数列?an?的前n项和Sn?2n?1，数列{bn}满足bn?1?n．

(n?1)log2an（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn．

18．（本小题满分12分）

某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为

[0,20),[20,40),

0.025频率/组距[40,60),[60,80),[80,100].

（Ⅰ）求直方图中x的值；

x0.003图图43

（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”， 0.002若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”； （Ⅲ）设m,n表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的

时间，且已知m,n?[40,60)?[80,100]，求事件“|m?n|?20”的概率. 19．（本小题满分12分）

如图3，在三棱柱ABC -A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的

等边三角形，D为AB中点．

（I）求证：BC1∥平面A1CD；

(II) 若四边形BCC1B1是正方形，且A1D=平面CBB1C1所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

B0时间（分钟）20406080100AA15,求直线A1D与

DC图3B1C1已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴的长为2，离心率等于25．

5（I）求椭圆C的方程；

（II）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA??1AF，

MB??2BF，求证：?1??2为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?alnx?（I）求a、b的值；

（II）当x?1时，不等式f(x)?

b(x?1)，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?2． x(x?k)lnx恒成立，求实数k的取值范围．

x?1

请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。做答时请用2B铅笔在答卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

C如图4，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP 交CB的延长线于P，已知?PAB?25．

O（I）若BC是⊙O的直径，求?D的大小； (II）若?DAE?25，求证：DA2?DC?BP．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

DEA图4BP2??x?tcos,??3在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?（t为参数），以

?y?4?tsin2?.?3?坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是??4． （I）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；

（II）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求?AOB的值． 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

已知函数f(x)?|x?2|.

（I）解不等式f(x)?f(x?1)?2；

（II）若a?0,求证：f(ax)?af(x)?f(2a).

银川九中2019届高三第二学期第一次月考 数学试卷（理科）（本试卷满分150分）

二、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1—4 D D A B 5—8 A C C B 9—12 C D C D 三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

??1,(n?1)?13. 9； 14. 20； 15.22； 16.?1

?n(n?1).(n?2)?三、解答题： 17、【解】

（Ⅰ）当n?1时，a1?S1?4 ………………………………………（2分）

由Sn?2n?1，得Sn?1?2n(n?2)，

∴an?Sn?Sn?1?2n?1?2n?2n(n?2) ∴an???4,n?1 ………………………（6分） n?2,n?2155?1?，∴T1? ………………………………（7分）

2log2444（Ⅱ）当n?1时，b1?当n?2时，

bn?1111?n??n???n ……………………………（8分）

n(n?1)nn?1(n?1)log22nTn???511111111?(?????+…+?)?(2?3?4?…?n) 4233445nn?1111111111?(?????+…+?)?(1?2?3?4?…?n) 4233445nn?131n(n?1) ……………………………………………………（11分） ??4n?1231n(n?1)上式对于n?1也成立，所以Tn??． ………………（12分） ?4n?1218.解：

（1）由20?(0.002?0.003?2?x?0.025)?1得x?0.017；-------------------2分 （Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20?(0.002?0.003)?0.1，-------------3分 不少于1小时的频数为1200?0.1?120，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；--5分 （Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50?20?0.003?3人，设为A,B,C；--6分 成绩在[80,100] 的人数为50?20?0.002?2人，设为x,y.-------------------7分 若m,n?[40,60)时，有AB,AC,BC三种情况；

若m,n?[80,100]时，只有xy一种情况；----------------------------------8分

若m,n分别在[40,60),[80,100]内时，则有Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy共有6种情况.所以基本事件总数为10种，---------------------------------------------------10分 事件“|m?n|?20”所包含的基本事件个数有6种.

∴P（|m?n|?20）=19.解

63?.-------------------------------------------12分 105（I)证法1：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE， 则E为AC1中点，-------------------------------2分 ∵D为AB的中点，∴DE∥BC1，------------------4分 ∵BC1?平面A1CD，DEì平面A1CD，-------------5分 ∴BC1∥平面A1CD. ------------------------------6分 【证法2：取A1B1中点D1，连结BD1和C1D1，------1分 ∵BD平行且等于A1D1 ∴四边形BDA1D1为平行四边形

∴A1D//BD1 ---------------------------------------------------2分 ∵A1D?平面ACD，BD1?平面ACD 11∴BD1//平面ACD,------------------------------3分 1同理可得C1D1//平面ACD------------------------4分 1∵BD1AD1CBB1C1A1//平面BD1C1 C1D1?D1 ∴平面ACD1又∵BC1?平面BD1C1

∴BC1∥平面A1CD. --------------------------6分】 (II)

D,--------------------------7分 AD2+A1A2=5=A1D2 \\A1A^AD， BC又B1B^BC,B1B//A1A \\A1A^又ADBC?B \\A1A^面ABC----------------------------------8分

法一：设BC的中点为O，B1C1的中点为O1，以O为原点，OB所在的直线为x轴，OO1所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O?xyz.----------------9分

骣13÷?÷,0,D?0,2,3则A，. ÷1?÷?22桫()zAA1∴A1D?(1,?2,?3),--------------------10分

22平面CBBC11的一个法向量n=(0,0,1),

15 |cos?A1D,n?|??.10|A1D|?|n||A1D?n|DOCO1C1yxBB1所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为

15.-----------------------12分 10【法二：取B1C1的中点H，连结A1H，则A1H?B1C1-----------------------7分

AA1∵AA1?面A1B1C1，故AA1?A1H,?BB1?A1H

B1C1?BB1?B1,?A1H?面BCC1B1------9分

延长A1D、B1B相交于点F，连结FH，

FDCHBB1C1则?A1FH为直线A1D与平面BCC1B1所成的角. --------------------------10分 因为D为AB的中点，故AF?25，又A1H?3 1?sin?A1FH?315 ?251015.---------------------12分】 10即直线A1D与平面BCC1B1所成的角的正弦值为

【法三：取B1C1的中点H，连结A1H，则A1H?B1C1-----------------------7分 ∵AA1?面A1B1C1，故AA1?A1H,?BB1?A1H

B1C1?BB1?B1,?A1H?平面BCC1B1-------------------------------9分

MN?平面BCC1B1， 取A1B1中点M，连结BM，过点M作MN//A1H，则

连结BN，∵A1D//BM,

∴?MBN为直线A1D与平面BCC1B1所成的角，---10分

DCBB1NHAA1MC11AHMN21315???∵sin?MBN?, BMA1D1025即直线A1D与平面BCC1B1所成的角的正弦值为20.解：

15.---------------------12分】 10x2y2（I）设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，

ab由题意知2b=2,\\b=1.----------------------------------------2分

125a2?b225 ?1???22a5a5解得a?5，--------------------------------------------------4分

2

x2?y2?1. ---------------------------------------5分 ∴椭圆C的方程为5（II）证法1：设A、B、M点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0)，

易知F点的坐标为（2，0）. ----------------------------------------------6分 显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y?k(x?2)，------7分 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

(1?5k2)x2?20k2x?20k2?5?0----------------------------------------9分

20k220k2?5?x1?x2?,x1x2?. --------------------------------10分 221?5k1?5k?1,?2??AF,MB??BF,将各点坐标代入得又?MA?1?12x1x2,?2?. 2?x12?x240k240k2?10?22x1x22(x1?x2)?2x1x21?5k1?5k??1??2??????10.-------40k220k2?52?x12?x24?2(x1?x2)?x1x24??1?5k21?5k212分

【证法二：设点A、B、M的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0).

易知F点的坐标为（2，0）. ---------------------------------------------6分

?MA??1AF,?(x1,y1?y0)??1(2?x1,?y1).x1?y2?1,y1?0.------------7分 1??11??1y12?12)?(0)2?1.去分母整理得

51??11??1∴

将A点坐标代入到椭圆方程中，得(22?1?10?1?5?5y0?0. ---------------------------------------------9分

同理，由MB??2BF可得?22?10?2?5?5y02?0------------------------10分

即 是方程 10 ? ? 5 ? 5 y 2 ? 0 的两个根，??1??2??10.-------------12分】 ? 2 ?

0 21．解： （I）∵f?(x)?ab?,且直线y?2的斜率为0，又过点(1,2)， xx2

?f(1)?2,?∴?1------------------------------------------------------2分

f?(1)?,??2即??b?1,解得a?1,b?1.---------------------------------------3分

a?b?0,?（II）当x?1时，不等式

(x?k)lnxx2?1x2?1f(x)??(x?1)lnx??(x?k)lnx?(k?1)lnx??0.----------5分

x?1xxx2?1k?11x2?(k?1)x?1,g?(x)??1?2?令g(x)?(k?1)lnx?，-----------7分 2xxxx令m(x)?x2?(k?1)x?1， ①当

1?k?1,即k??1时，m(x)在(1,??)单调递增且m(1)?0，所以当x?1时，2(x?k)lnxg?(x)?0，g(x)在(1,??)单调递增，?g(x)?g(1)?0.即f(x)?恒成

x?11?k1?k1?k?1,即k??1时，)上单调递减，)m(x)在上(1,且m(1)?0，故当x?(1,222立．----------9分 ②当

时，m(x)?0即g?(x)?0, 所以函数g(x)在(1,当x?(1,1?k)单调递减，-----------------------------------10分 21?k)时，g(x)?0,与题设矛盾, 2综上可得k的取值范围为[?1,??).----------------------------------------12分 22.解： （I）

EP与⊙O相切于点A，??ACB??PAB?250，----------------------1分

又BC是⊙O的直径，??ABC?650------------------------------------3分 四边形ABCD内接一于⊙O，??ABC??D?1800

??D?1150.--------------------------------------------------------5分

（II）

?DAE?250,??ACD??PAB,?D??PBA,

??ADC?PBA.------------------------------------------------------7分 DADC??.-----------------------------------------------------------8分 BPBA

又DA?BA,?DA2?DC?BP.-------------------------------------------10分 23.解：

（I）直线l的普通方程为3x?y?4?0，---------------------------2分 曲线C的直角坐标系方程为x2?y2?16.-----------------------------------4分 （II）⊙C的圆心（0，0）到直线l:3x?y?4?0的距离

d?∴cos4(3)?122?2,---------------------------------------------------6分

121?AOB??, ----------------------------------------------8分 2421?∵0??AOB?,

221?2???AOB?,故?AOB?．------------------------------------10分 23324.解：

（I）由题意，得f(x)?f(x?1)?|x?1|?|x?2|，

因此只须解不等式|x?1|?|x?2|?2 -------------------------------------1分

1?x?1；-----------------------------2分 2当1?x?2时，原不式等价于1≤2，即1?x?2；---------------------------3分

5当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即2?x?.-----------------------------4分

2当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即综上,原不等式的解集为?x|??15??x??. ----------------------------------5 分 22?（II）由题意得f(ax)?af(x)?ax?2?ax?2----------------------------6分 =ax?2?2a?ax?ax?2?2a?ax-------------------------------------8分

?2a?2?f(2a).------------------------------------------------------9分

所以f(ax)?af(x)?f(2a)成立．----------------------------------------10分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vej6.html