第十章 无穷级数5

第五节

函数展开成幂级数

Taylor级数★

函数展成幂级数的方法

小结

思考题

作业

第十章 无穷级数

函数展开成幂级数

如果 f ( x)在( x0 R, x0 R)内能展开成幂级数，则f ( x ) a n ( x x0 ) nn 0

1.在什么条件下才能展开成幂级数? 2.如果能展开，系数 an 如何计算？ 3.展开式是否唯一?2

函数展开成幂级数

一、Taylor级数回顾 Taylor公式:若函数f (x)在x0的某邻域内有 n+1阶导数, 则 f (x)可表为:

f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) (1) ( x x0 )n Rn ( x ) n! f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n 1 , 介于x与x0之间. 其中( n 1)!

公式(1)是函数f(x)在x0处展开的Taylor公式, Rn(x)是Lagrange余项. 3

函数展开成幂级数

如函数f (x)在x0的某邻域内是 无穷次连续可微的, 自然会想到: f (x)是否可展为如下的幂级数:

f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! ( n) f ( x0 ) ( x x0 ) n n!

n 0

f

(n)

( x0 ) n ( x x0 ) n!

(2)

称幂级数(2)为函数 f (x)在x0处的Taylor级数. 关系：Taylor级数是幂级数， 但幂级数未必是Taylor级数。

函数展开成幂级数

特别, 当x0 = 0时,称幂级数( n) (0) (0) 2 f f f ( 0) n f ( 0) x x x ( 3) 1! 2! n!

为函数 f (x)的 Maclaurin级数. f (x)在什么条件下可展为Taylor级数,即

f ( x) n 0

f

(n)

( x0 ) ( x x0 ) n n!

函数展开成幂级数

定理10-22

设 f ( x)在( x0 R, x0 R)上有任意阶

导数，则 f ( x)在( x0 R, x0 R)内可展开成Taylor f ( n ) ( x0 ) 级数 (即f ( x) ( x x0 ) n ) 的充要条件是 n! n 0 x ( x0 R, x0 R), 都有

lim Rn ( x) 0.n

f ( n 1) ( ) ( x x0 )n 1 , 介于x与x0之间. 其中 Rn ( x ) ( n 1)!

函数展开成幂级数

证 由Taylor公式，若 f ( x)在( x0 R, x0 R)内有

n 1阶导数，则 x ( x0 R, x0 R),f ( k ) ( x0 ) f ( x) ( x x0 ) k Rn ( x) sn 1 ( x) Rn ( x) k! k 0 f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n 1 , 介于x与x0之间. 其中 ( n 1)! sn 1 ( x)为f ( x) 的Taylor级数的前n+1项部分和。n

因为 f (x) 可展开成Taylor级数的充要条件是

lim sn 1 ( x) f ( x), x ( x0 R, x0 R).n

即

lim Rn ( x) 0, x ( x0 R, x0 R). 证毕. n 7

函数展开成幂级数

补充定理 (函数幂级数展开的唯一性)

如果函数f ( x)在( x0 R, x0 R)内可展为幂级数

f ( x ) a n ( x x0 ) ,n n 0

则 f (x) 的幂级数展开式是唯一的， 且其系数1 ( n) an f ( x0 ) ( n 0,1,2, ) 泰勒系数 n!

规定： ! 1, f 0

( 0)

( x0 )

f ( x0 ).

函数展开成幂级数

证 由于幂级数在收敛区间内可逐项微分, 于是

f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 ) n

( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 ) n 1 ff ( x) 2! a2 3 2a3 ( x x0 ) n(n 1)an ( x x0 )n 2 ,

f ( n ) ( x ) n! a n ( n 1)n 3 2a n 1 ( x x0 )

令 x x0 , 即 得1 (n) a n f ( x0 ) ( n 0,1,2, ) 泰勒系数 n! 泰勒系数是唯一的, 所以, f (x)的展开式是唯一的.

函数展开成幂级数

问题 f ( x )

n 0

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!

Taylor级数在收敛区间是否收敛于f (x)? 不一定.

lim Rn ( x) 0.n

思考 函数f (x)在点x0处“有Taylor级数”与“能展 开 成Taylor级数”这两种说法相同吗? 不相同

函数展开成幂级数

二、函数展成幂级数的方法1. 直接展开法 步骤

f ( n ) ( x0 ) (1) 求an ; n! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n , (2) 写出Taylor级数 n! n 0并求收敛半径R.n

( 3) 讨论 lim Rn ( x ) 0 . 如 lim Rn ( x ) 0 , n

则f (x)在收敛区间内可展开成幂级数。

直接法一般用于求 x0 0 时的Maclaurin级数。 这时也说将f (x)展成x的幂级数。11

函数展开成幂级数

例 解

将f ( x ) e 展开成x的幂级数.x

f

(n)

( x) e , fx

(n)

(0) 1.

( n 0,1,2, )

ex

xn 1 2 1 n ~ 1 x x x 2! n! n 0 n!

其收敛半径 R = +∞.

e 因Taylor公式的余项 Rn ( x ) x n 1 , (n 1)! 它满足不等式 (ξ介于0, x之间)

x e x n 1 x Rn ( x ) e . ( n 1)! ( n 1)!12

n 1

函数展开成幂级数

级数limn

n 1 ! 处处收敛，所以n 0

x

n 1

Rn ( x ) e

x

x . ( n 1)!

n 1

n 1 !x

x

n 1

0 e x 是确定的数, 所以

lim en

x

n 1

(n 1)!

0, 由夹逼定理知 lim Rn ( x ) 0 . n

于是, 对任一确定的 x R, 有展开公式

xn ex n 0 n!

1 2 1 n 1 x x x x ( , ) 2! n!

函数展开成幂级数

例 将f ( x ) sin x展开成x的幂级数. 解

f

( n)

n n ( n) ( x ) sin( x ), f (0) sin , 2 2

f ( 2 n ) (0) 0, f ( 2 n 1) (0) ( 1) n , ( n 0,1,2, )

1 3 1 5 x 2 n 1 sin x ~ x x x ( 1)n 3! 5! ( 2n 1)!其收敛半径 R = +∞.对 x ( , ) 内任一点x,有14

函数展开成幂级数

( n 1) sin 2 n 1 x Rn ( x ) ( n 1)!

x 0 ( n 1)!于是,有展开公式

n 1

(n )

1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)!

2 n 1

x ( , )15

函数展开成幂级数

例 将

f ( x ) (1 x ) ( R)展开成x的幂级数.

解 f ( n) ( x ) ( 1) ( n 1)(1 x ) n ,

f

( n)

(0) ( 1) ( n 1), ( n 0,1,2, )

(1 x) ~1 x

( 1)2!

x 2

( 1) ( n 1)n!

xn

a n 1 n lim 1 n a n 1 n

R 116

函数展开成幂级数

(1 x ) 的泰勒级数的收敛区间是( 1,1). 所以

在x 1处, 对不同的 , 敛散性不同.为了避免讨论余项的极限,设在区间 ( 1,1)内(1 x ) 的Taylor级数和函数s(x),即设

s( x ) 1 x

( 1) ( n 1)n!

xn

下面证明 s( x ) (1 x ) , x ( 1,1).由逐项求导得 ( 1) ( n 1) n 1 ( x ) ( 1) x s x

( n 1)! 1 ( 1 ) ( n 1 ) n 1 1 . x x 1! ( n 1 )! 17

函数展开成幂级数

( x ) 1 1 x ( 1) ( n 1) x n 1 . S 1! ( n 1)!

两边同乘以(1 + x)后,注意右边方括号内的 xn 系数为( 1) ( n 1) ( 1) ( n) ( 1) ( n 1) . ( n 1)! n! n!

(1 x ) s ( x ) ( 1) 2 ( 1) ( n 1) n (1 x x x ) s( x )2! n!

s ( x ) , 且 s(0) 1. s( x ) 1 x18

函数展开成幂级数

两边积分 得

0

x

x s ( x ) dx dx , 0 1 x s( x )

x ( 1,1)

ln s( x ) ln s(0) ln(1 x ),牛顿二项式展开式2! x 2

(1 x ) 1 x

( 1)

( 1) ( n 1)n!

xn

注

在x 1处收敛性与 的取值有关.

1 1 1 1

收敛域为 1,1); ( 收敛域为 1,1]; ( 收敛域为 1,1]. [19

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